专题01 集合及集合知识压轴型应用12大题型（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 集合及集合知识压轴型应用 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 函数型相等集合 集合的相关概念 （1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ． （3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法． 思维技巧： 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关） 1．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．n的取值与m有关 B．n为定值 C． D． 【答案】B 【分析】先通过换元将集合转化为关于的不等式，再利用建立方程和不等式，解得的值和的范围，最后判断各项正误. 【详解】令则不等式化为，设的解集为， 即，，即，所以， 又，且，所以，且，故，且， 则，解得，故错误，正确； 故，因为集合非空，则有解， 则，解得或；因为是方程的两个根， 即是方程的两根，则， 故,解得，故， 故错误，错误. 故选： 2．（2025全国 模拟）已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案. 【详解】都不是空集，设，则；，则. 当时：方程的解为 此时，满足； 当时：的解为或 ，则或 ，则无解， 综上所述：， 故选 【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 3．（25-26高三·北京·阶段检测）已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，两类情况讨论求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由，可知且， 所以，或 当时，或 ， 由和的图象可知，它们在有且仅有一个交点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 当时，即， 若，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理和函数单调性可知，在 上存在唯一零点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 综上可知：集合的个数为2， 故选：B 4．（2025·全国 模拟测试）设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，，则(　　) A． B． C．A=B D． 【答案】C 【分析】先设，由元素与集合的关系可得,即, 再设，同理可得，即,即可得. 【详解】解：设，则，则 ，即,即, 设，则，不妨设，则， 当时，因为函数为单调递增函数，则 ，即，与已知矛盾， 当时，因为函数为单调递增函数，则 ，即，与已知矛盾， 当时，因为函数为单调递增函数，则 ，即，与已知相符， 综上可得，即，即，即, 即， 故选C. 【点睛】本题考查了集合的包含关系及元素与集合的关系，属中档题. 题型02 集合元素个数求参 集合中元素个数判断： 1.若集合是点集，则多是图像交点。 2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。 1．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 2．（2025山西·模拟预测）已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角变换将函数转化为.集合只含有3个元素，表示时在上只有三解，求出的根，从而得出的范围. 【详解】因为函数，所以， 因为集合含有个元素，所以时在上只有三解，即， 解得：或，故或， 要使其落在上，故只有、、，其他值均不在内， 故，解得，故，故选：D. 3．（24-25高三全国 专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解. 【详解】由，可得 因为等价于或， 且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集． （1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故； （2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且． 综上所求或，即，故， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题. 4．（2025·北京模拟测试）已知集合，集合，，满足. ①每个集合都恰有5个元素 ② 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：求出集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，排除选项B、C、D，由此能求出结果． 详解：由题意集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}， 当A1={1，4，5，6，7}，A2={3，12，13，14，15}，A3={2，8，9，10，11}时， X1+X2+X3=8+18+13=39，故排除B选项； 当A1={1，4，5，6，15}，A2={2，7，8，9，14}，A3={3，10，11，12，13}时， X1+X2+X3=16+16+16=48，故排除C选项； 当A1={1，2，3，4，15}，A2={5，6，7，8，14}，A3={9，10，11，12，13}时， X1+X2+X3=16+19+22=57，故排除D选项． ∴X1+X2+X3的值不可能为37． 故选A． 点睛：本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集、排除法等基础知识，考查学生的知识迁移能力和运算求解能力，属于基础题． 题型03 子集与真子集求参 元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”： 子集是从“从空集开始，到自身结束” 1．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 【答案】B 【分析】根据两集合中数的性质可知集合，没有公共元素，再由集合间的运算法则逐一分析选项即可求得结果. 【详解】因为， 因此可知集合，没有公共元素， 对于A，由分析知为空集，没有真子集，即A错误； 对于B，由可得，由可得， 因此若且，可知中元素个数为个，即B正确； 对于C，若在横线上填入“\”,则中有166个元素，则的非空真子集有个，即C错误； 对于D，由且可知且为有限集， 所以， 而，结合已有分析可知中元素个数为331个，即D错误. 故选：B 3．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【分析】根据题目条件结合集合的子集与并集运算判断选项. 【详解】集合共有个子集， 条件等价于并集缺少中至少一个元素， 设缺少元素，则所有子集均不含，即， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件， 假设，因为要满足这些子集的并集不等于，必须至少有一个中的元素不在任何一个子集中， 否则并集就会等于，设这个缺失的元素是，那么所有这个子集都不含，即每个子集都是的子集， 而只有个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集， 这是不可能的，因此假设不成立，不可能大于16，因此的最大值为16. 故选：B 4．（25-26高三·江苏连云港·阶段检测）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 题型04 交集型最值与求参 交集： 1．（25-26高二上·北京·期中）集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知曲线与圆有8个交点，结合对称性可知曲线与圆在第一象限内有2个交点，联立方程结合二次函数的零点分别运算求解. 【详解】若中有8个元素，即曲线与圆有8个交点， 对于曲线， 用替换，方程不变，可得曲线关于y轴对称； 用替换，方程不变，可得曲线关于x轴对称； 圆的圆心为，半径，且关于x、y轴对称， 可知曲线与圆在第一象限内有2个交点， 若，曲线即为， 联立方程，消去y可得， 构建，则的图象开口向上，对称轴为， 可知在内有两个零点，注意到， 则，解得， 可得，， 原题意等价于在内有两个零点， 且， 可知符合题意，所以a的取值范围是. 故选：A. 2．（25-26高三上海·阶段检测）已知集合 ，其中 为实数，现有两个结论：① 若 ，则 ；② 存在实数 ，使得 ，则下列判断中正确的是（    ） A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】先利用反证法证得，，再利用反证法证明至少有一个为零，然后分类讨论中的两个为0和中的1个为0，结合不等式的解法分析即可. 【详解】①由，即不等式组的解集为， 先证明都不小于零： 不妨假设，考虑不等式， 因为不等式组有解集，故不等式必定有解， 设方程的两实数根为， 则不等式的解集为， 由，即不等式组的解集为不等式的子集， 与解集为矛盾，故假设错误，，同理可知，， 再证明至少有一个为零： 不妨设均为正数，则的图象均开口向上， 不等式组的解集应该还有的部分，与已知矛盾，故假设错误，所以中至少有一个为零. 显然不全为0，分类讨论如下： 若中的两个为0，不妨设，则不等式组为解集为，此时 若中的1个为0，不妨设，则不等式组为，其中不等式的解集为， 不等式的解集为，不等式恒成立， 因为，故不等式组的解集为，此时，①正确， ②假设存在实数 ，使，即不等式组的解集为， 先证明都不小于零： 不妨假设，考虑不等式， 因为不等式组有解集，故不等式必定有解， 设方程的两实数根为， 则不等式的解集为， 又不等式组的解集为不等式的子集， 与解集为矛盾，故假设错误，所以，同理可知，， 再证明至少有一个为零： 不妨设均为正数，则的图象均开口向上， 不等式组的解集应该还有的部分，与已知矛盾，故假设错误，所以中至少有一个为零. 显然不全为0，分类讨论如下： 若中的两个为0，不妨设，则不等式组为解集为，与解集为矛盾， 若中的1个为0，不妨设，则不等式组为，其中不等式的解集为， 不等式的解集为，不等式恒成立， 因为，故不等式组的解集为，与解集为矛盾， 所以不存在实数 ，使得 ，②错误； 故选：C 3．（25-26高三·上海·阶段检测）已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出集合，再根据列不等式求出实数的取值范围． 【详解】，，集合， ， 等价于，整理得，解得，集合， 又， ，解得， 故选：D． 4．（25-26高四·天津河北·阶段检测）设集合， 集合，若.则的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合方程解的情况、交集的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】， ， 当时，， 若，显然方程没有实数解，显然成立， 若，由，要想， 则有，或，显然这两个不等式都有实数解， 因此此时的值为； 设， 要想成立， 只需，或， 由 ； 由 ， 综上所述：的取值范围是， 故答案为： 题型05 并集型求参与最值 并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B⇔A⊆B； 1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 2．（25-26高三·全国·阶段检测）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】根据可得，可得，再根据可得，分和两种情况来讨论即可得解. 【详解】由得，所以， ，所以， （1）若，由，所以， 所以，， 所以，即， 从而， 所以，所以， 即或，与矛盾； （2）若， 则，从而， 所以，即， 从而， 所以，， 所以或，又， 所以，， 又， 所以， 由代入可得： ，所以或（舍）， 所以， 故选：A 3．（24-25高三·湖南 阶段检测）已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，解绝对值不等式求出集合A，分类讨论的取值范围，求出集合B，由，列出满足条件的不等式组，解不等式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或 ， 所以或， 所以 ， 当时，，由， 则，解得； 当时，，此时不成立，故不取； 当时，， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，属于中档题. 4．（24-25高三上·吉林长春·阶段检测）对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 ，已知，.用表示有限集合M所含元素的个数，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】要想最小，只需最大且最小，据此结论找出满足条件的集合. 【详解】根据题意可知：， 要想最小，只需最大且最小， 所以要使的值最小，2，4一定属于集合X； 是否属于X不影响的值， 但集合X不能含有之外的元素，， 所以当X为集合的子集与集合的并集时，取到最小值6. 故选：B 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 题型06 全集与并集型应用求参 全集与补集运算的性质： 1．（25-26高三河南·阶段检测）复数集，集合，则集合在复平面上表示区域面积为______ 【答案】 【分析】根据已知条件确定集合,对应图形,即可求出面积. 【详解】复数集, 对应的图形是边长为2的正方形, 表示的图形为图中的阴影部分, 其面积为. 故答案为: 【点睛】本题以集合为载体,考查复数的几何意义,考查数形结合思想,属于较难题. 2．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）设，，，则实数的取值范围是__________. 【答案】且且 【分析】根据确定集合的关系，根据两集合的关系，求参数的取值范围. 【详解】由或，所以. 因为，所以. 所以且. 若，则， 整理得，解得； 若，则， 整理得，解得或. 所以由，可得实数的取值范围是：且且. 故答案为：且且 3．（25-26高三·北京·阶段检测）已知集合，，其中． ①集合__________； ②若，都有或，则c的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式不等式化简集合，根据补集运算得即可；根据，都有或，可得，根据并集运算列不等式求解c的取值范围即可. 【详解】集合或， 则； 若，都有或，则， 又，所以， 即c的取值范围是. 故答案为：；. 4．（25-26高三·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 题型07 集合整数元素个数 1．（25-26高三·河南新乡·阶段检测）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整理成，设，由中恰有三个正整数得到有两个不同的解，故解得的范围，求出的两个根为，由得到，此不等式的解集为，由中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数的取值范围是. 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 2．（25-26高三·全国·阶段检测）已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合中的整数元素，再分析集合中整数元素的个数，结合共2个整数，分为中的两个整数是和两种情况讨论求解． 【详解】，解得， 集合中的整数元素有：共4个， ， 集合至少包含3个整数， 又集合中恰好只有两个整数， 或， 若，需满足，解得， 若，需满足，， 的取值范围为，故A正确． 故选：A． 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，不等式的解集为空集，不符合题意， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为，对比选项只有不在范围内. 故选：C. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分别求出集合，然后利用集合的交集运算从而求解. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以，所以，， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当时，，此时， 综上：，所以，故C正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对分情况讨论具体的取值求出集合，从而求解. 题型08 韦恩图应用 韦恩图： （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 1．（24-25高三·上海·阶段检测）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断. 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断. 2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）若全集，是的定义域，则下列韦恩图表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知, 由是的定义域可得， 因此交集为空集，只有D符合题意. 3．（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，利用交集和补集的概念求出答案. 【详解】由题可知，, 故由交集和补集的概念阴影部分表示的集合为. 故选：B. 4．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 题型09 新定义压轴大题：基础概念理解型 解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 1．（2024高三全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】将分到四个S集中，等价于用四种颜色给这些正整数染色，且不能出现同色的满足．这个问题对应四种颜色的Schur数结论，即可以分成四个S集，而不能分成四个S集．由此可得的最大可能值． 【详解】由题意，若为S集，则对任意，都有．特别地，当时，也应满足．例如，若，则；若，则．所以本题中的S集就是一个“和无关集合”． 将分到四个S集中，可以理解为给每个正整数染四种颜色之一，并要求不能出现同色的三个数满足． 由Schur数结论可知，．其含义是：能够分成四个和无关集合，而不能分成四个和无关集合． 给出的一种分法： ， ， ， ． 这四个集合的并集为．并且可以验证，在每一个集合内部，都不存在满足，所以它们都是S集．因此． 另一方面，由可知，不能分成四个S集．若，则，从而也应能被这四个S集覆盖，这与矛盾．所以． 综上，正整数的最大可能值为． 2．（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【分析】根据集合新定义，分别求出当子集为单元素、两个元素、三个元素以及四个元素时的“绝对交错和”，即可求得答案. 【详解】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 3．（25-26高二下·北京·期中）已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 4．（25-26高三·河北 阶段检测）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据题意保证各集合中尽量小，结合已知和集合的性质有最大时，进而分析的取值即可. 【详解】由题意中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大时，则各集合中尽量小， 所以集合中的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设， 则有， 当时，， 当时，， 所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下， 使其中一个集合的特征值增加7即可，故的最大值为11． 故选：A. 题型10 新定义压轴大题：最值型 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性” 1．（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】(1)集合不是，集合是 (2)不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则， 则，且，使得， 当时， ， 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. (3) 【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分、与讨论，结合去绝对值的方法即可证明； （3）利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【详解】（1）集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）略 （3）不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数. 所以范数的最小值为. 2．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【答案】(1)，，， (2) 以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． (3) 将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 【分析】（1）根据序列相邻两项对应点的距离为1，逐步确定，，，. （2）把序列中的项看成方格中的点，连接相邻点得到水平或竖直单位线段，再用抽屉原理证明一定存在连续三点共行或共列； （3）把连续同方向的若干条单位线段合并为一个水平线段或竖直线段，通过估计水平线段数和竖直线段数的总数，得到具有性质的项的个数不少于10． 【详解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为，所以第四项为. 因此 . （2）略 （3）略 3．（24-25高二下·北京怀柔·期末）已知n是正整数，集合，对集合A中的任意元素，记． (1)当时，若，求和的值； (2)当时，若，且，求β； (3)设集合，若集合C的所有元素之和不小于，求n的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 （1）根据题中所给定义直接求解； （2）根据定义求出所有可能的β即可； （3）根据定义结合分类讨论即可得解． 【详解】（1） ； ． （2） ，则， ，故， 即β的分量中恰好有2个“1”，1个“0”， 所有可能的β为． （3）记有个位置分量取值不同，则， 当且仅当，否则为0， 故，， ， 的元素和， 由题意，即， 解方程，，， 当时，， 当时，， 故． 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 【答案】(1)， (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意分别计算，再根据即可求解； （2）假设只有1个元素，2个元素，根据已知验证，即可求解； （3）用反证法证明即可． 【详解】（1）由题可知，，，，， 所以， ，，， 所以， ，，所以， 所以． （2）当，， ，，，， 要使的元素个数最少，则需要相等的元素最多； ①假设只有1个元素，即， 由得， 由得， 代入，得，与已知条件矛盾， 因此，的元素个数不可能为1； ②假设只有2个元素， 1）考虑且， ， ， 我们需要在的条件下满足上述两个等式， 由，因为，所以，即， 同时， 将代入第二个等式： ， 我们需要， 由，得， 为了满足，即， 与矛盾，因此，且无法同时成立， 2）考虑且， ， ， 代入：， 已知， 由，因为且， 所以，与矛盾， 3）考虑且， ，， 由得，代入上式：， 我们需要，， 由得， 由得， 所以， 又，由得， 由得， 取，则， 取，则， ， 此时，满足， 计算的元素：， ，元素个数为2． （3）假设中至多含有45个元素，则， 由鸽巢原理，必有一个数在中至少出现46次，设， 考虑，， 这45个值互不相同且均小于，， 因此，这45个值与共同构成了中至少46个不同的元素， 与的假设矛盾， 所以M中至少有46个元素． 题型11 新定义压轴大题：数列型不等式 集合为背景的新定义题型：以集合新定义为外壳，结合数列、不等式、整数性质、分类讨论、反证法、放缩证明综合考查，属于高中数学压轴难度题型。 1.先给出全新集合概念（理想集、好子集、相容集、差集类定义等），搭配集合运算、元素约束条件， 2.结合数列项、项数、大小关系、求和、最值设置问题。 3.一道题多为，由浅入深：判断集合类型，求值或者求范围；设置不等式证明，要注意最值与等号条件探究。 4这类题型所给的集合元素多为正整数、非负整数，常附加元素互异、有序排列、元素和 与 差满足特定规则。 1．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 【答案】(1)集合①②是理想集，③不是理想集 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据理想集定义，计算每个集合对应的，再判断与是否无公共元素即可； （2）（i）：构造出3个两两不交的非空理想集，使得它们的并集为即可； （ii）：结合题意推导的取值规律，得到的放缩方式，再结合裂项相消原理求和证明不等式. 【详解】（1）根据理想集定义：为理想集当且仅当 ，其中， ① 集合：计算得， ， 因此是理想集， ②集合：计算得：， ， 因此是理想集. ③ 集合：因为，故且， ， 因此不是理想集. 所以集合①②是理想集，③不是理想集． （2）（i）构造集合，，， ，无公共元素，是理想集； ，无公共元素，是理想集； 中最小两元素和为，故，是理想集， 且， ， 所以是可分的，故． （ii）若存在个非空理想集，，…，，且，使得，则对于，取， 其中表示将集合中每个数都加上后所得的新集合． 取，此时存在个非空理想集，，…，， 且，使得． 设，则有 ， 则，又， 于是当时，， 故，当时，依然成立，所以， 于是， 当时，成立； 当时，． 综上所述，． 2．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)不是的3元好子集，是的3元好子集. (2)20 (3)证明见解析，等号成立的条件为，且 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【详解】（1）①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． （2）设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 3．（25-26高三·北京·模拟预测）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． (1)写出集合和； (2)取，，写出两个中的元素、，使得； (3)证明：对任意，存在，使得． 【答案】(1)， (2)，（答案不唯一） (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可； （2）设，由题意可得，由此可得出两个满足题设条件的元素、； （3）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意得，． （2）设，由以及可得， 故满足题设条件的两个元素可以为，. （3）对任意，设， 则、、、均为非负整数，且． 令，则， 所以，且． 4．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)当时，中元素之和为；当中元素之和为． 【分析】（1）由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. （2）先讨论 的情形. 当 时，用反证法证明 只能是集合中的最大元素或最小元素，进而得到结论. （3）分 与 两种情况讨论. 先证明相应顺序下数集中的元素构成等差数列，再求元素和. 【详解】（1）当 时，取 ，则 故命题成立. 当 或 时，命题也显然成立. 由题意，对 ，应有 故 分别解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 （2）当 时，命题显然成立. 当 时，设 为 中的最大元素， 为 中的最小元素. 若 既不是最大元素，也不是最小元素，则 于是对任意 ，都有 另一方面，取 ，则 由题设，应存在 ，使得 即 这与 矛盾. 故 必为 中的最大元素或最小元素. 若 为最大元素，则对任意 ，都有 从而 若 为最小元素，同理可得 命题得证. （3）若 ，则 ，又已知 ，故 是 中的最小元素. 下证 成等差数列. 由且 ，由题设知存在 ，使得 又因为 是最小元素，所以 . 由 可知 ，故只能有 ，从而 所以 成等差数列. 设对 ，都有其中 . 则 即 由题设，存在 ，使得 由 可知 ，于是 . 又由归纳假设， 结合 ，可知只能有 所以 由数学归纳法可知，对任意 ，都有 故当 时， 中元素之和为 当 时， 为 中的最大元素. 用同样的方法可证 成等差数列. 又因为该等差数列的首项为 ，末项为 ，项数为 ，故当 时， 中元素之和为 综上，当 时， 中元素之和为 ；当 时， 中元素之和为 . 题型12 新定义压轴大题：随机变量型 随机变量分布列型压轴题，是高考考察的一个题型，它以集合、子集、新定义概念为外在载体，以古典概型、随机变量、分布列、数学期望为核心考点，属于高考压轴综合题。试题一般先给出集合规则、新型关系、特殊集合名称（友好元素、差异度、规范集、序列等），再设置随机选取元素、子集、函数、序列等方面的抽取规则，依托抽取结果构造随机变量，分层设问。 1、等价转化：把陌生的集合新定义、新运算，转化为熟悉的计数、概率、函数问题； 2、分类讨论：多约束、多取值、多类子集 / 序列必须分类，是解题基础； 3、整体与局部结合：分析集合整体性质的同时，拆分单个元素、单个子集简化计数与概率计算； 4、构造思想：证明存在性、求最值时，构造符合新定义的集合、子集、序列。 1．（2026·湖南长沙·三模）知随机变量，的取值集合为的子集且，记，定义与的差异度为． (1)当时，，，且，，，求； (2)设数列，，，满足，证明：，并指出等号成立时的取值条件； (3)记，的数学期望分别为，，若，求的最小值关于的表达式，并写出此时能够取得该最小值的一组与的分布列． 【答案】(1) (2)证明：记，因为且， 两式相减，可得，对于任意取值为0或1的数列， 由于，可将改写成， 移项得， 在对求和式进行恒等变形得到， 因为，所以且， 根据绝对值性质知以及，将其分别乘以非负数与， 可得，以及， 相加得到， 两边同除以2，即证得， 上述放缩过程中，要使等号成立， 必须同时满足与 当 时，为使第二式成立，必须 ，即； 当 时，为使第一式成立，必须； 当 时，两式对或均成立. 为使第二式成立，必须 ，即； 故等号成立的条件为：当 时，；当 时，； 当 时，或. (3)解：记， 由已知条件概率和为1可得且， 对于任意常数，均有成立， 取，代入上式可得， 根据绝对值不等式的性质，可得， 因为，所以，进而可得， 将其代入放缩不等式可得， 将上述不等式从到累加，可得， 代入，即可得到，解得， 故的最小值为， 要使上述所有放缩过程均取到等号，必须满足对所有均有成立， 当时，上式化为，即； 当时，上式化为，即； 当时，由于，若要等号成立有． 结合与，可解得且， 即且，且其余所有位置均有， 结合概率非负且总和为1的性质，可令且，并令且， 此时剩余概率总和为， 由于已知，故该剩余概率值非负，可令， 其余所有位置（若存在）均满足 ， 由此构造出的一组满足条件的分布列为且，以及且，其余各项取值的概率均为0． 【分析】（1）根据题设中的定义，代入数值，进行计算，即可求解； （2）记，得到，由，得到，进而得到，根据绝对值性质，得到及，证得，进而得到等号成立的条件； （3）记，得到均有 成立，取，求得 ，得到，求得，得到的最小值为，由此构造出的一组满足条件的分布列，得到取得最小值的条件. 【详解】（1）解：因为定义与的差异度为 由，，且，，， 代入计算公式得， 化简得. （2）略 （3）略 2．（2026·湖南长沙·三模）已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，其中 对给定的整数m，n（其中记 (1)当时，求集合 (2)若且不是3的倍数，证明：； (3)从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过 【答案】(1) (2)若，则所求证结论显然成立； 若，则对任意的， 由题意得且， 则． 设中有个等于，有个等于2， 则． 因此 所以若不是3的倍数则即． (3)记＂从集合中随机取出一个函数属于＂为事件，则所求概率记为， 则. 下面计算： 由题意得，集合中共有个不同函数， 设中有个等于，有个等于2，则． 解方程组，得． 由于， 故当不能被3整除或时或时，上述方程组无解，此时； 当能被3整除且时，方程组有解，此时符合题意的函数共有个，因此． 下面计算： 对函数，若它也满足，则， 而． 因此，三者中有一个等于2，两个等于，所以共有种可能． 因此． 因此 由前面分析可知当不能被3整除或时或时，成立； 当能被3整除且时，． 由于，因此， 所以． 综上所述，从集合中随机取出一个函数， 它既属于又属于的概率不超过． 【分析】（1）根据定义，分类讨论即可； （2）分和讨论即可； （3）根据条件概率公式得，然后再计算和即可. 【详解】（1）当时，定义域为，，， 因为，所以， 由，，则， 则； （2）略 （3）略 3．（2026·湖北襄阳·一模）集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． (1)当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； (2)若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； (3)当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3)证明见解析 【分析】（1）当时，由题意，写出满足的条件，写出函数值，即可得答案. （2）取，，写出函数值，完成分别列，求出期望即可. （3）根据所给定义，不妨令，讨论A中有个0、个0和小于等于个0三种情况，求出B，分析讨论，综合即可得证. 【详解】（1）当时，由，需构造满足 ①， ② ③， 设，，，，，则满足①②③， 此时；故满足题意． （2）取，满足且满足 ，，，，，， 的分布列为 0 2 4 6 p 0 ， 所以， （其他合理答案，同样给分，如：，等）． （3）当时，若且满足，不妨令 ①由于，所以，，…，不可能都是0． ②若A中有个0，不妨设，，则，此时， 根据题意，则，， 但是当时与矛盾，所以不成立； 当时，， 与矛盾． 所以A中不可能有个0． ③若A中有个0，不妨设，，则，其中， 则存在函数f使得： ，，，，，， 即存在使得A与B是T中的友好元素． ④若A中0的个数小于等于个，不妨设， 其中，，，，，…，，则． 假设存在B，则有两种可能： 第一种：，其中若，， 则；若，，则，此时， ， 不符合题意； 第二种：，则 ． 即这两种情况都有，矛盾． 综上可知，当时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有个0． 4．（2026·湖南长沙·三模）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， (1)若，且，请列举所有满足条件的和； (2)求随机变量的数学期望； (3)设在处取得最大值，试建立与的关系． 【答案】(1)；；；；；. (2) (3)，其中为自然数. 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分类讨论，根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可； （3）列出不等式组，求出取值范围，分类求与的关系即可. 【详解】（1）由题意，；；；； ；. （2）根据集合的子集个数，可知集合A的可能情况有种；同理，集合B也可能有种. 因此，两集合的所有可能情况数为 X的所有取值为 当时，先从n个元素中选出k个元素，记为，有种可能情况； 对于这k个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况. 因此，事件“”的所有可能情况数为，则 由，可知，则. （3）若，由，，则，矛盾. 若，由，可知，当时，满足； 当时，满足 若，由，即， 即，解得， 从而，，其中为自然数. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合及集合知识压轴型应用 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 函数型相等集合 集合的相关概念 （1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ． （3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法． 思维技巧： 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关） 1．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．n的取值与m有关 B．n为定值 C． D． 2．（2025全国 模拟）已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·北京·阶段检测）已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·全国 模拟测试）设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，，则(　　) A． B． C．A=B D． 题型02 集合元素个数求参 集合中元素个数判断： 1.若集合是点集，则多是图像交点。 2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。 1．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 2．（2025山西·模拟预测）已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三全国 专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·北京模拟测试）已知集合，集合，，满足. ①每个集合都恰有5个元素 ② 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为 A． B． C． D． 题型03 子集与真子集求参 元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”： 子集是从“从空集开始，到自身结束” 1．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 3．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 4．（25-26高三·江苏连云港·阶段检测）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 题型04 交集型最值与求参 交集： 1．（25-26高二上·北京·期中）集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上海·阶段检测）已知集合 ，其中 为实数，现有两个结论：① 若 ，则 ；② 存在实数 ，使得 ，则下列判断中正确的是（    ） A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 3．（25-26高三·上海·阶段检测）已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高四·天津河北·阶段检测）设集合， 集合，若.则的取值范围是____． 题型05 并集型求参与最值 并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B⇔A⊆B； 1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·阶段检测）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 3．（24-25高三·湖南 阶段检测）已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·吉林长春·阶段检测）对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 ，已知，.用表示有限集合M所含元素的个数，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型06 全集与并集型应用求参 全集与补集运算的性质： 1．（25-26高三河南·阶段检测）复数集，集合，则集合在复平面上表示区域面积为______ 2．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）设，，，则实数的取值范围是__________. 3．（25-26高三·北京·阶段检测）已知集合，，其中． ①集合__________； ②若，都有或，则c的取值范围是__________． 4．（25-26高三·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 题型07 集合整数元素个数 1．（25-26高三·河南新乡·阶段检测）已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·阶段检测）已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 题型08 韦恩图应用 韦恩图： （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 1．（24-25高三·上海·阶段检测）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）若全集，是的定义域，则下列韦恩图表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 题型09 新定义压轴大题：基础概念理解型 解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 1．（2024高三全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 3．（25-26高二下·北京·期中）已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 4．（25-26高三·河北 阶段检测）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 题型10 新定义压轴大题：最值型 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性” 1．（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 2．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 3．（24-25高二下·北京怀柔·期末）已知n是正整数，集合，对集合A中的任意元素，记． (1)当时，若，求和的值； (2)当时，若，且，求β； (3)设集合，若集合C的所有元素之和不小于，求n的最小值． 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 题型11 新定义压轴大题：数列型不等式 集合为背景的新定义题型：以集合新定义为外壳，结合数列、不等式、整数性质、分类讨论、反证法、放缩证明综合考查，属于高中数学压轴难度题型。 1.先给出全新集合概念（理想集、好子集、相容集、差集类定义等），搭配集合运算、元素约束条件， 2.结合数列项、项数、大小关系、求和、最值设置问题。 3.一道题多为，由浅入深：判断集合类型，求值或者求范围；设置不等式证明，要注意最值与等号条件探究。 4这类题型所给的集合元素多为正整数、非负整数，常附加元素互异、有序排列、元素和 与 差满足特定规则。 1．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 2．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 3．（25-26高三·北京·模拟预测）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． (1)写出集合和； (2)取，，写出两个中的元素、，使得； (3)证明：对任意，存在，使得． 4．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 题型12 新定义压轴大题：随机变量型 随机变量分布列型压轴题，是高考考察的一个题型，它以集合、子集、新定义概念为外在载体，以古典概型、随机变量、分布列、数学期望为核心考点，属于高考压轴综合题。试题一般先给出集合规则、新型关系、特殊集合名称（友好元素、差异度、规范集、序列等），再设置随机选取元素、子集、函数、序列等方面的抽取规则，依托抽取结果构造随机变量，分层设问。 1、等价转化：把陌生的集合新定义、新运算，转化为熟悉的计数、概率、函数问题； 2、分类讨论：多约束、多取值、多类子集 / 序列必须分类，是解题基础； 3、整体与局部结合：分析集合整体性质的同时，拆分单个元素、单个子集简化计数与概率计算； 4、构造思想：证明存在性、求最值时，构造符合新定义的集合、子集、序列。 1．（2026·湖南长沙·三模）知随机变量，的取值集合为的子集且，记，定义与的差异度为． (1)当时，，，且，，，求； (2)设数列，，，满足，证明：，并指出等号成立时的取值条件； (3)记，的数学期望分别为，，若，求的最小值关于的表达式，并写出此时能够取得该最小值的一组与的分布列． 2．（2026·湖南长沙·三模）已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，其中 对给定的整数m，n（其中记 (1)当时，求集合 (2)若且不是3的倍数，证明：； (3)从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过 3．（2026·湖北襄阳·一模）集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． (1)当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； (2)若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； (3)当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 4．（2026·湖南长沙·三模）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， (1)若，且，请列举所有满足条件的和； (2)求随机变量的数学期望； (3)设在处取得最大值，试建立与的关系． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $