2.6 对数与对数函数（精练）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 分层梯度清晰，覆盖对数函数定义、运算、性质及综合应用，从基础概念到实际问题层层递进，适配一轮复习知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对数定义、基本运算|题量占比约30%，直接考查概念辨析与简单计算，如化简求值题，培养数学抽象能力| |进阶层|函数性质、图像应用|题量约50%，结合奇偶性、单调性等综合性质，如零点个数判断，发展逻辑推理素养| |拔高层|含参问题、实际建模|题量约20%，涉及恒成立及天文学等实际情境（如普森公式），体现数学建模与应用意识|

2.6 对数与对数函数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山西晋城·三模）若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，. 2．（25-26高三上·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，代入，结合对数的运算性质求出的值，即为所求. 【详解】两颗星的星等与亮度满足， 令，，，， 因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为. 故选：B. 4．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 6．（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由条件可得，令，根据基本不等式可得，由条件结合对数函数性质可得，且，由此可求. 【详解】由已知， 所以， 令，又， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为函数的最小值为2， 所以，解得. 故选：D. 8．（25-26高三上·安徽安庆·开学考试）已知函数的零点为、函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数零点的定义及零点存在性定理，结合反函数的性质及不等式性质逐项判断即可. 【详解】由，得，，则，， 因此分别是直线与函数、的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中作出函数，的图象及直线，如图， 函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 直线也关于直线对称，则点关于直线对称， 即，则，CD错误； 函数在R上都是增函数，则函数在上是增函数， 又，，则， 因此，B错误，A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据对数运算律结合换底公式计算判断A，D，应用指数运算律计算判断B，C. 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 10．（25-26高三上·海南·阶段检测）已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 【答案】AC 【分析】将代入函数解析式求值判断A；令，利用换元法求得最值判断BC；再结合二次函数的单调性以及对数函数的单调性求得递增区间判断D. 【详解】函数， 所以，故A正确； 由对数函数性质可得的定义域为，令， 即可化为， 因为，， 所以时，有最小值，无最大值，故B错误；C正确； 由二次函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 由对数函数性质可得在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 令，解得，则在上单调递增， 综上，的单调增区间为，单调减区间为，故D错误. 故选：AC 11．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·广东广州·期中）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，然后根据二次函数的单调性及复合函数单调性判断原则进行判断即可． 【详解】解：令，解得或，所以的定义域为， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在定义域上为减函数， 所以的单调增区间为． 13．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】把不等式转化为，结合对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 14．（25-26高三上·甘肃武威·开学考试）已知函数的值域为R，关于a的不等式恒成立，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据对数型函数的值域为R，确定真数部分的取值范围，进而求出a的取值范围，然后将关于a的不等式进行变形，通过换元法转化为关于新变量的不等式，最后根据不等式恒成立求出实数k的取值范围. 【详解】函数的值域为R， 所以的值域要包含所有正实数， 当时，，则为一次函数， 当x取得合适值时，能取遍所有正实数，满足题意， 当时，是二次函数， 则，解得或， 综上，a的取值范围是， 令（），则，可化为， 即对恒成立， 设，其对称轴为， 当，即时，，解得； 当，即时，，解得，与矛盾，舍去. 综上，实数k的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江西九江·开学考试）化简与计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 16．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)求； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由函数解析式求函数值并结合对数运算可得； （2）先求函数的定义域，再将不等式根据对数函数的性质转化为一元二次不等式，并求得解集，再与函数的定义域求交集可得. 【详解】（1）因为函数，所以，， ， 所以 . 因此. （2）要使函数有意义，则，即，得；    又由，可知， 根据对数函数的性质，得，，，，解得， 所以不等式的解集为， 因此不等式的解集为. 17．（25-26高三上·安徽·阶段检测）某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】(1) (2)项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【详解】（1）由， 可得，解得 故； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 18．（25-26高三上·湖北黄石·阶段检测）已知，且，且． (1)求a的值及的单调区间. (2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)，函数在上单调递增，在上单调递减； (2). 【分析】（1）先由求出的值，再由复合函数单调性，同增异减，求出的单调区间. （2）构造，分别求出即，，不等式成立， 即，可求出实数t的取值范围. 【详解】（1）由得，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以，故的定义域为； ， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数为增函数， 由复合函数的单调性可得：函数在上单调递增，在上单调递减． （2）令， ，，使得，即， 其中由（1）知， 又在上单调递增， ， ，． 19．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知函数. (1)设， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当时，求函数的值域. (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）0；（ⅱ） (2). 【分析】（1）（ⅰ）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值； （ⅱ）利用复合函数法可求得函数的值域； （2）令，可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题转化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 易知函数的定义域为， （ⅰ）令，，则， 当，即时，取得最小值，最小值为0. （ⅱ）当时，， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，函数的值域为. （2）当时，易知， 可化为， 记函数在上的最大值为，最小值为， 则对任意，，恒成立，等价于， 函数的图象开口向上且对称轴为直线， 当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 结合二次函数图象的对称性易知，当时，， 由，可得，即， 解得，此时，符合题意； 当时，， 由，可得， 解得，此时，符合题意； 当时，在上单调递减， 可得，， 由，可得，解得，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6 对数与对数函数（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山西晋城·三模）若函数则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 8．（25-26高三上·安徽安庆·开学考试）已知函数的零点为、函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 10．（25-26高三上·海南·阶段检测）已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 11．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·广东广州·期中）函数的单调递增区间是__________. 13．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为______. 14．（25-26高三上·甘肃武威·开学考试）已知函数的值域为R，关于a的不等式恒成立，则实数k的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江西九江·开学考试）化简与计算 (1)； (2)． 16．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)求； (2)求不等式的解集． 17．（25-26高三上·安徽·阶段检测）某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 18．（25-26高三上·湖北黄石·阶段检测）已知，且，且． (1)求a的值及的单调区间. (2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围. 19．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知函数. (1)设， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当时，求函数的值域. (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $