第15章 轴对称单元测试卷2026～2027学年人教版八年级数学上册

第15章 轴对称 单元测试卷（2026~2027学年） 第15章 轴对称 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第15章 轴对称 单元测试卷（2026~2027学年） 第15章 轴对称 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有一个角是60°的三角形是等边三角形 C．相等的弦，所对的圆周角相等 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 2．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，且+|b-c|=0，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 7．（3分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（　　） A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里 8．（3分）定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 　　　　 条对称轴． 10．（3分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝　　　　 ． 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝ 　　　　 ． 12．（3分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的 　　　　 处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 13．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 　　　　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝　　　　 ． 15．（3分）在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使△ABC为等腰三角形，这样的点有 　　　　 个． 16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 18．（6分）折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝　　　　 ；∠GFC'＝　　　　 ； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　　　　 ； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　　　　 ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标． 20．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中． （1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出其各顶点坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 21．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 22．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G． （1）请判断△AFG的形状，并加以证明； （2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，则∠B的度数是　　　　 ． 23．（8分）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 24．（8分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2） 已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 25．（10分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C关于y轴的对称点C1的坐标． （2）点P为x轴上一动点，且使得△PBC周长最小，直接写出△PBC周长的最小值：　　　　 ． （3）坐标轴上有一点M，△MAC为等腰三角形，满足条件的M点有几个：　　　　 ． 26．（10分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形 　　　　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【解决问题】（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=1+，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 27．（10分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ 　　　　 BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　　　　 ．猜想论证： （2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第15章 轴对称 单元测试卷（2026~2027学年） 第15章 轴对称 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有一个角是60°的三角形是等边三角形 C．相等的弦，所对的圆周角相等 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 2．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，且+|b-c|=0，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 7．（3分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（　　） A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里 8．（3分）定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 　　　　 条对称轴． 10．（3分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝　　　　 ． 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝ 　　　　 ． 12．（3分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的 　　　　 处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 13．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 　　　　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝　　　　 ． 15．（3分）在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使△ABC为等腰三角形，这样的点有 　　　　 个． 16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 18．（6分）折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝　　　　 ；∠GFC'＝　　　　 ； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　　　　 ； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　　　　 ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标． 20．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中． （1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出其各顶点坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 21．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 22．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G． （1）请判断△AFG的形状，并加以证明； （2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，则∠B的度数是　　　　 ． 23．（8分）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 24．（8分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 25．（10分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C关于y轴的对称点C1的坐标． （2）点P为x轴上一动点，且使得△PBC周长最小，直接写出△PBC周长的最小值：　　　　 ． （3）坐标轴上有一点M，△MAC为等腰三角形，满足条件的M点有几个：　　　　 ． 26．（10分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形 　　　　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）． 【巩固新知】（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【解决问题】（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=1+，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 27．（10分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ 　　　　 BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　　　　 ． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第15章 轴对称 单元测试卷（2026~2027学年） 第15章 轴对称 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有一个角是60°的三角形是等边三角形 C．相等的弦，所对的圆周角相等 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故说法错误；B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故说法错误；C、在同圆或等圆中，相等的弦，所对的圆周角相等，故说法错误；D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故说法正确；故选：D． （来源：2025•重庆校级模拟） 2．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 【答案】D 【解答】解：点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2），故选：D． （来源：2024•瓯海区校级三模） 3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D． （来源：2025•东胜区二模） 4．（3分）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解答】解：∵∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BDC为等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴BD＝AD，∴△ABD为等腰三角形，∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．故选：D． （来源：2024秋•大兴区期末） 5．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，且+|b-c|=0，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解答】解：根据非负性得，a﹣b＝0，b﹣c＝0，解得：a＝b，b＝c，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B． （来源：2024秋•荔湾区校级期中） 6．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 【答案】C 【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°；当50°是底角时亦可．故选：C． （来源：2024秋•东莞市期末） 7．（3分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（　　） A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里 【答案】B 【解答】解：如图，连接AC，甲、乙两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，得：AB＝AC＝2×20＝40（海里），∠ABC＝20°+40°＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝ AB＝AC＝40（海里），∴两艘货船A、C之间的距离为40海里．故选：B． （来源：2024•平山县校级模拟） 8．（3分）定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° 【答案】A 【解答】解：分五种情况分别画出图形进行讨论如下：如图a，当AD＝CD时，则∠ACD＝∠A＝20°，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝40°，∴①当CD＝BD时，∠B=∠BCD==70°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；如图b，当AC＝AE，CE＝BE时，则∠ACE=∠AEC==80°，∴∠B＝∠BCE＝40°；如图c，当AC＝CE，CE＝BE时，则∠AEC＝∠A＝20°，∴∠B＝∠BCE＝10°；综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°．故选：A． （来源：2026春•福田区校级期末） 9．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴． 【答案】5 【解答】解：五角星是非常美丽的图案，它有5条对称轴．故答案为：5． （来源：2024春•淅川县期末） 10．（3分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝ ． 【答案】2 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝2，故答案为：2． （来源：2024秋•西湖区校级期中） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝ ． 【答案】5 【解答】解：∵点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，∴m＝3，n＝2，∴m+n＝3+2＝5．故答案为：5． （来源：2025春•石峰区期末） 12．（3分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的 处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 【答案】A或C 【解答】解：当白方落子在A、B、C、D中的A处或C处时，所得的对弈图是轴对称图形，故答案为：A或C． （来源：2025•长安区一模） 13．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 ． 【答案】80° 【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝3∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°． （来源：2024•蒙阴县二模） 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝ ． 【答案】6 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是底边BC上的中线，∴BC＝2BD，∵BD＝3，∴BC＝2×3＝6．故答案为：6． （来源：2025秋•巴音郭楞州期末） 15．（3分）在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使△ABC为等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】10 【解答】解：如图，∵AB==2，∴①若BA＝BC，则符合要求的有：2个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：2个点；③若CA＝CB，则符合要求的有：共6个点．∴这样的C点有10个．故答案为：10． （来源：2024秋•珠海校级期中） 16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 ． 【答案】213-2 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设以BC为直径的圆的圆心为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交⊙O于点E'，连接FP，OE，则OE'＝OE=BC＝2，∴PD+PE＝PF+PE+OE﹣OE'≥OF﹣2，即PD+PE的长度最小值为OF﹣2，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝4，∴OG＝6，∴OF===2，∴PD+PE的长度最小值为2-2，故答案为：2-2． （来源：2025•江都区二模） 17．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，∵EB＝AE，∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，∴2EB＝BC，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，∴BD＝BE，∴2BD＝BC；（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． （来源：2025春•桓台县期末） 18．（6分）折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝ ；∠GFC'＝ ； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 【答案】25° 【解答】解：（1）如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α，∴∠DEG＝2α，∵AD∥BC，∴当α＝25°时，∠BFE＝25°；∴∠BGE＝25°×2＝50°，∵ED'∥FC'，∴∠CFC'＝∠BGE＝50°，∴∠GFC'＝180°﹣50°＝130°；故答案为：25°；130°；（2）分两种情况：当α＜60°时，如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α，∴∠DEG＝2α，∵AD∥BC，∴∠FGD'＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠DEF＝α，又∵FC'∥GD，∴∠GFC'＝180°﹣∠FGD'＝180°﹣2α，∴∠GFN＝180°﹣2α，∴∠NFE＝∠GFN﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α；当60°＜α＜90°时，如图所示，同理可得，∠GFN＝180°﹣2α，∠EFG＝α，∴∠NFE＝∠EFG﹣∠GFN＝α﹣（180°﹣2α）＝3α﹣180°；综上所述，∠NFE的度数为180°﹣3α或3α﹣180°． （来源：2024春•建邺区校级期末） 19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标． 【答案】4 【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4-×1×2-×2×4-×2×3=4；故答案为：4；（2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（﹣4，3）；故答案为：（﹣4，3）；（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1，∴BP＝2，∴点P的横坐标为：2+2＝4或2﹣2＝0，故P点坐标为：（4，0）或（0，0）． （来源：2024秋•余姚市期末） 20．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中． （1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出其各顶点坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】见解析 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（﹣1，3），B1（﹣3，5），C1（﹣5，2）；（2）3×4-×2×3-×2×2-×4×1=5，答：△A1B1C1的面积为5． （来源：2024秋•城关区校级期末） 21．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴∠ACB＝60°，∠CBD=∠ABC=30°，∵CE＝CD，∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°，∴∠CBD＝∠E＝30°．∴DB＝DE；（2）解：∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∵CF＝4，∴DC＝2CF＝8．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． （来源：2024秋•临泉县期末） 22．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G． （1）请判断△AFG的形状，并加以证明； （2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，则∠B的度数是 ． 【答案】见解析 【解答】解：（1）△AFG是等腰三角形，证明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的性质），∵EG∥AD，∴∠BAD＝∠G（两直线平行，同位角相等），∠CAD＝∠AFG（两直线平行，内错角相等），∴∠G＝∠AFG，∴△AFG是等腰三角形；（2）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝84°，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=42°（角平分线的性质），∴∠AFG＝∠CAD＝42°（等量代换），∴∠EFC＝∠AFG＝42°，∵CE＝EF，∴∠EFC＝∠C＝42°（等边对等角），∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣84°﹣42°＝54°． （来源：2026春•和平区校级期中） 23．（8分）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，∴EM＝EO，FN＝FO，∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN．又∵MN＝6cm，∴C△OEF＝6cm．（2）连接OP，∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON，∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB，∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝2α． （来源：2025春•秦淮区校级期末） 24．（8分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．（1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】见解析 【解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里），∴∠C＝30°﹣15°＝15°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝30（海里），答：B处到灯塔C的距离为30海里；（2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里），∴CD=BC＝15（海里），∵15＜16，∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． （来源：2024秋•安新县期末） 25．（10分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C关于y轴的对称点C1的坐标． （2）点P为x轴上一动点，且使得△PBC周长最小，直接写出△PBC周长的最小值： ． （3）坐标轴上有一点M，△MAC为等腰三角形，满足条件的M点有几个： ． 【答案】29+13 【解答】（1）解：如图1，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（3，1）；（2）解：如图2，点P即为所求，由图知，△PBC周长最小值为PB+PC+BC＝CB2+BC，∵CB2==，BC==，∴△PBC周长最小值为+，故答案为：+；（3）解：如图3，当CA＝CM时，以C为圆心，AC长为半径画圆，交坐标轴于点M，有3个M点满足△MAC为等腰三角形；当AM＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交坐标轴于点M，有4个M点满足△MAC为等腰三角形；当MA＝MC时，作AC的垂直平分线，交坐标轴于点M，有2个M点满足△MAC为等腰三角形；综上，共有9个M点满足△MAC为等腰三角形，故答案为：9． （来源：2025秋•市南区校级期中） 26．（10分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．【解决问题】（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=1+，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；（2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，∴分三种情况：当∠C﹣∠A＝60°时，∴∠C＝∠A+60°＝95°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；当∠C﹣∠B＝60°时，∵∠A＝35°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，∴2∠B＝85°，∴∠B＝42.5°；综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=1+，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2，∵△BCD是“准等边三角形”，∴分两种情况：当∠C﹣∠CBD＝60°时，∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，∴BD＝2CD，∵CD2+BC2＝BD2，∴CD2+（1+）2＝（2CD）2，解得：CD=或CD=-（舍去），∴BD＝2CD=；当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴2∠BDC＝150°，∴∠BDC＝75°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE＝DE，BD=DE，设DE＝BE＝x，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴AE=DE=x，∵BE+AE＝AB，∴x+x＝2+2，解得：x＝2，∴BE＝DE＝2，∴BD=DE＝2；当D与A重合时，∵∠C﹣∠A＝60°，∴△BCD是准等边三角形，此时BD＝2BC＝2+2，综上所述：BD的长为或2或2+2． （来源：2026春•兰州期末） 27．（10分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】12 【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD=AB′=BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD=B′C′=BC＝4，故答案为4．（2）结论：AD=BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD=BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM=BM＝7，∴BM＝7，∴DE＝EM﹣DM＝3，在Rt△AEB中，AE===3∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，∴tan∠CDF=，∴∠CDF＝60°∴∠ADF＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠CBE＝∠PCF，∴∠CFD＝∠PCF，∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，∴∠CPF＝∠CDF＝60°，易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，∵AB＝2．∴△PAB的“旋补中线”长=AB=． （来源：2025•沭阳县校级模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第15章 轴对称 单元测试卷（2026~2027学年） 第15章 轴对称 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有一个角是60°的三角形是等边三角形 C．相等的弦，所对的圆周角相等 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故说法错误；B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故说法错误；C、在同圆或等圆中，相等的弦，所对的圆周角相等，故说法错误；D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故说法正确；故选：D． （来源：2025•重庆校级模拟） 2．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 【答案】D 【解答】解：点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2），故选：D． （来源：2024•瓯海区校级三模） 3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D． （来源：2025•东胜区二模） 4．（3分）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解答】解：∵∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BDC为等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴BD＝AD，∴△ABD为等腰三角形，∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．故选：D． （来源：2024秋•大兴区期末） 5．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，且+|b-c|=0，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解答】解：根据非负性得，a﹣b＝0，b﹣c＝0，解得：a＝b，b＝c，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B． （来源：2024秋•荔湾区校级期中） 6．（3分）等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 【答案】C 【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°；当50°是底角时亦可．故选：C． （来源：2024秋•东莞市期末） 7．（3分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（　　） A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里 【答案】B 【解答】解：如图，连接AC，甲、乙两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，得：AB＝AC＝2×20＝40（海里），∠ABC＝20°+40°＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝ AB＝AC＝40（海里），∴两艘货船A、C之间的距离为40海里．故选：B． （来源：2024•平山县校级模拟） 8．（3分）定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° 【答案】A 【解答】解：分五种情况分别画出图形进行讨论如下：如图a，当AD＝CD时，则∠ACD＝∠A＝20°，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝40°，∴①当CD＝BD时，∠B=∠BCD==70°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°；如图b，当AC＝AE，CE＝BE时，则∠ACE=∠AEC==80°，∴∠B＝∠BCE＝40°；如图c，当AC＝CE，CE＝BE时，则∠AEC＝∠A＝20°，∴∠B＝∠BCE＝10°；综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°．故选：A． （来源：2026春•福田区校级期末） 9．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴． 【答案】5 【解答】解：五角星是非常美丽的图案，它有5条对称轴．故答案为：5． （来源：2024春•淅川县期末） 10．（3分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝ ． 【答案】2 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝2，故答案为：2． （来源：2024秋•西湖区校级期中） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝ ． 【答案】5 【解答】解：∵点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，∴m＝3，n＝2，∴m+n＝3+2＝5．故答案为：5． （来源：2025春•石峰区期末） 12．（3分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的 处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 【答案】A或C 【解答】解：当白方落子在A、B、C、D中的A处或C处时，所得的对弈图是轴对称图形，故答案为：A或C． （来源：2025•长安区一模） 13．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 ． 【答案】80° 【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝3∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°． （来源：2024•蒙阴县二模） 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝ ． 【答案】6 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是底边BC上的中线，∴BC＝2BD，∵BD＝3，∴BC＝2×3＝6．故答案为：6． （来源：2025秋•巴音郭楞州期末） 15．（3分）在如图的网格中，在网格上找到点C；点C在格点上，使△ABC为等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】10 【解答】解：如图，∵AB==2，∴①若BA＝BC，则符合要求的有：2个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：2个点；③若CA＝CB，则符合要求的有：共6个点．∴这样的C点有10个．故答案为：10． （来源：2024秋•珠海校级期中） 16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 ． 【答案】213-2 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设以BC为直径的圆的圆心为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交⊙O于点E'，连接FP，OE，则OE'＝OE=BC＝2，∴PD+PE＝PF+PE+OE﹣OE'≥OF﹣2，即PD+PE的长度最小值为OF﹣2，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝4，∴OG＝6，∴OF===2，∴PD+PE的长度最小值为2-2，故答案为：2-2． （来源：2025•江都区二模） 17．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，∵EB＝AE，∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，∴2EB＝BC，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，∴BD＝BE，∴2BD＝BC；（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． （来源：2025春•桓台县期末） 18．（6分）折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝ ；∠GFC'＝ ； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 【答案】25° 【解答】解：（1）如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α，∴∠DEG＝2α，∵AD∥BC，∴当α＝25°时，∠BFE＝25°；∴∠BGE＝25°×2＝50°，∵ED'∥FC'，∴∠CFC'＝∠BGE＝50°，∴∠GFC'＝180°﹣50°＝130°；故答案为：25°；130°；（2）分两种情况：当α＜60°时，如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α，∴∠DEG＝2α，∵AD∥BC，∴∠FGD'＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠DEF＝α，又∵FC'∥GD，∴∠GFC'＝180°﹣∠FGD'＝180°﹣2α，∴∠GFN＝180°﹣2α，∴∠NFE＝∠GFN﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α；当60°＜α＜90°时，如图所示，同理可得，∠GFN＝180°﹣2α，∠EFG＝α，∴∠NFE＝∠EFG﹣∠GFN＝α﹣（180°﹣2α）＝3α﹣180°；综上所述，∠NFE的度数为180°﹣3α或3α﹣180°． （来源：2024春•建邺区校级期末） 19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标． 【答案】4 【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4-×1×2-×2×4-×2×3=4；故答案为：4；（2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（﹣4，3）；故答案为：（﹣4，3）；（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1，∴BP＝2，∴点P的横坐标为：2+2＝4或2﹣2＝0，故P点坐标为：（4，0）或（0，0）． （来源：2024秋•余姚市期末） 20．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中． （1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出其各顶点坐标； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】见解析 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1（﹣1，3），B1（﹣3，5），C1（﹣5，2）；（2）3×4-×2×3-×2×2-×4×1=5，答：△A1B1C1的面积为5． （来源：2024秋•城关区校级期末） 21．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴∠ACB＝60°，∠CBD=∠ABC=30°，∵CE＝CD，∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°，∴∠CBD＝∠E＝30°．∴DB＝DE；（2）解：∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∵CF＝4，∴DC＝2CF＝8．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． （来源：2024秋•临泉县期末） 22．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G． （1）请判断△AFG的形状，并加以证明； （2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，则∠B的度数是 ． 【答案】见解析 【解答】解：（1）△AFG是等腰三角形，证明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的性质），∵EG∥AD，∴∠BAD＝∠G（两直线平行，同位角相等），∠CAD＝∠AFG（两直线平行，内错角相等），∴∠G＝∠AFG，∴△AFG是等腰三角形；（2）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝84°，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=42°（角平分线的性质），∴∠AFG＝∠CAD＝42°（等量代换），∴∠EFC＝∠AFG＝42°，∵CE＝EF，∴∠EFC＝∠C＝42°（等边对等角），∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣84°﹣42°＝54°． （来源：2026春•和平区校级期中） 23．（8分）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，∴EM＝EO，FN＝FO，∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN．又∵MN＝6cm，∴C△OEF＝6cm．（2）连接OP，∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON，∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB，∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝2α． （来源：2025春•秦淮区校级期末） 24．（8分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．（1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】见解析 【解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里），∴∠C＝30°﹣15°＝15°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝30（海里），答：B处到灯塔C的距离为30海里；（2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里），∴CD=BC＝15（海里），∵15＜16，∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． （来源：2024秋•安新县期末） 25．（10分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C关于y轴的对称点C1的坐标． （2）点P为x轴上一动点，且使得△PBC周长最小，直接写出△PBC周长的最小值： ． （3）坐标轴上有一点M，△MAC为等腰三角形，满足条件的M点有几个： ． 【答案】29+13 【解答】（1）解：如图1，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（3，1）；（2）解：如图2，点P即为所求，由图知，△PBC周长最小值为PB+PC+BC＝CB2+BC，∵CB2==，BC==，∴△PBC周长最小值为+，故答案为：+；（3）解：如图3，当CA＝CM时，以C为圆心，AC长为半径画圆，交坐标轴于点M，有3个M点满足△MAC为等腰三角形；当AM＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交坐标轴于点M，有4个M点满足△MAC为等腰三角形；当MA＝MC时，作AC的垂直平分线，交坐标轴于点M，有2个M点满足△MAC为等腰三角形；综上，共有9个M点满足△MAC为等腰三角形，故答案为：9． （来源：2025秋•市南区校级期中） 26．（10分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．【解决问题】（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=1+，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；（2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，∴分三种情况：当∠C﹣∠A＝60°时，∴∠C＝∠A+60°＝95°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；当∠C﹣∠B＝60°时，∵∠A＝35°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，∴2∠B＝85°，∴∠B＝42.5°；综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC=1+，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2，∵△BCD是“准等边三角形”，∴分两种情况：当∠C﹣∠CBD＝60°时，∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，∴BD＝2CD，∵CD2+BC2＝BD2，∴CD2+（1+）2＝（2CD）2，解得：CD=或CD=-（舍去），∴BD＝2CD=；当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴2∠BDC＝150°，∴∠BDC＝75°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE＝DE，BD=DE，设DE＝BE＝x，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴AE=DE=x，∵BE+AE＝AB，∴x+x＝2+2，解得：x＝2，∴BE＝DE＝2，∴BD=DE＝2；当D与A重合时，∵∠C﹣∠A＝60°，∴△BCD是准等边三角形，此时BD＝2BC＝2+2，综上所述：BD的长为或2或2+2． （来源：2026春•兰州期末） 27．（10分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】12 【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD=AB′=BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD=B′C′=BC＝4，故答案为4．（2）结论：AD=BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD=BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM=BM＝7，∴BM＝7，∴DE＝EM﹣DM＝3，在Rt△AEB中，AE===3∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，∴tan∠CDF=，∴∠CDF＝60°∴∠ADF＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠CBE＝∠PCF，∴∠CFD＝∠PCF，∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，∴∠CPF＝∠CDF＝60°，易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，∵AB＝2．∴△PAB的“旋补中线”长=AB=． （来源：2025•沭阳县校级模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第15章 轴对称 单元测试卷（2026~2027学年） 第15章 轴对称 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $