精品解析：河南驻马店市第四中学2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

八年级数学 一．单选题：（本大题共10小题．每小题3分．共计30分） 1. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，2，3 D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 22 D. 不能确定 4. 已知中、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的算术平方根是5 C. 的平方根是 D. 1的平方根和算术平方根都是1 6. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ）（取3） A. B. C. D. 9. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 把两块同样大小的含角的直角三角尺按如图所示放置，其中一块的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个小于4的正无理数是________． 12. 比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 13. 如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米． 14. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 15. 小亮在一张长为，宽为的矩形纸片上，剪了一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则这个等腰三角形的底边为__________． 三、解答题：（本大题共8小题．共计75分） 16. 把下列各数分别填入相应的集合中（只填入对应序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个之间的逐次加）；⑨；⑩ （1）整数集合：； （2）分数集合：； （3）有理数集合：； （4）无理数集合： 17. 计算： （1）； （2）； （3）求未知数的值：． 18. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 19. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 20. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 21. 五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．     （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 22. 阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … （1）填空：__________； （2）观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； （3）试比较与的大小； （4）计算：（提示：）． 23. 综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． （3）【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一．单选题：（本大题共10小题．每小题3分．共计30分） 1. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，2，3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股数需为正整数的特征先排除部分选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：∵0.3，0.4，0.5与均不是正整数， ∴B，D选项不符合要求； ∵， ∴C选项不符合要求； ∵6，8，10均为正整数，且， ∴A选项符合要求． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不合题意； B、，不是最简二次根式，不合题意； C、，不是最简二次根式，不合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 22 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4. 已知中、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，是直角三角形，故A选项不符合题意； B、，，是直角三角形，故B选项不符合题意； C、，，，是直角三角形，故C选项不符合题意； D、，，，，，不是直角三角形，故D选项符合题意； 故答案为：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的算术平方根是5 C. 的平方根是 D. 1的平方根和算术平方根都是1 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根的性质和应用，逐项判定即可． 【详解】解：A、的平方根是，正确，故此选项符合题意； B、的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、1的平方根是，1的算术平方根都是1，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 8. 如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ）（取3） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 9. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 10. 把两块同样大小的含角的直角三角尺按如图所示放置，其中一块的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作BC的垂线AF，垂足为F，由题意可得出BC=AD=4，进而得出CF=BF=2，利用勾股定理可得出DF的长，即可得出AB的长． 【详解】解：如图，过点A作BC的垂线AF，垂足为F，依题意，由得：，由的直角三角形的性质得到BC=AD=4， ∵AF⊥BC，∠ABF=∠ACF=, ∴CF=BF=2， 在Rt⊿ADF中，∠AFD=,由勾股定理得：, ∴， 故选择：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个小于4的正无理数是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 12. 比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．应用放缩法，判断出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【详解】解：由题意知，“路”长（米）， 则少走了：（米）； 故答案为：4． 14. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 15. 小亮在一张长为，宽为的矩形纸片上，剪了一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则这个等腰三角形的底边为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】等腰三角形腰的位置不明确，需要根据勾股定理分三种情况分别计算底边的长度：（1）两腰在矩形相邻的两边上；（2）一腰在矩形的宽上；（3）一腰在矩形的长上． 【详解】解：设，． （1）如图①所示，当时，为底边． ． （2）如图②所示，当时，为底边． 根据题意可知． ． ． （3）如图③所示，当时，为底边． 根据题意可知． ． ． 综上所述，等腰三角形的底边为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，能够根据题意进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8小题．共计75分） 16. 把下列各数分别填入相应的集合中（只填入对应序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个之间的逐次加）；⑨；⑩ （1）整数集合：； （2）分数集合：； （3）有理数集合：； （4）无理数集合： 【答案】（1）整数集合： （2）分数集合： （3）有理数集合： （4）无理数集合： 【解析】 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数． 【小问1详解】 解：，，所以属于整数集合的有：0；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 17. 计算： （1）； （2）； （3）求未知数的值：． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简各数，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用平方差公式和二次根式的乘除运算法则求解，再进行加减运算即可解答； （3）先移项，再利用平方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：移项，得 两边开平方，得 ∴或 ∴，． 18. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，； （2）的算术平方根为． 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根概念，无理数估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值即可； （）把，，的值代入，然后通过算术平方根定义即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， 综上可得：，，； 【小问2详解】 解：由（）得：，，， ∴， ∴， 即的算术平方根为． 19. 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出，再根据逆定理判断出，利用作差法求出阴影面积即可． 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 20. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【解析】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 21. 五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．     （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】（1） （2） 小丽在家能听到广播， 证明：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【小问1详解】 解：， 又， ， 是直角三角形，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 22. 阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … （1）填空：__________； （2）观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； （3）试比较与的大小； （4）计算：（提示：）． 【答案】（1） （2） （3） （4）44 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：根据材料可知，，， ∵， ，即． 【小问4详解】 解： ． 23. 综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． （3）【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）证明：∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形的面积也可以表示为： ∴， ∴， ∴． （2） （3）20 【解析】 【分析】（1）用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明． （2）设，则，利用勾股定理以及即可得出，解方程即可求出． （3）变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小，根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， 即． 【小问3详解】 解：原式可变形成， 变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小， 根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长， 即最小值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $