精品解析：河南周口市鹿邑县高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

鹿邑县高级中学2026年9月高二数学月考试卷 时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 空间中所有的单位向量都相等 B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C. 若，则，，，一定在同一条直线上 D. 两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 2. 点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴的对称点的坐标：不变，变相反数，所以点关于轴的对称点的坐标为. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，即，解得. 4. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的斜率与方向向量的关系列式计算. 【详解】由题意，经过，两点的直线的斜率为, 又直线的方向向量为，则得. 5. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，由，则不可以构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，由不存在，使得，则可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，由，则不可以构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，由，则不可以构成空间的一个基底，故D错误． 6. 已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积，将已知条件转化为向量关系.设，，，根据已知模长和夹角求出，进而判断的大小. 【详解】设，，，则，，. 又，，如下图： 所以，. 在平行六面体中，. 由，得， 即，得. 所以，即. 在平行四边形中，，因此. 7. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将设为，将分式方程变形为含有的整式方程，利用辅助角公式变形，从而得到关于的不等式，结合，可得，综上可得原式的取值范围. 【详解】设，，则， 根据辅助角公式，左边可表示为(其中为辅助角)， 其绝对值不超过，因此有，平方得， 解得或. 又因为，且，所以， 综上. 8. 在三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，在中，利用余弦定理即可求得. 【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为的中点， 故，则为异面直线，所成的角或其补角. 又因，，为的中点， 则，， 在中，，则， 在中，由余弦定理，. 即异面直线，所成角的余弦值为. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过，，另有两点，，则（ ） A. 倾斜角为0时， B. 斜率不存在时， C. 存在满足 D. 时， 【答案】BD 【解析】 【详解】选项 A：直线经过，，倾斜角为时，得直线的斜率，，，得，A 错误； 选项 B：直线经过，，斜率不存在时，则两点的横坐标相等，即， B 正确； 选项 C：由，得，若，则 ，所以，得 ，方程无解，故不存在这样的，C 错误； 选项 D：时，得，所以，得，此时，符合题意，D 正确. 10. 在空间直角坐标系中，已知，，，，，则（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 直线平面 C. 点到平面的距离为 D. 向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算平面内向量与所给向量的点积，判断是否垂直，验证是否为平面法向量，判断选项A；求出直线方向向量，验证其与平面法向量垂直且直线不在平面内，判定线面平行，判断选项B；取平面内一点与连成向量，套用点到平面向量距离公式求值，判断选项C；利用投影向量公式计算求解，判断选项D． 【详解】已知，，，，， 则， 若是平面的一个法向量，则， 但， 故不是平面的一个法向量，故A错误； 设平面的一个法向量为，则， 令，则， ，，， 则平面的方程为，即， 代入点，，故点不在平面上， ，即，故直线平面，B正确； ，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为， 故C正确； ， 向量在向量上的投影向量的坐标为，故D正确． 11. 正方形边长为，沿着其对角线将点折叠至，二面角的平面角为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 当时， B. 存在，使得 C. 四面体的外接球半径不变 D. 到的距离的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接，，先证明是二面角的平面角，再建立对应的空间直角坐标系．对于A，利用空间向量求出的余弦值，进而即可判断；对于B，先求出，，再根据的值即可判断；对于C，先确定四面体的外接球球心为，进而确定其半径即可判断；对于D，先求出，，再根据空间中点到直线的距离得到到的距离为，再根据三角函数的性质即可得到其范围，进而即可判断． 【详解】连接，，由是正方形，且为的中点， 则，，所以是二面角的平面角，即， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图空间直角坐标系， 又正方形边长为，则，所以， 则，，，，， 又，分别为，的中点，则，． 对于A，当时，得，则，， 所以，所以，故A正确； 对于B，由，， 则，即不存在，使得，故B错误； 对于C，由，即到四面体四个顶点的距离都是， 所以四面体的外接球球心为，半径恒为，故C正确； 对于D，由，， 则到的距离为， 又，则，所以， 所以到的距离的取值范围是，故D正确． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知点是在平面内的射影，则_________． 【答案】5 【解析】 【详解】因为点是在平面内的射影，所以， 所以. 13. 过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直线 过 且与线段 总有公共点，等价于 夹在射线 与 之间（经过指向线段的方向），先求两条边界直线的斜率，再结合 的变化关系得两空的范围. 【详解】，. 直线 与线段 有公共点时， 夹在直线 与 之间，所以 ，即 的取值范围是 . 因为 （），当 时，； 当 时，； 当 时，直线 与线段 无公共点， 所以 的取值范围是 . 14. 两条异面直线，所成的角为，点，在直线上，点，在直线上，且，，，，，则_________．（写出所有可能，用，，，表示） 【答案】或 【解析】 【分析】通过向量法分解，根据，，异面直线，所成的角为，可得和的夹角为或，结合，即可求得的长度. 【详解】异面直线，所成的角为，，，，，； 和的夹角为或，，.； ，. 依题意可得； ； 当和的夹角为时，，解得； 当和的夹角为时，，解得； 的长为或. 四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，在轴上，求满足以下条件的的坐标： （1）在直线上； （2）在以线段为直径的圆上． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据列式求的值即可. （2）根据列式求的值即可. 【小问1详解】 设，因为在直线上，所以， ，， 所以，解得，所以． 【小问2详解】 因为在以线段为直径的圆上，所以， 由题意得直线的斜率一定存在， 而，，所以， 而，，所以， 解得或6，所以或． 16. 如图，已知四面体的所有棱长均为2，为的中点，为的重心． （1）用，，表示； （2）求； （3）证明：平面． 【答案】（1） （2） （3）记,,, ， 所以，即， ， 所以，即， 又，平面，， 所以平面． 【解析】 【小问1详解】 为的重心，即， 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 记，，， 则， 所以可得， ，所以，所以. 【小问3详解】 略. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 18. 已知四边形和均为边长为3的正方形，且平面平面，分别在线段上，且． （1）证明：平面； （2）求的最小值； （3）当最小时，证明：平面与平面夹角大于． 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以， 又，，平面，， 所以平面． （2） （3）当最小时，，，， 又， 由（1）知，平面，平面的一个法向量为， ，，设平面的法向量为，则 ，即，令，可得， 所以， 设平面与平面夹角为，， 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得到线线垂直，即可证明线面垂直； （2）由（1）建立空间直角坐标系，写出点坐标，设即可写出点坐标，由两点间距离公式和二次函数的性质求得的最小值； （3）由（1）求得平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求得平面的一个法向量，然后由空间向量的数量积求得面面角的余弦值，由余弦函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，所以平面， 所以，，两两垂直，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，所以， ，所以， ， 所以当时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）在中，由余弦定理得， 即，所以， 因为，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以平面， 因为平面，所以． （2）（i）如图：过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求得，由勾股定理逆定理得关系，由线面垂直的性质得到线线垂直，由线面垂直的判定得证； （2）（i）由面面垂直的性质得到线面垂直，由此得到线线垂直，再由线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线面垂直； （ii）由三线两两垂直，即可建立空间直角坐标系，设线段长即可写出点坐标，由空间向量的数量积求得平面和平面的法向量，再由空间向量的数量积求得平面和平面夹角的正弦值，由函数的单调性求得平面与平面夹角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）略. （ii）由（i）知，所以，设，则， 过点作轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的法向量为，则 ，即，令，可得， 所以， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以随着的增大而增大， 当时，，当时，， 所以，平面与平面夹角正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹿邑县高级中学2026年9月高二数学月考试卷 时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 空间中所有的单位向量都相等 B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C. 若，则，，，一定在同一条直线上 D. 两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2. 点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过，，另有两点，，则（ ） A. 倾斜角为0时， B. 斜率不存在时， C. 存在满足 D. 时， 10. 在空间直角坐标系中，已知，，，，，则（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 直线平面 C. 点到平面的距离为 D. 向量在向量上的投影向量的坐标为 11. 正方形边长为，沿着其对角线将点折叠至，二面角的平面角为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 当时， B. 存在，使得 C. 四面体的外接球半径不变 D. 到的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知点是在平面内的射影，则_________． 13. 过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 14. 两条异面直线，所成的角为，点，在直线上，点，在直线上，且，，，，，则_________．（写出所有可能，用，，，表示） 四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，在轴上，求满足以下条件的的坐标： （1）在直线上； （2）在以线段为直径的圆上． 16. 如图，已知四面体的所有棱长均为2，为的中点，为的重心． （1）用，，表示； （2）求； （3）证明：平面． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 18. 已知四边形和均为边长为3的正方形，且平面平面，分别在线段上，且． （1）证明：平面； （2）求的最小值； （3）当最小时，证明：平面与平面夹角大于． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $