河南南阳市唐河县第一高级中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

2026年秋9月份高二年级学情调研数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A． B． C． D． 3．设，则“”是直线：与直线：平行的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是 A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（ ） A．直线在轴上的截距为1 B．如果，，那么直线不经过第二象限 C．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 6．直线：被圆：所截得的弦中，最短弦所在的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 7．直线椭圆相交于，两点，则弦的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知点是椭圆：（）的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知两椭圆和，则（ ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10．以下四个命题表述正确的是（ ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为2 11．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（ ） A．动点的轨迹方程为 B．动点的轨迹与圆：没有公共点 C．直线：为成双直线 D．若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两平行直线：与：之间的距离为_________． 13．若椭圆的离心率为，实数的值是____________________． 14．已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，。 （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线所在直线的一般方程． （3）求点关于直线：对称的点的坐标； 16．已知圆：； （1）若直线与圆相切，且在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． （2）过点的直线与圆交于，两点，线段中点为；求点轨迹方程． 17．已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹形状． 18．已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点． （1）若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； （2）当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； （3）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 19．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为3，且_________．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为4；②椭圆与椭圆有相同的焦点：③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与试题解析 1.C2.D3.C4.D5.C6.B7.A8.B 9.BD 10.ABD 11.CD 55 3V103V170 12.313.4或414.1010 三、解答题（共5小题） 3. 3-21 k= 15.【解答】解：(1)由题意知BC中点坐标为”2 BC的斜率2-42， 5 故8C边上中垂线斜率为2，BC边上中垂线方程为”。2(x-3) y- 化简为一般式得4x-2y-7=0 ③出图易，B的期*=之，=5,8C的幸=号，G5 则21 ,即△ABC是以B为直角的等腰直角三角形，角B平分线即为边AC上的中线方程， 33 D53 k-2 =-3 5 易求4C中点坐标气22， 2 BD的斜率 2 故角B平分线’-3=-3(x-2),化为一般式为3x+y-9=0 16.解：(1①)圆C:r+y+2x-4y+3=0,化为标准方程可得++(y-2=2 得圆心C(-l,2)r=V2 由直线在x轴和y轴上的截距相等可假设： ①当相等的截距为0时，设直线l:y=即x-y=0 k-2-2 由Vk2+1 得k=2±√6 ∴直线'的方程为：y=(2±6)x ②当相等的截距不为0时，设直线x+y-a=0 -1+2-@-5 由√2 得a=-1或a=3 ∴直线的方程为：x+y+1=0或x+y-3=0 综合0②可得，直线'的方程为：+y+1=0或x+y-3=0或y=(2±V6)x (2)由PC⊥AB得PC⊥PM 1 点P的轨迹是以MC为直径的圆，圆心为 半径为2， 则P点轨迹方程为： 17.解：(1)由已知设圆心么，3)，则由圆与x轴正半轴相切，可得半径=3州， d--3刘=以 :圆心到直线！：x-y=0的距离V2 由已知得7+212=r2,解得1=士1， 故圆心为(1,3)或(L,-3),半径等于3. ,圆与x轴正半轴相切， ∴圆心只能为(1,3)， 故圆C的方程为(x-少+(0y-3=9 (2)设M(月，A(x4少4)，则A☑=(x-x4y-y),MB=(7-x6-y) x-x=14-2x y-y4=12-2y x=-14+3x y4=-12+3y ,点A在圆上运动， ∴.(3x-14-1+(3y-12-3)2=9 化简可得(x-5+(0y-5=1 所以M的轨迹方程为(x-5)+(0y-5=1 它是一个以(5,5)为圆心，以1为半径的圆. 18.解：(1D圆C的标准方程为：(x-+(0+2=9,所以圆心CL,-2）,半径为3：又直线斜率 为1，所以直线l的方程为y+2=x-1,即x-y-3=0 (3分) (2)设直线l的方程为：y=x+m,圆心C到直线l的距离为d,则48=2V9-d2, d=94=35 d-1-(-2)+m_32 当且仅当 2, 2时取等号，由 √2 2,得m=0或m=-6, 所以直线！的方程为y=x或y=x-6 (7分) (3)假设存在直线：y=x+m满足题设要求，点A(:,乃)，B(,乃)， y.y2=-1 以AB为直径的圆过原点，所以OA上OB,有名，即+=0， ① [y=x+m 联立x+y2-2x+4y-4=0,得2r+2(m+1)x+m2+4m-4=0, 由于△>0，得-3V2-3<m<3W2-3, 苦+5=-(m+1).55=m+4m-4 2 ② 所以=（年+m)(名+m)=+m(G+x)+m2. ③ 由①②③解得m=1或m=-4,均符合△>0， 故存在直线，使以线段AB为直径的圆过原点，其方程为y=x+1或y=x-4 (12分) 「2a=4 2b2 =3 19.解：(1)选①：由题意得(a a=2 解得(b=V5 x2.y2 所以椭圆C的方程为4+3=】 x2 y2 选@：椭圆1312的焦点坐标为仕1,0)，则c=1, =1 又2a=4,得a=2, 由a2=b2+c2得，b2=4-1=3, 2+y=1 所以椭圆C的方程为43 2b2 =3 选③：由题意得a, 因为F,B与椭圆C短轴的一个端点组成等边三角形， 所以b=V3c. 又a2=b2+c2,得a=2,b=V3, x2 y2 -=1 所以椭圆C的方程为43 (2)【解法一】：由题知B(1,0). 设直线的方程为t=y+1, x=my+1 文+片aBm+4严+6mw-9=0 设点M(),N(,) -61m -9 +%3m+4,3m2+4. 所以 所 SAFN-SAME+SANEF= =22cly-为=-为 2 =V+-4y=3m+4 -6m -36 3m2+4 =12Wm2+1 3m2+4, 12t12 SARMN=3+1 3t+ 1 设t=Vm2+1≥1，则 t, 因为函数y=3+在te山，+∞上单调递增， 12 y=- 1 3t+ 所以函数 在1∈，+∞)上单调递减， 123 所以当t=1时， yamx=3x1+13(此时m=0,直线为x=1), 所以△FMN面积的最大值为3. 【解法二】：由题知F(1,0)】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1, 此时 .别 所以MN=3 R0w的起为RMnM=: 当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-), y=k(x-1) 联立： +,得3+4k)x-8kx+4秋12=0 设点M(,),N(G,) 8k2 4k2-12 所以+53计4状，=3+4， -6k -9k2 以八+乃3+4状，=3+4报， 所以 w=5aw+552-小=内-为=0+g-4W 所以 -6k -9k2 12Vk2(k2+1) 3+42 4. 3+4k2 3+4k2 2=3 设1=3+4k2>3,则4， t-32t-3 S=121 4 4 23 11 0<5< 所以 (其中t3), 1 →0 所以当t时，S→3， 综上所述：△FMN面积的最大值为3.