第15章 轴对称 单元检测卷-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学轴对称单元检测卷，通过选择、填空、解答题（25题，100分）覆盖轴对称图形、垂直平分线、等腰三角形等核心知识，结合生活情境与动态问题，考查抽象能力、几何直观及推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|轴对称图形识别（交通标志）、垂直平分线性质|基础巩固，情境化（如镜中时间）| |填空题|8/16|折叠问题、镜面对称|能力提升，空间观念应用| |解答题|7/64|作图（对称与平移）、动态几何（动点面积）、综合证明|创新应用，推理能力与模型意识|

第15章轴对称单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图的交通标志中，轴对称图形有（     ）个． A． B． C． D． 3．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 4．如图，与关于直线l对称，且，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 6．已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 7．在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 10．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．小龙开始学习时，从镜中看时间是下午，结束时实际是下午，他学习了( )小时． 12．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 13．点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿，折叠，点落在处，点落在处，使得，若，则___________． 14．如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 16．如图，两外角平分线分别交所在的直线于点，且，则_____度． 17．如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 18．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 三、解答题（共64分） 19．如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 20．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，且． (1)若，求的度数； (2)若，点是上的动点，求的最小值． 21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)画出关于直线对称的； (2)将向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，画出； (3)借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段． 22．如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 23．在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 24．在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 25．已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 参考答案 1．D 【解答】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点的横坐标相等， ∴. 2．C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断，即可得出答案． 【解答】解：第一个图形是轴对称图形，符合题意， 第二个图形不是轴对称图形，不符合题意， 第三个图形是轴对称图形，符合题意， 第四个图形不是轴对称图形，不符合题意， 综上所述：轴对称图形有个． 3．D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【解答】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴． 4．B 【分析】根据成轴对称图形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵与关于直线l对称，且， ∴， ∴． 5．D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【解答】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 6．B 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【解答】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 7．B 【分析】利用等腰三角形性质得出底角相等，结合平角定义求出 的度数，再利用三角形外角性质求解． 【解答】解：， ， ， ， 是的外角，是的外角， ， ． 8．D 【分析】分别以线段为对称轴，线段为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，画线段可得轴对称图形． 【解答】解；如图，符合题意的线段有，共4条． 9．A 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【解答】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 10．B 【分析】在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，求出，，的度数，证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案． 【解答】解：在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 11．1 【分析】镜中时间与实际时间关于钟表上过数字和的直线对称，先求出开始学习的实际时间，再用结束实际时间减去开始实际时间得到学习时长． 【解答】解：根据镜面对称的性质，镜中显示的，对称后得到实际开始时间为下午，已知结束实际时间为下午， 计算学习时长：（小时）． 12．11 【分析】根据轴对称图形的性质可得到、的长度，即可计算四边形的周长． 【解答】解：四边形是关于对角线对称， ，， 四边形的周长为． 13． 【分析】由折叠得，，然后结合平行线的性质求解． 【解答】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴． 14．19 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【解答】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 15． 【分析】连接，在中，求出的度数，又由的垂直平分线交于点D，交于点E，可得，即可得，又由含角的直角三角形的性质，求得答案． 【解答】解：如图，连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 16．12 【分析】设，根据是的角平分线，则，求出，，．根据，得，则，然后根据，即可求出． 【解答】解：设， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．①②④ 【分析】对于①，根据同角的余角相等得到； 对于②，通过证明，进而得到； 对于④，通过证明垂直平分，得到，，，进而得到，是等腰三角形； 对于③，根据平行线的性质和，是等腰三角形，若平分，则是等边三角形，由于题目中无条件可以证明是等边三角形，进而得出答案． 【解答】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 由②知， ∵是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形，故④正确； 由④知，是等腰三角形， ∴， 若平分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，题目中无条件可以证明是等边三角形，故③错误． 综上，正确结论的序号是①②④． 18．8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【解答】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 19． 【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，求解即可； 【解答】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）根据垂线段最短得出时，最小，根据角平分线的性质得出，即可得出答案． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于， ∵点是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分，，，， ∴， ∴的最小值为． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意作轴对称图形即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）作出的中点，即为． 【解答】（1）略 （2）略 （3）略 22．(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【解答】（1）略 （2）略 23．(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， 证明：连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意得出，，再由等量代换即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，利用垂直平分线的判定得出垂直平分，，再由全等三角形的判定和性质即可证明 【解答】（1）略． （2）略． 24．(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【解答】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 25．(1) (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【解答】（1）解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个； （3）解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12． 学科网（北京）股份有限公司 $