精品解析：河南商丘市睢阳区2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027八年级数学第一次学情监测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义即可求解． 【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高， 故选：D． 【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义． 2. 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得． 【详解】由方位角的定义得： 由题意得： 由三角形的内角和定理得： 是等腰直角三角形 即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形 故选：A． 【点睛】本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键． 3. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，在中，平分，，垂足为D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的定义得到的度数，则可求出的度数，再根据垂线的定义和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵在中，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 6. 如图，，是的高线，与相交于点F，若，且的面积为12， 则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明，得到，根据三角形面积公式求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：∵，是的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积为12，， ∴， ∴， ∴． 7. 下列说法正确的是（ ） ①等腰三角形是等边三角形 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③等腰三角形至少有两条边相等 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形分类与等腰、等边三角形的定义，掌握基础概念即可逐个判断得出结论． 【详解】解：∵ 等腰三角形只有两条边相等时不是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，∴ ①说法错误． ∵ 三角形按边分类可分为三边都不等的不等边三角形，和至少两边相等的等腰三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形，不能单独分类，∴ ②说法错误． ∵ 等腰三角形的定义为至少有两条边相等的三角形，∴ ③说法正确． 因此只有③正确， 故选：D． 8. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ） A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 8cm 【答案】B 【解析】 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时， 三边为3cm，5cm，5cm， 等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时， 底边长是：13－3－3＝7cm， 而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 9. 如图，是的边上的高．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：∵是的边上的高． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 10. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案． 【详解】解：如图， ∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，，，请你添加一个适当的条件：_____，使得 【答案】AB=DE（答案不唯一）． 【解析】 【详解】解：添加条件是：AB=DE， 在△ABC与△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC． 故答案为AB=DE．本题答案不唯一． 12. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 13. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 14. 如图，中，，，平分，于点，，则________． 【答案】##74度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．先求出，结合角平分线的定义，得出，根据直角三角形两锐角互余，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 15. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE． 在△ABC和△DEC中， ∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 【解析】 【分析】由已知证得∠ACB=∠DCE，从而根据三角形全等SAS的判定，证明△ABC≌△DEC，继而可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是证明∠ACB=∠DCE． 17. 用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形 （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 【答案】（1）8cm，8cm，4cm （2）能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用． （1）设底边长为，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可； （2）分5cm是底边和腰长两种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则 ∴ ∴各边长为：8cm，8cm，4cm． 【小问2详解】 ①若为底时，腰长， 三角形的三边分别为，能围成三角形 ②若为腰时，底边， ， 不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形． 18. 中，，，求的各内角的度数． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，将第一个等式代入第二等式中，用表示出，再根据三角形的内角和等于列方程求出，然后求解即可，用表示出然后列出关于的方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 由三角形内角和定理得： ， 解得： ∴， ． 19. 如图，，点E在上，与交于点F，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据全等三角形对应边相等可得，则； （2）根据 全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为_____； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和，结合角平分线性质求出，再用内角和求； （2）先算出，由角平分线得；再由高得到直角三角形求出，两角相减得到． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵、是角平分线，它们相交于点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴平分， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 21. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由平分，可得，再结合，即可证明； （2）根据已知条件，结合三角形内角和定理求出，再由平分求得，最后在中使用三角形内角和定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． 平分， ． 在中，． 22. 如图，已知相交于点求证： 【答案】 证明：在与中 ∵，，， ∴， ∴ ∵，，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，根据证明，得到，根据三角形的外角的性质，结合对顶角相等，即可推出 【详解】略 23. 【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 【答案】【探究】（1）50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°， ∴∠P＋（∠ABC＋∠ACB）＝180°， ∴∠P＋（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 【应用】∠Q＝90°﹣∠A． 【解析】 【分析】探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得∠CBQ＝90°−∠ABC，∠BCQ＝90°−∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】探究：解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP＋∠CBP＝（∠ABC＋∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）略 应用：解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ＋∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC＋90°﹣∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB）， 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027八年级数学第一次学情监测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 3. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，，垂足为D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的高线，与相交于点F，若，且的面积为12， 则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 下列说法正确的是（ ） ①等腰三角形是等边三角形 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③等腰三角形至少有两条边相等 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ③ 8. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ） A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 8cm 9. 如图，是的边上的高．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，，，请你添加一个适当的条件：_____，使得 12. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 13. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 14. 如图，中，，，平分，于点，，则________． 15. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 17. 用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形 （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 18. 中，，，求的各内角的度数． 19. 如图，，点E在上，与交于点F，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 20. 如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为_____； （2）若，求的度数． 21. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，已知相交于点求证： 23. 【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $