15.1 二次根式课件 2026—2027学年冀教版 数学八年级上册

该初中数学课件围绕二次根式展开，涵盖概念、双重非负性、性质及最简二次根式等核心知识点。通过圆形喷水池面积问题导入，从具体算术平方根过渡到二次根式定义，搭建从实际到抽象的学习支架。 其亮点是结合实际情境与探究活动，以数学眼光抽象问题，用数学思维推理性质，借数学语言规范表达。如小组讨论化简根式归纳最简二次根式，助学生深化理解，教师可通过结构化内容提升教学效率。

15.1 二次根式 学校要修建一个占地面积为的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为 的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？ 全品初中 1. (1) 2，18，，的算术平方根是怎样表示的? (2) 非负数的算术平方根又是怎样表示的? 活动1. 求出下列具体的数和字母的算术平方根. 探究一：二次根式的概念. (1)，， ，； (2)，，. 学校要修建一个占地面积为的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为 的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？ 解：（1）设喷水池的半径为. 所以； （2）设喷大圆的半径为. 所以. 活动2. 将导入中的情境问题用数学符号表示. 全品初中 思考1：观察下列式子，说说它们有什么共同特征？ 1.根指数为2； 2.被开方数为非负数. ，， ， ，，，， 思考2：如果我们将上述式子定义为二次根式，同学们类比整式、分式，说说二次根式的定义？ 被开方数 根指数为2 （省略不写） 二次根式：形如的式子. 解：(1)根指数是3，不是二次根式； (2)不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式； (3)当，即时，是二次根式；当时，，则不是二次根式．不一定是二次根式． 1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． (1)；(2)； (3)； (4); (5)；(6) (4)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式； (5)当x＝－3时，无意义，也无意义；当x≠－3时，， 是二次根式．不一定是二次根式． 1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． (1)；(2)； (3)； (4); (5)；(6) (6)当，即时，是二次根式； 当时，，不是二次根式． 不一定是二次根式． 1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． (1)；(2)； (3)； (4); (5)；(6) 概念解析： (1)二次根式的定义是从代数式的形式上界定的，必须含有二次 根号“”； (2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的代数式， 但是a必须大于或等于0； (3)在具体问题中，已知二次根式，就有了这一隐含条件； (4)形如的式子也是二次根式．与是相乘的关系， 若b为带分数，则要写成假分数的形式． 易错提示： (1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断， 如：是二次根式． (2)像这样的式子只能称为含有二次根式的式子， 不能称为二次根式． 活动1. 分析下列小亮和小颖的观点，并对此谈谈你的看法. 探究二：二次根式的“双重”非负性. 1.小亮和小颖对二次根式“”分别有如下的观点. 小亮的观点 　　因为表示的是非负数的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有. 小颖的观点 　　因为表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有. 问题1.对于小亮和小颖对二次根式“”的观点你怎么看待？ 活动2. 计算. 解：当时，； 当时，； 即： 二次根式的“双重”非负性： 1.被开方数非负：； 2.二次根式的值非负：. 比如，(1)；（2）若，则 . 化简： (1)； (2). 解：； . 2.为要使二次根式有意义，x应取 （ ） D 1.下列各式中：①，②，③ ，④，⑤，⑥，一定是二次根式的有(　 　) A．1个 B .2个 C．3个 D．4个 C 且 3.若有意义，则的取值范围是____________________________. 4.已知，试求的值. 解：由题意知， 解得， 所以 所以 二次根式 即, 二次根式的“双重”非负性 概念 二次根式与 形如的式子叫做二次根式 课时2 二次根式的性质与最简二次根式 2.如何确定二次根式中字母的取值范围？ 1.怎样的式子叫二次根式？ 被开方数为非负数，即a ≥0. 我们把形如的式子叫做二次根式. 3.我们已经学过哪些二次根式的相关性质？ 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身. 一个非负数的算术平方根是非负数. 活动1. 完成教材P103中一起探究的T1，并思考下列问题. 探究一：二次根式的性质. 思考：1. 左右两边的结果有什么关系？ 2.与（，)有什么关系？ 3.同桌讨论，如何证明与（，)相等？ 相等 相等 因为时，，， 所以（ ) 活动2. 完成教材P103中一起探究的T2，并思考下列问题. 探究一：二次根式的性质. 思考：1. 左右两边的结果有什么关系？ 2.与（，)有什么关系？ 3.同桌讨论，如何证明 与 （ )相等？ 相等 相等 因为时，，， 所以（) 二次根式的性质： 1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即 （)； 2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即（). 解：(1)；(2)； (3)；(4) ； (5) ； 活动. 小组讨论，化简下列根式（原则：被开方数不含开的尽方的因数（因式）；分母不含根号）. 探究二：二次根式性质的应用. ；；(3)；(4)；(5) 思考：上面式子化简过程有哪些方法？ 1.积的算术平方根化简： (1)被开方数一定是积的形式，不能出现的错误； (2)若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用性质 进行化简；如； (3)最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要保证它们 都是非负数． 2.商的算术平方根化简： (1)被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用商的算术平方根，先将分子、分母分别开平方，然后求商； (2)被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同乘一个不等于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根进行化简． 1.探究二中各式化简前后有什么变化？ 2.如果将化简后的式子称为最简二次根式，那么小组讨论说说什么事最简二次根式？ 活动. 小组讨论，归纳最简二次根式的概念. 探究三：最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么， 我们把这样的二次根式叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 如、、、、都是最简二次根式. 二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程. 1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． C 2.化简: 解： 二次根式 最简二次根式 二次根式的性质 ①被开方数的因式是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开方开得尽方的因数或因式. $