精品解析：陕西省洛南中学2026-2027学年度第一学期第一次月考高一数学试卷

2026—2027学年度第一学期第一次月考 高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，此时与4重复，则. 当，即时，. 故选：B 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可解出． 【详解】因为，但是，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据命题的否定的定义写出命题的否定． 【详解】命题“”的否定是． 故选：D． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为：  ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得：   因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 6. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质，逐一推导或用特殊值法验证各选项，排除错误选项得到正确结论. 【详解】对选项A：当时，，故不成立，A错误； 对选项B：若，同乘得；同乘得，即，B错误； 对选项C：若，，不等式两边同除以，得，C错误； 对选项D：由，则，因为，两同向正数不等式相加得，故，两边同乘，得，D正确. 7. 若不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. R 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，，是方程的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到． 【详解】由题意可知：，是方程的两个实根， 则，解得，， 则不等式，即为， 即为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B． 8. 当一个非空数集满足：如果，那么，，且当时，时，我们称就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据数域的定义逐一验证四个命题的正确性，统计正确命题的个数即可求解. 【详解】①对任意数域，取，由数域定义得，故是任何数域的元素，①正确； ②若数域有非零元素，取且，由数域定义得，进而，，依此类推，所有正整数均属于，故，②正确； ③取，显然，但，不满足数域定义，故集合不是数域，③错误； ④对任意，均为有理数，且当时，也为有理数，符合数域定义，故有理数集是一个数域，④正确. 综上，正确的命题共3个. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. 空集是任何非空集合的真子集 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，若且，则，故A正确； 对于B，空集是任何非空集合的真子集，故B正确； 对于C，因为，， 所以集合与不是同一个集合，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 10. 设正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】正实数满足， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知为全集，“”的充要条件是“” B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若正实数，，满足则 D. 不等式的解集为或 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，等价于中的元素都属于，即，又， 所以的充要条件是，故A正确； 对于B，当时，方程为，即，此时集合也只含一个元素，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为，所以原不等式等价于或，解集为或或，故D错误. 三、填空题．（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，进而列出不等式，求出a的取值范围． 【详解】解：集合，， 由可得，， 所以， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，不等式恒成立，满足题设， 当时，要使不等式恒成立，则，解得， 综上，的取值范围为. 14. 若，，且满足，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，，且，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，，， 即有， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1），，比较，的大小． （2）已知正实数，满足等式，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】(1) 即 (2) 正实数，满足等式,则， 原式 当时取等号， 所以的最小值为 16. 已知集合，全集 （1）分别求，． （2）若集合且求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出集合，，再按并集、补集及交集的定义求解即可； （2）分和两种情况结合子集的定义求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以； 又因为或， 所以或. 【小问2详解】 因为， 当时，则有，此时无解； 当时，则有，解得， 综上，. 17. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 【答案】（1） （2） 年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年 【解析】 【分析】（1）根据已知写出总收入和总成本，作差即可得盈利总额的表达式； （2）根据题意得到平均盈利额，应用基本不等式求其最大值并确定对应使用年数. 【小问1详解】 由题意，设备使用年后的总收入为万元， 总成本包括购买设备的费用和总维修保养费用，即万元， 所以，化简得， 因为为设备使用的年数，所以， 因此，关于的表达式为； 【小问2详解】 设该设备的年平均盈利额为万元，则，​ 因为，得到， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以等号可以取到，此时的最大值万元， 所以该设备的年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年. 18. 已知命题，，命题，． （1）若命题，中，全称量词命题为真，求实数的取值范围． （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 命题 q： 恒成立． 二次函数 的图象开口向上，其恒大于 0 当且仅当判别式 因此命题 q 为真 【小问2详解】 由上可知命题 q 为真 命题 q 为假 或 命题 p 为真，等价于存在 使得 即 当时取最小值 命题 p 为真 命题 p 为假 p、q 中有且仅有一个为真命题 ①p 真且 q假： 且 或 ，故 ② p 假且q 真： 且 ，故 综上， 或 ，即 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围． （2）解关于的不等式． （3）若对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集为，结合二次函数性质分情况讨论，解不等式； （2）分情况讨论二次方程解的情况及不等式解集情况； （3）分离参数，可得，结合基本不等式可得参数范围. 【小问1详解】 由已知不等式，即的解集为， 当，即时，不等式为，解集为，不成立； 当时，有，解得， 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，即，即， 当，即时，不等式为，解集为； 当，不等式对应方程为，， 当时，，不等式解集为； 当时，，对应方程的两根为，， 不等式解集为； 当时，不等式解集为； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【小问3详解】 不等式，对恒成立； 可转化为，对恒成立， 因为，所以， 设，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次月考 高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 6. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 7. 若不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. R 8. 当一个非空数集满足：如果，那么，，且当时，时，我们称就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. 空集是任何非空集合的真子集 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 10. 设正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知为全集，“”的充要条件是“” B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若正实数，，满足则 D. 不等式的解集为或 三、填空题．（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数b的取值范围是________. 13. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 14. 若，，且满足，则的最小值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1），，比较，的大小． （2）已知正实数，满足等式，求的最小值． 16. 已知集合，全集 （1）分别求，． （2）若集合且求实数的取值范围． 17. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 18. 已知命题，，命题，． （1）若命题，中，全称量词命题为真，求实数的取值范围． （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围． （2）解关于的不等式． （3）若对一切恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $