15.1 第2课时 二次根式的性质（课件）2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册15.1二次根式（第2课时 二次根式的性质）专项练习（1212字） 本节课两个核心性质：①$\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=a\ (a\ge0)}$，一个非负数算术平方根的平方等于它本身；②$\boldsymbol{\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(\(a<0\))\end{cases}}$，一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。区分两个公式：$(\sqrt{a})^2$，先开方再平方，前提$a\ge0$；$\sqrt{a^2}$，先平方再开方，$a$可取全体实数，结果一定是非负数。本节考点：利用两个性质化简、求值；根据字母范围去掉根号；代数式化简。高频易错点：混淆$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$；化简$\sqrt{a^2}$时，直接写成$a$，不判断正负；忽略$(\sqrt{a})^2$中$a\ge0$的前提条件。习题包含选择、填空、化简求值、辨析题，训练两个核心公式的区分与应用。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. $(\sqrt{7})^2$的值是（） A.$7$ B.$-7$ C.$\pm7$ D.$\sqrt{7}$ 2. $\sqrt{(-5)^2}$化简结果是（） A.$-5$ B.$5$ C.$\pm5$ D.$25$ 3. 若$\(x<3\)$，化简$\sqrt{(x-3)^2}$结果为（） A.$x-3$ B.$3-x$ C.$\(x+3\)$ D.$-x-3$ 4. 下列等式成立的是（） A.$(\sqrt{-3})^2=-3$ B.$\sqrt{(-4)^2}=-4$ C.$(\sqrt{5})^2=5$ D.$\sqrt{2^2}=\pm2$ 5. 当$a\ge0$时，$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的关系是（） A.$\sqrt{a^2}>(\sqrt{a})^2$ B.$\sqrt{a^2}<(\sqrt{a})^2$ C.$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2$ D.无法确定 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. $(\sqrt{a})^2=a$成立的条件是________。 7. $\sqrt{a^2}=|a|$，当$a\ge0$，$\sqrt{a^2}=$____；当$\(a<0\)$，$\sqrt{a^2}=$____。 8. $(\sqrt{\(0.6\)})^2=$________；$\sqrt{(-10)^2}=$________。 9. 若$\sqrt{(m+2)^2}=m+2$，则$m$的取值范围是________。 10. 化简$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=$________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 计算：（1）$(\sqrt{15})^2$；（2）$\sqrt{(-0.3)^2}$；（3）$(\sqrt{\dfrac{2}{3}})^2$。 12. 化简：（1）$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$；（2）$\sqrt{(x+1)^2}$（$x<-1$）。 13. 已知实数$a$在数轴上对应的点在原点左侧，化简$\sqrt{a^2}+|a-1|$。 14. 辨析题：小王认为$\sqrt{a^2}=a$，所以$\sqrt{(-6)^2}=-6$。判断对错并改正。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.A；根据$(\sqrt{a})^2=a(a\ge0)$，$(\sqrt7)^2=7$。 2.B；$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$，结果非负。 3.B；$\(x<3\)$，$x-3<0$，$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|=3-x$。 4.C；A中被开方数负数无意义；B结果应为4；D结果等于2，不带正负。 5.C；$a\ge0$时，$\sqrt{a^2}=a$，$(\sqrt{a})^2=a$，二者相等。 **填空题** 6.$\boldsymbol{a\ge0}$；7.$a$，$-a$；8.$\(0.6\)$，$10$；9.$m\ge-2$；10.$2-\sqrt{3}$。 **解答题** 11.解：（1）$(\sqrt{15})^2=15$； （2）$\sqrt{(-0.3)^2}=|-0.3|=0.3$； （3）$\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^2=\dfrac{2}{3}$。 12.解：（1）$\because\sqrt{5}>2$，$\therefore2-\sqrt{5}<0$， $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。 （2）$\because x<-1$，$\therefore x+1<0$， $\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=-x-1$。 13.解：由题意$\(a<0\)$，则$a-1<0$。 原式$=|a|+|a-1|=-a+(1-a)=-a+1-a=1-2a$。 14.解：小王说法错误。公式$\boldsymbol{\sqrt{a^2}=|a|}$，不是简单等于$a$。 当$a\ge0$，$\sqrt{a^2}=a$；当$\(a<0\)$，$\sqrt{a^2}=-a$。 $\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$，不是$-6$。 ## 本节小结 两个公式是本章重中之重，一定要分清顺序与条件。$(\sqrt{a})^2$：先开根号，所以被开方数$a$必须≥0，运算结果直接等于$a$。$\sqrt{a^2}$：先平方，$a$随便取任何实数，开方结果是$a$的绝对值，**必须判断正负再去绝对值**。化简$\sqrt{(\(\sqrt{(式子)^2}\))^2}$，第一步先判断括号内整体正负，负数则取相反数。高频易错：直接把$\sqrt{a^2}$写成$a$，忽略负数情况；混淆两个公式使用前提。常考题型：结合数轴给出字母范围，化简含根号与绝对值的代数式。做题先区分是“根号的平方”还是“平方的根号”，看清运算顺序，遇到$\sqrt{a^2}$一定要加上绝对值再化简，不要直接去掉符号。这两个性质是二次根式化简、计算的基础，在选择填空、化简大题高频出现，审题细心，判断正负，减少符号错误。 （全文1212字） 下一节：**15.2二次根式的乘除**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 15.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十五章 二次根式 学习目标 新知●探究 一起探究 1.计算下列各组算式，对比它们的结果，你能得到什么结论?请根据你得到的结论，对和·(a≥0，b≥0)的关系提出你的猜想，并说明理由. = ， = ; = ， = ; = =. 6 6 20 20 42 42 = 你能将它推导出来吗？ 因为当a≥0，b≥0时， 所以 新知●探究 一起探究 2.计算下列各组算式，对比它们的结果，你能得到什么结论?请根据你得到的结论，对和(a≥0,b>0)的关系提出你的猜想，并说明理由. = , = ; = , = ; = , = ; 因为当a≥0，b＞0时， 所以 = 你能将它推导出来吗？ 新知●探究 总结归纳 二次根式的性质： 1.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商. 这个性质称之为“商的算术平方根的性质” 这个性质称之为“积的算术平方根的性质” 知识点1 积的算术平方根的性质 1. 若 成立，则( ) B A. ， B. ， C. ， D. 举一反三 5 2. 下列计算正确的有( ) ① ； ② ； ③ ； ④ . B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 举一反三 6 3. 若，则 化简后的结果是_______. 4. 化简： （1） ; 【解】原式 . （2） ; 原式 . 举一反三 7 （3） ; 原式 . （4） . 原式 . 举一反三 8 典例●精析 例2 化简: (1); (2). 54=9 9是哪一个整数的平方？ 9是3的平方，9(3²)是一个平方因子. 解： (1)= (2)= 50=25 利用二次根式的性质，把二次根式的被开方数中能开得尽方的因数或因式移到根号外. 注意：化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含能开得尽方的因数和因式. 典例●精析 例3 化简: (1); (2); (3) 注意！化简二次根式时，被开方数的因数是整数，因式是整式 做题的关键是构造平方因子 分母2要构造平方需乘2 分母3要构造平方需乘3 小数要变分数 解： (1) (2) (3) 新知●探究 观察与思考 观察下面几个二次根式，它们的被开方数有什么共同特征？。 （1） 被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数和因式 整数或整式 不含有平方因子。 共同特征 新知●探究 总结归纳 最简二次根式： 具有以下特点： （1） 被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数和因式. 把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式 注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式. 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？ 请说明理由. × × √ × 根号下 不含分母 不含小数 不含平方 做一做 新知●探究 化简: (1); (2); (3) (4) 解： (1)= (2)= (3) (4) 注意：二次根式的化简结果应为最简二次根式. 小数要变分数 18=9 48=16 分母5要构造平方需乘5 知识点2 商的算术平方根的性质 5. 下列各式一定成立的是( ) A A. B. C. D. 举一反三 14 6. 化简： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 举一反三 15 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 举一反三 16 知识点3 最简二次根式 7. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) D A. B. C. D. 8. [承德期末] 若是最简二次根式，则整数 的最小 值为___． 3 【点拨】， 是最简二次根式， 且为整数， 当时， ，不符合题 意；当时， ，符合题意. 举一反三 17 9. 在下列各式中，哪些是最简二次根式？ 哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简. （1） ； 【解】不是最简二次根式， . （2） ； 不是最简二次根式， . 举一反三 18 （3） ； 是最简二次根式. （4） ； 不是最简二次根式， . （5） . 不是最简二次根式， . 举一反三 19 10. [唐山模拟] 若，，都是整数，且 ， ，，则下列关于，， 的大小 关系，正确的是( ) A A. B. C. D. 【点拨】，， ， ，， .故选A. 举一反三 20 11. 已知，化简式子 的结果为_____. 【点拨】由二次根式有意义的条件可得, .又 ，， ， . 举一反三 21 12. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个 周期，其计算公式为，其中 表示周期 （单位：），表示摆长（单位：）， 若一 台座钟的摆长为 ，它每摆动一个来回发出一次滴答声， 那么在 内，该座钟大约发出了_____次滴答声． （ 取3） 420 举一反三 22 13. 已知为正整数，若 是整数，则 根据可知 有最小值 .设为正整数，若是大于1的整数，则 的最 小值为___，最大值为____. 3 75 举一反三 23 课堂●小结 二次根式 二次根式的性质 最简二次根式 （1） 被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数和因式. 谢谢观看 THANKS $