精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

2026秋期高二年级第一次月考 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 3. 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】 求出公共弦所在直线，再求与两坐标轴的交点，即可得出面积表达式，根据面积关系求解. 【详解】圆的标准方程为 两圆相交，必有，且， 将两圆方程相减可得， 当时，，当时，，所以直线与坐标轴的交点为与，所围图形面积，解得或，经检验，符合条件. 故选：D 【点睛】此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑两圆的位置关系. 4. 已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值. 【详解】圆，圆心，半径为， 则圆心关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当三点共线时取得最小值， 结合图像可知. 故选：C 5. 经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定斜率是否存在，然后写出直线方程，联立方程组解得交点坐标，由中点坐标解得直线方程. 【详解】当直线斜率不存在时，， 则直线与两条直线和的交点分别为和， 两交点的中点坐标为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，由题意可知，. 联立，解得交点为， 联立，解得交点为， 由题意可知，所以， 所以. 6. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答. 【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点， 由得：，又， 于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即， 所以这条弦所在的直线方程是. 故选：B 7. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于轴的对称点坐标，由这两个对称点在反射光线所在直线求得直线方程． 【详解】由题意两点关于轴的对称点分别为，， 直线方程为，即即为反射光线所在直线方程． 故选：C． 8. 已知是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，，由内切圆半径表示出面积，再由余弦定理表示出，得出面积，即可得出关于的方程，求出离心率. 【详解】根据椭圆的定义可知，， 设内切圆半径为，则． 又因为，由余弦定理得 即，即， 则， 可得， 所以，得， 则，所以椭圆的离心率为． 故选：D. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题正确的是（ ） A. 直线：与直线：垂直的充要条件是 B. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4 C. 方程表示椭圆的充要条件是 D. 直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两直线垂直列出方程，即可判断A，由圆的弦长公式代入计算，即可判断B，由椭圆标准方程的形式，即可判断C，由直线过定点，然后分别求得，，即可判断D. 【详解】对于，，所以，解得，故A正确； 对于B，点在圆内，当时，取最小值， ，，所以的最小值是，故B正确； 对于C，方程表示椭圆的充要条件是，解得且，故C错误； 对于D，由直线可得，所以直线过定点， 又，，画图可知的取值范围是，故D正确； 故选：ABD 10. 已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是9 B. 的最大值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】先将曲线的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析. 【详解】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：. 11. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B. 的最小值为 C. 若为直角三角形，则的面积为 D. 的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】设动点坐标，写出直线和的斜率，由题意建立方程，整理得到动点P的轨迹方程. 【详解】设动点，由题意可知 则直线斜率，直线的斜率， 则，整理得. 13. 求圆心在x轴上，且与直线，直线都相切的圆的方程________ 【答案】或 【解析】 【详解】设所求圆的方程为， 由题意可得：， 解得：或， 所以所求圆的方程为或. 14. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取线段的中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是即，， 在中，，整理得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l：. （1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值； （2）若直线m：，且，求l与m间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出截距，利用截距和为0得解； （2）根据平行得出直线方程，再由平行线间距离公式求解. 【小问1详解】 令，则，令，则， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 解得， 则的方程为，即， 则l与m间的距离. 16. 已知直线经过点，圆． （1）若直线经过圆C的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由两点式可求解得答案； （2）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离公式即可求解.； （3）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离公式及弦长公式即可求解.. 【小问1详解】 将圆化为标准方程为：， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 所以直线经过点，，由两点式可得直线的方程为：，化简整理得直线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）可知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问3详解】 因为直线l被圆C所截得的弦长为，所以圆C的圆心到直线l的距离为. 由（2）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得或. 故直线l的方程为或. 17. 已知曲线 （1）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程； （2）若曲线表示圆，且直线与圆交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或(即)；（2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理求出圆心到直线距离为1 ，再根据点到直线距离公式求直线的斜率，即得直线方程； （2）先根据曲线表示圆得实数取值范围.再根据以为直径的圆过原点得 ，利用向量数量积可得，根据直线方程进一步化简，最后联立直线方程与圆方程，结合韦达定理化简求得． 【详解】(1) 当时, 曲线C是以为圆心,2为半径的圆, 若直线的斜率不存在,显然不符， 故可设直线为:，即． 由题意知，圆心到直线的距离等于， 即: 解得或.故的方程或(即) (2)由曲线C表示圆，即， 所以圆心C（1,2），半径，则必有. 假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，设， 则，由得 ，即，又， 故,从而 , 故存在实数使得以为直径的圆过原点，． 18. 已知双曲线C：（，），第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为，，且，，O为坐标原点． （1）求双曲线C的离心率； （2）若的面积为2，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用双曲线定义及勾股定理即可得到双曲线C的离心率； （2）利用点在曲线上及三角形面积公式可得点P的坐标． 【小问1详解】 ∵，，∴，， ∵，∴，化为：， ∴，，即双曲线C的离心率为． 【小问2详解】 由题意可得：，， 又，解得，，， 所以，双曲线方程为， 把代入双曲线方程，得：，，解得． ∴． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，求的最大值； （3）若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义，得的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆，再求出，即可求解； （2）点，利用点在椭圆上及两点间的距离，得到，即可求解； （3）根据条件，利用椭圆的定义，得到，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆， 设轨迹的方程为，则，， 可得，， 所以轨迹C的方程为． 【小问2详解】 设点，则，又， 所以， 而，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为． 【小问3详解】 因为，所以． 由，可得， 由的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋期高二年级第一次月考 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3或 4. 已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题正确的是（ ） A. 直线：与直线：垂直的充要条件是 B. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4 C. 方程表示椭圆的充要条件是 D. 直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是 10. 已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是9 B. 的最大值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B. 的最小值为 C. 若为直角三角形，则的面积为 D. 的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 13. 求圆心在x轴上，且与直线，直线都相切的圆的方程________ 14. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l：. （1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值； （2）若直线m：，且，求l与m间的距离. 16. 已知直线经过点，圆． （1）若直线经过圆C的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 17. 已知曲线 （1）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程； （2）若曲线表示圆，且直线与圆交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线C：（，），第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为，，且，，O为坐标原点． （1）求双曲线C的离心率； （2）若的面积为2，求点P的坐标． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，求的最大值； （3）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $