15.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册15.1二次根式（第1课时 二次根式的概念）专项练习（1212字） 二次根式定义：形如$\boldsymbol{\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)}}$（$\(\boldsymbol{a}\)\ge0$）的式子叫做二次根式。其中$\boldsymbol{\(\boldsymbol{a}\)}$叫做被开方数，“$\sqrt{\ \ }$”叫做二次根号。二次根式有两个必备条件：①带有二次根号；②被开方数$\(\boldsymbol{a}\)\ge0$。二次根式具有**双重非负性**：被开方数$\(\boldsymbol{a}\)\ge0$；二次根式本身$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)}\ge0$。本节核心考点：判断式子是否是二次根式；求二次根式中字母的取值范围；利用双重非负性求值。常见易错点：忽略被开方数必须大于等于0；误认为带根号就是二次根式；区分$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)}$和$-\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)}$；多重根式不会列不等式。习题包含概念辨析、求取值范围、利用非负性计算、正误辨析，夯实二次根式基础概念。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各式属于二次根式的是（） A.$\sqrt{-3}$ B.$\sqrt{5}$ C.$\sqrt[3]{4}$ D.$x$ 2. 若$\sqrt{x-1}$是二次根式，则$x$的取值范围是（） A.$\(x\(>\)1\)$ B.$x\ge1$ C.$\(x<1\)$ D.$x\le1$ 3. 下列式子一定是二次根式的是（） A.$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)}$ B.$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)^2}$ C.$\sqrt{-\(\boldsymbol{a}\)^2}$ D.$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)+1}$ 4. 已知$\sqrt{x+2}+|y-3|=0$，则$\(x+y\)$的值为（） A.$1$ B.$-1$ C.$5$ D.$-5$ 5. 下列说法正确的是（） A. 带根号的式子就是二次根式 B. 二次根式被开方数可以是负数 C.$\sqrt{0}$是二次根式 D.$\sqrt{4}$不是二次根式 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 形如$\boldsymbol{\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)}}$（$\(\boldsymbol{a}\)$______0）的式子叫做二次根式。 7. 二次根式双重非负性：被开方数$\(\boldsymbol{a}\)\ge0$；$\boldsymbol{\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)}}$______0。 8. 若$\sqrt{2x-4}$有意义，则$x$的取值范围是________。 9. 当$\(x=\)$____时，$\sqrt{x-5}$取最小值，最小值是____。 10. 判断：$\sqrt{-7}$____（是/不是）二次根式。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 判断下列各式是不是二次根式： （1）$\sqrt{11}$；（2）$\sqrt{-5}$；（3）$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)^2+1}$。 12. 求下列式子中字母的取值范围： （1）$\sqrt{x+3}$；（2）$\sqrt{3-2x}$。 13. 已知$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)-4}+\sqrt{b+2}=0$，求$\(\boldsymbol{a}\)+b$的值。 14. 辨析题：小张说$\sqrt{-x}$是二次根式。判断这句话是否正确，并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；$\sqrt{-3}$被开方数负数无意义；$\sqrt[3]{4}$是立方根；$x$不含根号。 2.B；二次根式有意义，被开方数$x-1\ge0$，$x\ge1$。 3.B；$\(\boldsymbol{a}\)^2\ge0$恒成立，$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)^2}$一定是二次根式；A中$\(\boldsymbol{a}\)$可能负数；C只有$\(\boldsymbol{a}\)=0$才有意义；D中$\(\boldsymbol{a}\)+1$可能负数。 4.A；$\sqrt{x+2}\ge0$，$|y-3|\ge0$，两个非负数相加等于0，则各自为0。$\(x+2=0\)$，$\(x=\)-2$；$y-3=0$，$\(y=3\)$；$\(x+y\)=1$。 5.C；带根号不一定是二次根式，被开方数必须\(\ge\)0；被开方数不能负数；$\sqrt{4}$是二次根式。 **填空题** 6.$\ge$；7.$\ge$；8.$x\ge2$；9.$5$，$0$；10.不是。 **解答题** 11.解：（1）$\sqrt{11}$，带二次根号，被开方数$\(11\(>\)0\)$，**是二次根式**。 （2）$\sqrt{-5}$，被开方数$-5<0$，无意义，**不是二次根式**。 （3）$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)^2+1}$，$\(\boldsymbol{a}\)^2\ge0$，$\(\boldsymbol{a}\)^2+1\(>\)0$恒成立，**是二次根式**。 12.解：（1）由$x+3\ge0$，解得$\boldsymbol{x\ge-3}$。 （2）由$3-2x\ge0$，$2x\le3$，解得$\boldsymbol{x\le\dfr\(\boldsymbol{a}\)c32}$。 13.解：$\bec\(\boldsymbol{a}\)use\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)-4}\ge0$，$\sqrt{b+2}\ge0$，且$\sqrt{\(\boldsymbol{a}\)-4}+\sqrt{b+2}=0$， $\therefore \(\boldsymbol{a}\)-4=0$，$\(b+2=0\)$，解得$\(\boldsymbol{a}\)=4$，$b=-2$。 $\therefore \(\boldsymbol{a}\)+b=4+(-2)=2$。答：$\(\boldsymbol{a}\)+b=2$。 14.解：小张说法错误。判断$\sqrt{-x}$是否是二次根式要看$x$取值。只有当$-x\ge0$，即$x\le0$时，$\sqrt{-x}$才是二次根式；当$\(x\(>\)0\)$时，$-x<0$，式子无意义，不是二次根式。所以不能直接说$\sqrt{-x}$一定是二次根式。 ## 本节小结 判断二次根式两个硬性条件：①必须是**二次根号**，立方根不算；②被开方数大于或等于0。双重非负性是本章核心考点，两个非负数相加等于0，则每一项都等于0，常搭配绝对值一起出题。求字母取值范围，就是列不等式：被开方数$\ge0$，解不等式即可。高频易错：看到根号就判定是二次根式；忽略被开方数不能为负；求取值范围写成$\(>\)$而不是$\ge$。做题时牢记，二次根式定义自带前提：被开方数非负。二次根式是整个二次根式章节的起点，后续化简、乘除、加减运算都建立在本节基础上。审题看清根号根指数，区分二次根号和三次根号，解不等式注意等号不要漏掉，避免概念类失分。 （全文1212字） 下一节：**15.1二次根式 第2课时 二次根式的性质**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 15.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十五章 二次根式 学习目标 新知●探究 一起探究 1.(1)2，18，，的算术平方根是怎样表示的? (2)非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的? 2.学校要修建一个占地面积为Sm2的圆形喷水池，它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为am2的环形绿化带，那么所成大圆的半径应为多少米? 观察这些式子，思考：它们在表达形式上有什么共同特征？. ① 都含有""，根指数都为 2; ② 被开方数为非负数. 新知●探究 总结归纳 二次根式的概念： 形如的式子叫作二次根式， 根号下的数叫作被开方数. 判断二次根式，抓住二次根式两个必备特征： 注意：可以是数，也可以是式. 二次根式满足什么条件时有意义？ 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数(a≥0)时，二次根式才在实数范围内有意义． ①外貌特征：含有""; ②内在特征：被开方数a≥0. 新知●探究 大家谈谈 1.小亮和小颖对二次根式“()”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗? 请举例说明. 小亮的观点 　　因为　 表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有　 　≥0. 小颖的观点 　因为表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有 二次根式具有双重非负性 任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数 新知●探究 大家谈谈 2.填空： (1) , (2) , (3) , (4) . 思考： 1.(1)与(3)、(2)与(4)这两组题的被开方数下乘方的底数有什么联系？ 2.每组题的结果与它们的被开方数下乘方的底数有什么关系？ 2 2 1.2 1.2 互为相反数 底数的绝对值 =∣∣ 通过计算，你能得到什么结论？。 新知●探究 总结归纳 与( ) 2( a ≥ 0) 的异同点 表达式 ( ) 2 不同点 取值范围 a 为全体实数 a ≥ 0 运算顺序 先平方后开方 先开方后平方 运算结果 =|a|= ( ) 2=a(a ≥ 0) 相同点 与( ) 2均为非负数，当 a ≥ 0 时， = ( ) 2 平方在外面，直接去根号；平方在里面，得到绝对值，分类来讨论 知识点1 二次根式的概念 1. 下列各式：①；②；③；④ ；⑤ ；⑥；⑦；⑧ .其中是二次根式的有 ( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是 否具备以下条件：（1）带二次根号“ ”；（2）被开方数是 非负数. . . . . . . 举一反三 7 2. 已知是二次根式，则 的值可以是( ) C A. 2 B. 9 C. D. 30 举一反三 8 知识点2 二次根式有意义的条件 3. 在式子中， 的取值范围在数轴上表示为 ( ) A A. B. C. D. 举一反三 9 新知●探究 做一做 化简： (1); (2); (3); (4)、. 解：（1） （2） （3） (4)、 典例●精析 例1 化简 4. 当 是怎样的实数时，下列式子有意义？ （1） ； 【解】无论为何实数， 都是非负数. 所以不论取何实数， 总有意义. （2） ； 由得 . 所以当时， 有意义. 举一反三 12 （3） . 由且得，解得 .所 以当时， 有意义. 举一反三 13 含二次根式的式子有意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义 的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；（2） 如果所给式子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被开 方数为非负数外，还必须保证分母不为零. . . . . 举一反三 14 知识点3 二次根式的性质 5. 下列四个等式：①；② ；③ ；④ .正确的是( ) C A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③ 6. 已知，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 举一反三 15 7. 若实数，满足等式 ， 且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则 的周 长是( ) B A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8. 当____时，代数式 取最小值，其最小值为___. 0 举一反三 16 9. 已知实数 在数轴上的对应点的位置如图，化简 . 【解】，， . . 举一反三 17 解题支架 举一反三 18 10. （1）若,为实数，且 ,化简： . 【解】由解得, . . 举一反三 19 （2）若,求 的值. 由解得 , ，即 . 举一反三 20 11. 化简 得( ) A A. 2 B. C. D. 【点拨】依题意得，, , , , 故选A. 举一反三 21 12. 若 ， ，，则,, 的大 小关系是( ) D A. B. C. D. 举一反三 22 13. [廊坊期中] 已知是正整数， 是整数，则满足 条件的所有 的值为______. 9,7,1 解题支架 举一反三 23 14. “欲穷千里目，更上一层楼”，说 的是登得高看得远.如图，若观测点的高度为 ， 观测者视线能达到的最远距离为 ，则 ，其中是地球半径，约为 . 小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度 为 ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，则 的值约为 _______. 举一反三 24 课堂●小结 二次根式 即a≥0, ≥0 二次根式的“双重”非负性 概念 二次根式 我们把形如　 (a≥0)的式子叫做二次根式 a (a≥0) -a (a＜0) 谢谢观看 THANKS $