专题2.6 对数与对数函数 【知识概要+10大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题2.6 对数与对数函数 知识点1：对数的运算 1.对数的概念 （1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③； （3）对数恒等式alogaN＝N 2.对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. ③logaab＝b(a>0，且a≠1) 【跟踪训练】 1．（2027高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用对数运算法则和指数运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算即可求解. 【详解】（1） （2）原式 ． 知识点2：对数函数的定义及图像 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.对数函数的图象规律 (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低； (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 知识点3：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 【跟踪训练】 3．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数定义求出，由复合函数单调性满足同增异减进行求解，注意定义域 【详解】由反函数定义可知，其在上单调递增， 由得， 其中在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递减区间是. 题型一：对数的化简、求值 题型二：对数函数的解析式及其求值 题型三：对数函数过定点问题 题型四：对数函数的图象及应用 题型五：比较对数式的大小 题型六：对数函数的最值与值域问题 题型七：由对数函数的单调性解不等式 题型八：复合函数单调性的问题 题型九：由对数(型)的单调性求参数 题型十：对数函数中的恒成立、有解问题 题型十一：对数函数的综合问题 题型十二：反函数 题型一：对数的化简、求值 1．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式计算，即可求解. 【详解】                                                                                           2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）计算：______ 【答案】 【详解】因为， 故原式 ． 3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）求值：__________． 【答案】 【分析】由对数，指数运算性质可得答案. 【详解】原式. 4．（26-27高三上·全国·课后作业）（1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值. 【答案】（1）1；（2）12 【详解】（1）因为，所以. （2）是方程的两个实根， 所以，， 令，原方程为， 所以，是方程的两个根， 所以，， 所以. 题型二：对数函数的解析式及其求值 5．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数，若图象过点，求的值. 【答案】 【详解】由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 6．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数（，且），且，求. 【答案】 【详解】已知 （，且），则， 所以， 因为 ，即， 由对数的定义可得，即， 将 代入 ， 可得. 7．（25-26高三上·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 8．（2026高三上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 题型三：对数函数过定点问题 9．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 10．（25-26高三上·上海宝山·期末）函数 的图像恒过定点_____. 【答案】 【分析】利用对数运算性质，即可得到定点. 【详解】令，解得, 则, 所以函数图像恒过定点. 故答案为：. 11．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）若函数的图象恒过定点，且点在幂函数图象上，则_____. 【答案】 【分析】求出的图象恒过定点，根据是幂函数设出，点在幂函数图象上，将点代入求出得到，从而求出. 【详解】，，的图象恒过定点， 是幂函数，， 在幂函数图象上，，，，. 故答案为：. 12．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）函数且的图象过定点，则点的坐标为__________，若点在函数的图象上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】对于①，运用对数函数过定点的知识即可得解；对于②，将点代入，再利用基本不等式中的乘“1”法即可得解. 【详解】对于①：令，得，， 故定点； 对于②：若点在函数的图象上，故有， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 故答案为：①；②. 题型四：对数函数的图象及应用 13．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 14．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数型函数及对数型函数的图象及性质判断即可. 【详解】由图象可知，在定义域内单调递减，所以. 当时，，即，所以. 由图象可知，则. 故，. 当时，单调递减； 当时，，此时， 综上，函数的大致图象是选项D. 15．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，转化为和的图象有两个不同的交点，画出函数的图象，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有两个不同的零点，可得有两个不同的实数解， 即方程有两个不同的实数解， 即和的图象有两个不同的交点， 因为函数，画出函数的图象，如图所示， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 16．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 题型五：比较对数式的大小 17．（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知，则三者大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对利用换底公式进行变换，可比较出与的大小，再将和与进行比较，从而得出答案. 【详解】，而， 所以，即， ， 而，所以， 综上：. 18．（26-27高三上·江苏·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断为负数最小，再将、与中间值比较大小，即可得出三者的大小关系. 【详解】由得，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即； 对于，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即； 对于，由于，所以， 综上可得，. 19．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】使用特值法求解. 【详解】取，，，，满足，且，选项A正确； 若，则， 若，则， 若，则，，， 若，则，，， 均不符合题意，选项B错误. 取，，，，满足，且，选项C正确； 取，，，，满足，且，选项D正确. 20．（26-27高三上·北京·期中）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， . 题型六：对数函数的最值与值域问题 21．（25-26高三下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 22．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 23．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【答案】 【分析】（1）由函数的定义域为转化为不等式恒成立，再分类讨论可得；（2）由函数的值域为转化为真数能取遍，再分类讨论可得. 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 24．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 题型七：由对数函数的单调性解不等式 25．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质将不等式转化为，再结合上的单调性脱去函数符号，求解对数不等式即得. 【详解】 因为是偶函数，则原不等式等价于， 又因在上单调递减，则得，即，解得. 故的取值范围为. 26．（25-26高三上·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，将原函数的值域问题转化为二次函数在上的值域问题，再结合二次函数的图象和性质可得； （2）令，将不等式转化为一元二次不等式，并解得或，再根据对数函数的单调性可得不等式的解集. 【详解】（1）由函数，得函数的定义域为. 令，当时，由对数函数单调性得：. 将原函数展开换元：， 所以原函数的值域问题转化为求二次函数在上的值域问题. 因为，二次函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数的最小值为，最大值为. 所以函数在的值域为， 因此函数在上的值域为. （2）不等式等价于，整理得， 因式分解得， 令，则，解得或. 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以. 综上所述，不等式的解集为. 27．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数． (1)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； (2)若，求取值范围． 【答案】(1)由，得，所以定义域为，对，且，所以是奇函数. 在定义域内单调递增，理由如下： 因为在单调递增，是增函数， 所以在单调递增； 因为在单调递减，是减函数， 所以在单调递增； 所以在单调递增. (2) 【分析】（1）根据奇偶性的定义证明函数是奇函数；根据复合函数单调性判断是增函数； （2）根据函数的奇偶性变形后利用单调性和定义域列不等式组求解. 【详解】（1）略 （2）因为是奇函数，所以由得， 又是定义在的增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 28．（25-26高三下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3)若，则原不等式的解集为；若，则原不等式的解集为；若，则原不等式无解 【分析】（1）根据对数函数的定义，列式即可求出定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断； （3）按照和分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可. 【详解】（1）由函数的解析式可得解得， 所以函数的定义域为. （2）由（1）可知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. （3）可化为，， ①若，则有，即， 因为，， 所以原不等式的解集为， ②若，则有，即， （ⅰ）若，则，原不等式有解，解集为； （ⅱ）若，则，原不等式无解， 综上所述，若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式无解. 题型八：复合函数单调性的问题 29．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用换底公式将不同底对数化为同底，再根据复合函数“同增异减”，转化为系数小于0即可求解． 【详解】， 因为，故在上单调递增， 要使在上单调递减，则， 即，即， 结合得，故只需， 因此可得的取值范围为． 30．（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得或，即函数定义域为. 设， ，在上单调递减. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”规则，的单调增区间为. 31．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求对数函数的定义域，再依据复合函数“同增异减”的单调性规则，结合内层二次函数的单调性取交集得到结果． 【详解】由题得，， 因为对数函数在单调递增，二次函数在单调递减，在单调递增， 所以函数的单调增区间是． 32．（26-27高三上·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【详解】函数的定义域为， ，因此函数是奇函数， 函数分别是上的减函数、增函数， 减函数-增函数，则函数在上单调递减. 题型九：由对数(型)的单调性求参数 33．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，得，故的取值范围是. 34．（2027高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上是增函数， 故内层函数在上是减函数且成立， 只需对称轴且， 解得：，即. 35．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】内层一次函数递减，由同增异减得底数，再保证区间内真数最小值大于0，即可求解. 【详解】令，，则在严格递减. ，复合函数“同增异减”，在严格递减，单调递增，所以得出； 由真数恒大于零，所以在恒成立. 在严格递减，最小值在，所以. 综上所述，， 所以实数的取值范围是. 36．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 题型十：对数函数中的恒成立、有解问题 37．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【详解】（1）令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得， 故的取值范围为. （2）令，由得， 则， 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则， 即对一切成立. 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为. 38．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令将函数转化为二次函数，在固定区间上根据二次函数单调性求值域； （2）由，令，得，通过解一元二次不等式求解集； （3）令将恒成立转化为恒成立，再利用函数单调性求函数的最大值即可. 【详解】（1）已知函数，令，由得，函数转化为二次函数，，则二次函数，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值为，由，可知当时，取最大值为5， 故当时，函数的值域为. （2）由题意知，令，则 ，即，解得或； 当时，即，解得， 当时，即，解得， 故不等式的解集为. （3）由于对于恒成立，令，对于，则，即对于恒成立， 所以对于恒成立； ∵函数和函数在上都单调递增， ∴函数在上单调递增，则当时，它的最大值为， 故当时，对于恒成立， 所以的最小值为. 39．（25-26高三下·江西·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． （2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 40．（25-26高三上·山东青岛·期末）对于任意实数，关于的不等式在总有解，则的范围是________. 【答案】 【分析】根据函数单调性的性质，结合对数函数的单调性、绝对值不等式的公式解法分类讨论进行求解即可. 【详解】因为函数在上都单调递增， 所以函数在上也单调递增， 所以. 当时，显然关于的不等式在总有解， 当时，，或； 当时， 要想关于的不等式在总有解， 只需； 当时， 要想关于的不等式在总有解， 只需， 所以，而，所以， 综上所述：， 所以的范围是 题型十一：对数函数的综合问题 41．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 42．（25-26高三上·北京延庆·期末）设函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，的最小值为3，求m的值； (3)当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数性质确定的取值范围，再结合对数函数单调性求解的值域. （2）先判断函数的单调性，得出其在给定区间上的最小值点，再根据最小值为3求出的值. （3）将函数图象位置关系转化为不等式恒成立问题，通过换元法将函数转化为关于新变量的函数，求该函数的最大值，进一步求解的取值范围. 【详解】（1）因为当时，， 因为．所以， 所以， 所以的值域为. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，的最小值为，所以只需，即， 所以在区间上的最小值为， 又因为当时，的最小值为3， 所以．故. （3）当时，函数，的定义域为， 因为函数的图象恒在直线的下方， 所以在恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 则，即，， 令，， 由二次函数性质可知，当时，， 即，解得， 所以的取值范围为. 43．（25-26高三上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，． (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 【答案】(1)定义域为，解为， (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的解析式，求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程； （2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值， 分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围； （3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数， 由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得： 则得定义域为. 由，可得，可得， 解得，因此，关于的方程的解为； （2）当时，. 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意； 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意； 当时，令，得，此时， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ，，由于，所以，解得. 此时，. 综上所述，实数的取值范围是； （3）， 由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 所以，， 由题意可得，可得， 所以，. ①当时，； ②当时，令，设， 可得. 下面利用定义证明函数在区间上的单调性， 任取、且，即， ， ，，，，即， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，. 因此，实数的取值范围是. 44．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性（单调性只需判断无需证明）； (2)任意，，求实数的范围． 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【分析】（1）由对数函数的性质令，结合函数为奇函数，则定义域关于原点对称，即可确定的值，从而得到函数的定义域与解析式，再根据单调性的定义判断即可； （2）结合（1）中函数的单调性求出，依题意，解得即可. 【详解】（1）对于函数， 由，解得，又为奇函数，则的定义域关于原点对称，所以， 此时函数的定义域为且， 则，满足是奇函数， 所以； 在上单调递减， 任取满足， 则 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． （2）由（1）可知在上单调递减， 所以， 因为任意，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型十二：反函数 45．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 【答案】 【分析】根据函数与函数的图象关于直线对称可知与互为反函数，求出解析式后根据复合函数单调性求单调区间. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以， ，因为在上单调递减，在上单调递减，上单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知的单调递增区间是. 46．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】∵函数与的图象关于直线对称， 而函数与的图象分别为函数与的图象向左平移1个单位可得， ∴函数的图象与函数的图象关于直线对称． 47．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 48．（暑假预习专题 第20讲 反函数（暑假预习讲义）新高三年级数学沪教版）若，则__________ 【答案】 【分析】根据题意，结合反函数的定义即可求解. 【详解】设，则，即，所以，. 1．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 2．（26-27高三上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. 4．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析可知内层函数的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，则内层函数的值域包含， 当时，内层函数的值域为，符合题意； 当时，因为内层函数的值域包含， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 5．（25-26高三上·山西阳泉·期末）已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得到，再结合且的单调性即可求. 【详解】如图所示，且， 由，则，则， 从而，，即， 设，注意到， 易知在上单调递减， 于是. 6．（2027高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，寻找中间量（如和）进行比较.分别估算、、的大致范围，即可得出大小关系. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 综合以上分析，有，即. 7．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 要使函数在区间上单调递增， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 8．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 9．（26-27高三上·新疆巴州·阶段检测）（多选）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数与指数运算法则进行计算． 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 10．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）（多选）有下列几个命题，其中正确的是（    ） A．给定幂函数，则对任意，，都有 B．已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数，，则函数的最大值为3 【答案】ABD 【详解】对于A，对任意， 易知，， 由 得恒成立，故A正确； 对于B，由分段函数的单调性可知 则的取值范围为,故B正确． 对于C，易知，在上单调递增， 要有意义需，或， 又，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性知的单调递减区间为，故C错误． 对于D，,定义域为， 函数, , 函数定义域为 , 最大值为3，故D正确． 11．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知，，，则，，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，，，得，，，转化为函数与，与，与图像的交点问题；作出函数图像，结合图像可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，， ，，； 即转化为函数与，与，与图像的交点问题， 分别画出，，，，，的图像， 如图所示： 由图可知，与的图像交于，两点，与的图像交于，两点，与的图像交于，两点； 同时, 对于，，满足，故正确； 对于，的最大取值为，当时，不能取，则，此时不存在满足，故错误； 对于，，满足，故正确； 对于，，满足，故正确. 12．（陕西榆林市部分校2026-2027学年高三上学期第一次联考（月考）数学试卷）设，若函数是单调函数，则a的最小值为__________． 【答案】2 【分析】可以得到为单调递增函数，且需，分别画出两函数图象，数形结合可得答案 【详解】由于与在定义域内均为单调递增函数， 故为单调递增函数， 需满足，即， 同一坐标系内，分别画出与的图象，如下， 显然，，所以时，满足要求， 所以的最小值为2. 【点睛】 13．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知函数，则________，的值域为________． 【答案】 【详解】函数， 所以． 因为，所以， 所以， 故的值域为． 14．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）设函数，若函数有四个零点，，，，且，则k的取值范围是______，______． 【答案】 【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合的思想确定k的取值范围，再根据二次函数的性质以及对数函数的性质可求解的值. 【详解】设，则， 作出的图象如下， ， 函数有4个零点，等价于方程有4个不相等的实数根， 所以数形结合可知，，所以， 由图可知，， 由二次函数的对称关系可得，， 又由图可知，所以， 则有，所以， 所以. 15．（26-27高三上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. 16．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知，函数. (1)当时，若存在互不相等的实数，，使，求的值； (2)关于的方程有两个不相等的实数解，求的取值范围； (3)设，区间内的任意，，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对数运算即可求解； （2）把方程转化为一元二次方程根的分布问题来求解即可； （3）分析函数在区间的最大值和最小值来求参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以，又， 则，即，故. （2）由得， 因为函数在上单调递增， 所以且，即， 若方程有解，由根与系数的关系知两根之积为1，故两根同正或同负， 若两根为负，则，结合判别式可得，代入可得与矛盾，故两根必为正， 所以方程有两个不相等的实数解， 等价于在区间内有两个不相等的实数解， 所以，解得， 故的取值范围是. （3）因为，，则在区间上单调递减， 所以在区间内单调递减 对于区间内的任意，，都有， 所以， 即， 所以当时，恒成立 令，则，， ①当时，， ②当时，，又令在单调递减， 所以，则， 故的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 对数与对数函数 知识点1：对数的运算 1.对数的概念 （1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③； （3）对数恒等式alogaN＝N 2.对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. ③logaab＝b(a>0，且a≠1) 【跟踪训练】 1．（2027高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 知识点2：对数函数的定义及图像 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.对数函数的图象规律 (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低； (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点3：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 【跟踪训练】 3．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型一：对数的化简、求值 题型二：对数函数的解析式及其求值 题型三：对数函数过定点问题 题型四：对数函数的图象及应用 题型五：比较对数式的大小 题型六：对数函数的最值与值域问题 题型七：由对数函数的单调性解不等式 题型八：复合函数单调性的问题 题型九：由对数(型)的单调性求参数 题型十：对数函数中的恒成立、有解问题 题型十一：对数函数的综合问题 题型十二：反函数 题型一：对数的化简、求值 1．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）计算：______ 3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）求值：__________． 4．（26-27高三上·全国·课后作业）（1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值. 题型二：对数函数的解析式及其求值 5．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数，若图象过点，求的值. 6．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数（，且），且，求. 7．（25-26高三上·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 8．（2026高三上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 题型三：对数函数过定点问题 9．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·上海宝山·期末）函数 的图像恒过定点_____. 11．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）若函数的图象恒过定点，且点在幂函数图象上，则_____. 12．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）函数且的图象过定点，则点的坐标为__________，若点在函数的图象上，则的最小值为__________. 题型四：对数函数的图象及应用 13．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C． D． 14．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 16．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型五：比较对数式的大小 17．（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知，则三者大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·江苏·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 19．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 20．（26-27高三上·北京·期中）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 题型六：对数函数的最值与值域问题 21．（25-26高三下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 23．（26-27高三上·全国·课堂例题）已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 24．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 题型七：由对数函数的单调性解不等式 25．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 26．（25-26高三上·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 27．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数． (1)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； (2)若，求取值范围． 28．（25-26高三下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 题型八：复合函数单调性的问题 29．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 31．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 32．（26-27高三上·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 题型九：由对数(型)的单调性求参数 33．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 34．（2027高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 36．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十：对数函数中的恒成立、有解问题 37．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 38．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值. 39．（25-26高三下·江西·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 40．（25-26高三上·山东青岛·期末）对于任意实数，关于的不等式在总有解，则的范围是________. 题型十一：对数函数的综合问题 41．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 42．（25-26高三上·北京延庆·期末）设函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，的最小值为3，求m的值； (3)当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 43．（25-26高三上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，． (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 44．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性（单调性只需判断无需证明）； (2)任意，，求实数的范围． 题型十二：反函数 45．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 46．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 47．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 48．（暑假预习专题 第20讲 反函数（暑假预习讲义）新高三年级数学沪教版）若，则__________ 1．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西阳泉·期末）已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2027高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 9．（26-27高三上·新疆巴州·阶段检测）（多选）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）（多选）有下列几个命题，其中正确的是（    ） A．给定幂函数，则对任意，，都有 B．已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数，，则函数的最大值为3 11．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知，，，则，，的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 12．（陕西榆林市部分校2026-2027学年高三上学期第一次联考（月考）数学试卷）设，若函数是单调函数，则a的最小值为__________． 13．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知函数，则________，的值域为________． 14．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）设函数，若函数有四个零点，，，，且，则k的取值范围是______，______． 15．（26-27高三上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 16．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知，函数. (1)当时，若存在互不相等的实数，，使，求的值； (2)关于的方程有两个不相等的实数解，求的取值范围； (3)设，区间内的任意，，都有，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $