精品解析：黑龙江哈尔滨德强高级中学2026-2027学年高三上学期九月检测数学试题

哈尔滨德强高级中学2026-2027学年度上学期九月检测 高三年级数学（Ⅰ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我们日常听到的声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是．假设我们听到的声音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为函数的一个周期 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的最大值为 5. 南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）参考数据：（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等比数列 B. 若，则为等差数列 C. D. 10. 在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为、 B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 D. 若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则 ________ 13. 已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______. 14. 设的三边所对的角分别为，已知，则________;的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前n项和． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 在中a，b，c分别为内角A，B，C，的对边，已知． （1）求角A； （2）若，且的内切圆半径，求的面积． 17. 已知等差数列为递增数列， （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和： （3）若数列满足，求的前项和的最大值､最小值. 18. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派1个人进去，且每个人只派1次，工作时间不超过10min．如果前一个人10min内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在只有甲、乙、丙3个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立． （1）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变3个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （2）若按某指定顺序派人，这3个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列及均值； （3）假定，证明：按甲最先，乙次之，丙最后的先后顺序派出人员进入高辐射区工作，可使所派出的人员数目的均值达到最小． 19. 已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时， ①证明：函数恰有一个零点； ②设为的极值点，为的零点，证明：. 参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2026-2027学年度上学期九月检测 高三年级数学（Ⅰ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由条件可知，，， 所以． 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简可得. 【详解】因为，所以． 故选：A 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换相关公式，进行变换判断充分性和必要性. 【详解】充分性：若，则，即， 所以，所以，故，充分性不成立； 必要性：若，则，解得， 所以，必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 我们日常听到的声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是．假设我们听到的声音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为函数的一个周期 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A选项，判断是否成立即可；对于B选项，判断是否成立即可；对于C选项，判断是否成立即可；对于D选项，判断能否同时取到最大值即可． 【详解】由于， 故不是函数的一个周期，选项A错误； 由于， 故，故函数的图象关于点对称，选项B正确； 由于， 故只有在时才成立， 故函数的图象不关于直线对称，选项C错误； 易知，若的最大值为，则需同时取得最大值， 即， 由，得， 此式显然不成立，选项D错误． 5. 南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得，应用基本不等式求三角形面积的最大值，注意取值条件. 【详解】由题意，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 此三角形面积最大值为. 故选：A 6. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可. 【详解】解：由，则或， 解得或， 所以，，，，…，， 所以，故B正确. 故选：B 7. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）参考数据：（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】归纳出第次去掉的线段的长度，然后求得和，解不等式可得． 【详解】记为第n次去掉的长度， ，剩下两条长度为的线段，第二次去掉的线段长为， 第次操作后有条线段，每条线段长度为，因此第次去掉的线段长度为， 所以，，， ．n的最小值为6． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查归纳照理，考查对数的运算．解题关键是归纳出第次所去掉的线段长度，计算时要先得出第次去掉的线段条数，即第次剩下的线段条数，同时得出此时每条线段长度，从而可得第次所去掉的线段总长度，求和后列不等式求解． 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系. 【详解】由题意知：，，； 设，则， 当时，，在上单调递增， ，即，又，，即； 设，则； 令， 则， 在上单调递减， 当时，，， 在上单调递减，， 即，，即； 综上所述：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将变形后，转化为函数的不同函数值大小关系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等比数列 B. 若，则为等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将两边同除，变形转化可求出是 等差数列，进而求出.进而分别结合等比数列、等差数列定义研究A、B项，利用求和公式研究D项. 【详解】由，，两边同除， 得：，即，且， 所以是公差为2，首项为1的等差数列， 所以，所以，则可知C错误； 因为，，所以，且， 所以是等比数列，则可知A正确； 对于B：，， 故数列为等差数列，则可知B正确； 对于D： ，则可知D正确. 故选：ABD． 10. 在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设的内切圆的圆心为，与相切于点，内切圆半径为，设角所对的边为，根据题设可得，结合得到，再由等面积法求得的值，进而求解判断各选项即可. 【详解】如图，设的内切圆的圆心为，与相切于点，内切圆半径为， 设角所对的边为，由于，则， 又，所以，则， 又，则，即， 由， 则，解得，则， 解得或，故A错误； 易得四边形为正方形，则， 所以， 当时，， 当时，，故B正确； 由， 当时，，， 则，故C错误； 由，可得， 当时，，， 则， 当时，，， 则，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为、 B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 D. 若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；数形结合可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，，则，由可得， 所以，函数的单调减区间为、，A对； 对于B选项，当时，， 当时，， 因此，函数的值域为，B错； 对于CD选项，作出函数的图像如下图所示： 若，由可得，则方程只有两个不等的实根； 若，由可得或或， 由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根， 若关于的方程有个不相等的实数根，则，C对； 若关于的方程有个不相等的实数根，则，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，由题意得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，则， 因为，则，解得. 13. 已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据对立事件概率的求法，可得答案. 【详解】由题意，选出的两个人只有两男、两女、一男一女三种情况，则选中两人中恰有一人是女生的概率为. 故答案为：. 14. 设的三边所对的角分别为，已知，则________;的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】，利用正弦定理和余弦定理角化边即可求出，利用两角和的正切公式可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 即， 因为 所以， 由得，故为锐角，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前n项和． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用题意可得到，则能得到，即可得到答案； （2）利用（1）算出，继而得到，接着利用裂项相消法即可得到答案 【小问1详解】 ∵， 可得，∴是公差为2的等差数列， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可得， ∴， ∴ ． 16. 在中a，b，c分别为内角A，B，C，的对边，已知． （1）求角A； （2）若，且的内切圆半径，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知式子利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A； （2）先利用面积法可求得，再结合（1）得到的式子可求出，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得：，即， 所以， 又因为，故． 【小问2详解】 由已知得， 即， 又因为，即， 所以，解得，或（舍去）， 所以的面积为． 17. 已知等差数列为递增数列， （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和： （3）若数列满足，求的前项和的最大值､最小值. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则可解得，即可求出通项公式； （2）利用错位相减法即可求出； （3）利用裂项相消法求出前n项和，再讨论n的奇偶即可求出. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以①， ②， ①-②得， ； 【小问3详解】 ， 记的前项和为， 则 ， 当为奇数时随着的增大而减小，可得， 当为偶数时随着的增大而增大，可得， 所以的最大值为，最小值为. 18. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派1个人进去，且每个人只派1次，工作时间不超过10min．如果前一个人10min内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在只有甲、乙、丙3个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立． （1）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变3个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （2）若按某指定顺序派人，这3个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列及均值； （3）假定，证明：按甲最先，乙次之，丙最后的先后顺序派出人员进入高辐射区工作，可使所派出的人员数目的均值达到最小． 【答案】（1），不发生变化 （2） 1 2 3 （3）证明：由（2）的结论知：当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， ． 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减小所需派出的人员数目的均值． 下面证明：对于的任意排列，都有．(*) 事实上， ， 即(*)式成立，因此结论得证． 【解析】 【分析】（1）由概率算式知任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关； （2）计算变量取值相应的概率得到分布列，计算数学期望； （3）根据不同顺序方案数学期望的结果，得到数学期望最小时的派出顺序． 【小问1详解】 无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是， 所以任务能被完成的概率与3个人被派出的先后顺序无关， 并等于． 【小问2详解】 的取值为， ，，， 故的分布列为 1 2 3 ． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时， ①证明：函数恰有一个零点； ②设为的极值点，为的零点，证明：. 参考数据： 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到在恒成立，令，对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果； （2）由得，求导得到， ①分，两种情况，根据导数的方法分别研究零点，即可得出结果； ②由为的极值点，得；推出，令，，根据导数的方法判断其单调性，得出在上有且仅有一个零点，设为，得到，进而可得出结论成立. 【详解】（1）若在恒成立，即在恒成立， 令，则. 当时，；当时，. 即在上单调递减；在上单调递增. 故，即，所以. （2）当时，，， ①（i）当时，，即在上没有零点. （ii）当时，令，则， 所以在上单调递增，，， 所以在上存在唯一实根，故在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，， 所以在上有且只有一个零点. 综上，函数在上恰有一个零点； ②因为为的极值点，所以，即. 因为的导函数为在上恒成立，所以在上单调递减，因此恒成立， 即对任意成立，所以，， 所以有，即有成立. 令，，，所以在上单调递增，，，在上有且仅有一个零点，设为. 而，所以，故. 由①，所以， 故. 【点睛】本题考查导数的应用、零点、不等式、极值等综合应用能力，考查转化与化归、推理论证与运算求解能力，难度较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $