福建厦门市第二外国语学校2026-2027学年上学期高三第一次月考数学试卷

命题：张心怡、黄建英 审核：高三数学备课组 厦门二外2026-2027学年高三上学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x-1<x<3},B={xx2-4x<0},则AUB=() A.{x-1<x<4} B.{x0<x<3 C.{x-l<x<0 D.{x0<x<4 2.已知命题xeR,x2+(a-I)x+4≤0”是假命题，则实数a的取值范围是() A.-3<a<5 B.a<-3或a>5 C.-3≤a≤5 D.a≤-3或a≥5 3.已知点3写在幂函数f()=的图象上，设a=f(),b=f2),c=守)， 则a,b,c的 大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 4.已知f(x+I)是R上的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=x+1,则fI.4)=() A.1.4 B.3.4 C.1.6 D.3.6 A 5.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() 2x-2 A.f)=1- B.f)=2+2 1-x2 C.f(x)= 2--2 1-x2 D.f)=2+2 x2-1 2-x<2 6.函数f(x)= 3 若方程f(x)-Q=0有三个不同实数根，则实数a的取值范围为() A.1.3) B.(0.3) c.(0.2) D.(0.) 7.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意实数x,有f(x)>f'(x),且f(x)+1 为奇函数，则不等式f(x)+e<0的解集是() A.(-0,0) B.(0,+∞) 8.若两曲线y=lnx-1与y=x2存在公切线，则正实数a的取值范围是() A.(0,2e] B. c.(age D.[2e,+o) 试卷第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是() sinπ 4 4 B.对于己知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为4 C.若f(x)=sin(2x+3),则f"(x)=cos(2x+3) D.设函数导函数为，且/=x+3Q+ln,则了Q)-号 10.已知a>0,b>0,且a+b=1,则() A.d+B≥1 B.2> C.1og2a+log2b≥-2 D.√a+b≤√ 11.对于函数f(x)=x2nx,下列说法正确的是() 1 A.当0<<<时，血<h5 B.若f'(x)是函数f(x)的导数，则f'(x)≤2x2-x c.若f)=a(c+e)有两个解，则a< D.设h(x)=2f(x)-x3,h(x)>0至少有三个整数解，则t<ln2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知函数)？一3x4,则()的单调递减区间为 13.己知3"=6，n=l1ogg2,则2n-m= 14.已知函数f(x)=e-1+e-x2+2x,则关于m的不等式f(m+2)<f(2-1)的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数f(x)=x+2+bx+2(a,b∈R),当x=1时，f(x)有极小值0. (1)求实数a,b的值： (2)求函数f(x)在区间[-1,3]上的最值， 试卷第2页，共4页 命题：张心怡、黄建英 审核：高三数学备课组 16.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的 中点，AB=AC=1,PA=2. p (1)证明：PB/1平面DEF: (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值： D E 17.己知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn,且S3=15,a,a4,a3成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若6，= ,数列6，的面2项和为，求证名 anan2 18.已知抛物线C:y2=2px的焦点为(2,0). (1)求抛物线C的方程： (2)设直线y=k(x-2)与抛物线C相交于M,N两点， (i)若MW=10,求实数k的值： (i)O为坐标原点，求△OMN重心的轨迹方程. 试卷第3页，共4页 19.设函数f(x)=nx++a,aeR (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若(x)>1-。恒成立，求a的取值范围： (3)已知m>0,方程f(x)=m有两个不等实根x,x2,方程f(x)=-m有两个不等实根x,x4,试判 断xx2与xx,的大小关系，并证明你的结论. 试卷第4页，共4页 《厦门二外2026-2027学年高三上学期第一次月考》参考答案 题号 1 3 4 6 7 8 9 10 答案 A A 0 A D B BD ABD 题号 11 答案 BCD 1.A【详解】x2-4x<0,解得0<x<4,B={x0<x<4},又A={x-1<x<3}, 所以AUB={x|-1<x<4} 2.A【详解】因为命题“x∈R,x2+(a-1)x+4≤0”是假命题，所以命题x∈R, x2+(a-1)x+4>0”是真命题，由题意可得△=(a-1)2-4×4<0,解得-3<a<5, 故实数a的取值范围是-3<a<5 3.D【详解】由点(3兮)在幂离数f()=的图象上，可得”片，解得a=-1, 所以f(x)=x=1, 西数/（刊在Q)上单河淀减。因为2宁>>0，所以 0<f2)fG) 即0<b<c,又因为a=f(-1)=-1<0,所以c>b>a. 4.C【详解】因为f(x+1)是R上的偶函数，所以f(x+)=f(-x+),所以f(x)关于x=1 对称，当0≤x≤1时，f(x)=x+1,所以f1.4)=f(0.6)=0.6+1=1.6.故选：C 5.A【详解】对于A,由1-x2≠0，得x≠±1，所以函数f(x)的定义域为 (m,0u(10心0+m,又f0对-2-2”2-2-25-2 1(x)1-x2-1xf,所以函数 f(x)为奇函数，又x>1时，2>2,1-x2<0,所以f(x)<0,符合题意，故A正确： 对于B,由A知函数f(x)的定义域为(-∞，-1)(-1,1)1，+m), 又(x)=2,+22,+名三，所以函数)为偶函数，不符合题意，故B错误， 对于C,由A知函数f(x)的定义域为(-n,-1)U(1,1)U(L,+∞)， 又0=2-22-z2-2 1-(-x)21-x21-x2 =-f(),所以函数f(x)为奇函数， 又x>1时，2*>2x,1-x2<0,所以f(x)>0,不符合题意，故C错误： 对于D,由x2-1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)的定义域为(-∞，-1)(-1,1)UL,+o), 答案第1页，共8页 又0)=2+2.2+2 -1x-),所以函数)为偶函数，不符合慰盒，故D错误 6.D【详解】作出函数f(x)的图象如图所示， 方程f(x)-a=0有三个不同的实数根，则函数y寸(x)的图 象与y=a的图象有三个不同的交点， 根据图象可知，a的取值范围为0<a<1 7.B【详解】试愿分析：设8(x)=国.由f)>fx),得 g国)-ee_®国<0，故函数在R上单调递减.由f)+1为奇 (e)月 函数f0)-1,所以g0)=f0-1.不等式f)+e<0等价于因-，即 ex g(x)<g(0),结合函数8(x)的单调性可得x>0,从而不等式f(x)+e<0的解集为(0，+o), 故答案为B. 8.B【详解】设公切线与曲线y=lhx-1和y=2的交点分别为(x,hx-),(x,),其 中>0，对于y=nx-1有y,测y=加x-1上的切线方程为y-(仙美-)小(-)。 即y=+(nx-2),对于y=ax2有y=2ar,则y=ax2上的切线方程为 y-ax2 =2ax (x-x2),y=2axx-ax2, （L=2 1 所以x 有证=n写-2，即0=2g-n6>0, Inx-2=-ax2 令g()-2x-rh,g'(x)=3x-2xnx=x3-2hx),令g'()0,得x=e, 当Qe时，g(0,8()单词递增，当xe良切时，g<0,g内年词运液， 所以=ge酸0,a2 9.BD【详解】对于选项A:因为sim =0,故A错误： 4 对于选项B:该函数在区间1到上的平均变化率为3)-0-11,3=4，枚B正确： 3-1 2 答案第2页，共8页 对于选项C:若f(x)=sin(2x+3),则f'(x)=2cos(2x+3),故C错误； 对于选项D:由题意可得：了)=2x+3了②)+ 令x=2,则了回=4+372)+解得f②=}放D正确：放选：BD 10AD【详1对于A公4=a40-a-公-2a1-2a-+分号 当且仅当a=-办时，等号成立，改A正确： 对于B,a-b=2a-1>-1,所以2b>2= 2,故B正确， 对于C,log2a+log2b=log2ab≤log2 a+b)2 2月 1e-2 当且仅当a=b号时，等号成立，枚C不正确： 对于D,因为(Na+b)=1+2b≤1+a+b=2, 1 所以√a+√b≤√2，当且仅当a=b=二时，等号成立，故D正确 2 11.BCD【详解】函数f(x)=x2nx的定义域为{xx>0},f'(x)=2xnx+x=x(2nx+l), 1 对于A,令f'(x)=0,得x=- 当0<6/0，所以a怎 上单调递 减，故0<名<<怎时，)>f)小，即血x>血5，A错误 对于B,要证f'(x)≤2x2-x,即2xnx+x≤2x2-x, 所议2nx+1≤2x=1,即2nx-2x+2≤0，令g)=2nx-2x+2,则g)-2-2,令 g(x)=0,则x=1,当0<x<1时，g(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增： 当x>1时，g(x)<0,所以g(x)在(1，+∞)上单调递减： 所以g(x)≤g(I)=0,所以2nx-2x+2≤0，即f'(x)≤2x2-x,B正确： 对于C,由f(x)=ar2(x+e2）,得x2lnx=a2(x+e2), --Inx 两边除以，得h=a+e.所以a=令)，则= （x+e2)2 答案第3页，共8页 令问)=1+g-nx,则rx)=-￡-<0，所以4(x)在(0，w)上单调递减，又 x x2 x ()-1+号-he2=0,当0<G时.M>0.所以0在ae)上单调适. 当x>e2时，h(x)<0,所以h(x)在(e2,+∞)上单调递减， 又()=(e)=,当x→+时，（→0：当x→0时，h()→0： 当且仅当0<0启时，a是有两个解，当且汉当0≤0时，a有一个解， 因此方程f(x)=心(x+e)有两解时，不等式a<。成立，C正确； 对于D,h(x)=2f(x)-x3=2x2lnx-x3,又h(x)>0, 所以2r血x->0,两边同除以，可得t<21血x 令()-2h,则K-20h,今)=0，得=e, x2 当0<x<e时，k(x)>0,函数k(x)在(0，e)上单调递增， 2 当x>e时，k'(x)<0,函数k(x)在(e,+oo)上单调递减，kx)s=k(e)= 又2-22-h2.k-293.到-2g4=n2, 2 4 因此当k(3)>k(2)=k(4)=lh2>1时，x取整数2,3,4满足h(x)>0, 所以h(x)>0至少有三个整数解，则t<ln2,D正确。 12.(4,+∞） 【详解】令x2-3x-4>0,解得x<-1或x>4,又y=x2-3x-4在(-o,-)上单调递减，在 (4,+o）上单调递增，且y在(0，o)上单调递减，所以()在()上单调递增，在 (4,+o∞）上单调递减.故答案为(4，+o∞）. 13.-1 【详解】由3=6，得m=log6,而n=1og22=1og,2, 所以21-m=1og,2-1bg,6=1og3-1 4.（(6*+) 答案第4页，共8页 【详解】因为f(x)=e1+e--x2+2x,xeR, 所以f(x)-f(2-x)=e1+e-x-x2+2x-e-x-e-1+(2-x)2-2(2-x)=0, 所以f(x)的图象关于直线x=1对称.因为f(x)=e-e--2x+2,设g(x)=f'(x), 则8)=ene-2=e+-22e。-2=0, 当且仅当。品，即=1时，等号成立，所以西数了)在R上单调适指。 又因为(1)=0，所以当x∈(0,1)时，f(x)<0, 函数f(x)单调递减，当x∈(1，+o)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增. 由f(m+2)<f(2-1),得m+2-1<2m-1-1,所以(m+1)2<(2m-2).整理得 四-33->0.解得兮支3，即不等式的解案是心引01o). 15.【详解】(1)f(x)=x3+ax2+bx+2,f'(x)=3x2+2ax+b, 「f'(①)=0 当x=1时，f(x)有极小值0， f()=0 ÷3+2a+b=0.Ja=0 1+a+b+2=06=-3’f=r-3x+2,∴f(x)=3x2-3, ~f(x)>0的解为x>1或x<-1,∴.f(x)在(1，+∞)，(-0，-1)上是单调递增函数： :f'(x)<0的解为-1<x<1,.f(x)在(-L,1)上是单调递减函数， :fx)在x=1处取得极小值，满足题意，故6=3 a=0 (2)由(1) {9e=+2.四=r-3 又：x∈[-1,3]，∴f"(x)>0在[-1,3]上的解为1<x≤3，∴f(x)在l,3]上是单调递增函数： f'(x)<0在[-1,3]上的解为-1<x<1,f(x)在(-1,1)上是单调递减函数： ∴f(x)在[-1,3]上的最小值为f()=1-3+2=0,又f(-1)=(-1)-3×(-1)+2=4, f(3)=3-3×3+2=20,f(x)在[-1,3)]上的最大值为20， 答案第5页，共8页 综上可知，f(x)在[-1,3]上的最小值为0，最大值为20 16.(1)证明：由题意知E、F分别是BC、CP的中点，则得PB∥EF, 因为EFc平面DEF,PB丈平面DEF,所以PB/I平面DEF, (2)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，则可以A点为坐标原点，以AB,AC, AP所在直线为x,y,二轴建立空间直角坐标系， 则4@ao.BLo.0.co1o,P00.2.200}0 所以亚-(Qa2y.亚((3 设平面DBF的一个法向量为i=(x,y,x), ED.n=2=0 2 则 ,令x=1,则得i=(2,0,1), 1 DF.=-x+ y+z=0 22 n.AP 设直线PA与平面DEF所成角为O,则sinB= 2-5 列A可 2x√55 故线A与平面DBF所成角的正弦值为 5 17.【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则S=3a,+3d=15,又a,a4,a3成等比 数列，所以a=aa3,则(a,+3d)'=a,(a+12d)化简得d(9d-6a）)=0,即9d-6a=0,解 得a=3,d=2,所以an=3+(n-1)×2=2n+1 (②庙0)得6，=。1 11(11） a。a2(2n+1）(2n+5)42n+12n+5 测歌=报片村言+ ，11 2n-12n+32n+12n+5 +)后+) 1】 因34)小0，所以后乱434后即<后发立 2 18.【详解】(1)由抛物线C:y2=2px的焦点为(2,0)可得p=4, 所以抛物线C的方程为y2=8x. 答案第6页，共8页 (2)(i)联立抛物线C:y2=8x与直线y=k(x-2)的方程可得 y2=8x 4k2+8 少=k6-2)整理得x2-4x-8x+4秋：=0，故 出1+x2= 2=4 N=x+x2+p=10,.x1+x2=6,解得k2=4,.k=±2. (i)由(i)得x+为= 十8，y+=(飞=2)+k(多-2)=k6+玉二4=8 x=当+5 3x=4k2+8=4+ 8 设△ON重心坐标为(x,y),则 3 3+x2=3x k2 y=当+业y+为=3y 即 8 3y= 3 所以3x=4+8. 人三、即=g24 3-9x>3 19.【详解】1)因为f()=lr++a的定义域为0，+o),fy)== 令f'(x)=0得，x=1;令'(x)>0得，x>1;令'(x)<0得，0<x<1, 所以，f(x)在(0,1)上单调递减，在[1，+o)上单调递增 2)由对(>1得ar+名a小>1-，即r+aw+0, e 令g=x+m+,xe(0,to),则g)>0恒成立，即gm>0, e g'(x)=Inx+1+a, 令g'(x)=0得，x=e>0:令g'(x)>0得，x>e-;令g'(x)<0得，0<x<e-, 所以，g()在(0，el）上单调递减，在[el,+o∞)上单调递增， g(x)m-g(e1)-e1-me1+ae+-(-I-a)e+ae+-e+1>0. 则e1<e1,得-1-a<-1,解得a>0,故a的取值范围为(0，+∞) (3)xx>xx4.证明如下： 因为方程f(x)=m有两个不等实根x,名，不妨设0<x<1<,, 所以hx+=m-a,n5+！=m-a, X2 化简得n+=n+,即h支=5点， 1 X2 xX2 答案第7页，共8页 令4-安英其中0<4<1，则=代，所以4= 4x2 4血4，则解得5-飞-少 解得5 4(n2: 因为方程f(x)=-m有两个不等实根x3,x4,不妨设0<x<1<x4, 所以h5+=-m-a,nx+1=-m-a, 1 X3 XA 1 、化简得ns+二=m+戈·即h专=与一 七4x3x4 令5=点，其中0<4<1，则5=4x,所以n4,= 52x4” n4,解得5=飞- 解得戈= 4(n)2: 设)么- ,其中0<<1，令0=0P,间=-， 则w0=2+12n1=my+2h,v0=2t-). h0=V0m0-0uo_24-0nnP-0-P(a）2+2w） u2() t2(n)4 _-in-24-_-[u+)hm-2-] 2(n） t2(ln)）月 因为t∈(0,1)，所以∈(0，)，t-1<0,lnt<0,(ln)3<0, 令p()=(t+l)lnt-2(t-1),其中t∈(0，+oo), 则p0=nm++1-2=lnM+;1, t p0}分，当0c1<1时，p0<0,所以p0在@D1年调运成 p')>p'()=0,所以p()在(0,1)上单调递增， 当t→0*时，1+1→1，nl→-0，所以p()<0,则h()<0, 所以h()在(0,1)上单调递减， 因为m>0,所以m-a>-m-a,所以0<x<x<1<x4<x2, 则4=<点=，所以h)>h),即西>xX. X2 XA 答案第8页，共8页