精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2027届高三上学期8月阶段性考试数学试卷

哈九中2024级高三8月阶段性考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 5. 定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则正数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，满足对，恒成立，则实数a的取值不可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 10. 已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6个零点之和是6 11. 已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知函数若存在实数，满足，且，则的最小值为____________． 14. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 16. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若关于的方程有三个连续的实数根，，，且，令，求的值． 17. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，分别是，的中点，且，． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 18. 已知在处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）证明：仅有一个极值点，且． （3）若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由． 19. 有一种不断分裂的细胞，在每个时间周期内可能发生以下情况，有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞．每个细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为． （1）若，求的分布列和数学期望； （2）若，求的取值范围； （3）若该细胞在分裂过程中灭绝的概率不超过，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024级高三8月阶段性考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由对数真数大于，得，即，解得或，所以，故. 由，其中，所以. 所以. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 3. 已知点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角公式化简点的坐标，再根据第一象限的条件列出不等式组，最后通过对周期参数进行分类讨论以求出解集的交集. 【详解】由题意得， 即点， 由题意得，即，即， 设，则有， 设，则有，即， 综上，， 且，即，即， 取其交集为 4. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再代入，求解即可. 【详解】根据题意可得， 则，， 则经过n年时，有， 即，则， 所以， 则. 故选：B. 5. 定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用对称性，得到，再利用，对进行赋值，然后可求解. 【详解】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，, ,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对； 故选：A 6. 已知，则正数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系. 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 7. 已知函数，满足对，恒成立，则实数a的取值不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，，三种情形讨论，结合基本不等式及导数求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立，∵， 当且仅当，即时取等号，所以． 当时，恒成立. 当时，恒成立，即恒成立． 设，则， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴，∴的取值范围是． 故选：B. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为，故B正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A利用内角和与差化积比较正弦值；对于B由正弦定理求出后验证两解均合法；对于C由余弦的符号判断三角形形状；对于D将条件转化为，注意讨论直角三角形的情形. 【详解】因为，，则，于是， 即，故A正确. 由正弦定理，得，所以或， 且两者均满足，故三角形有两解，B正确. 三角形至多有一个钝角，若三角形为钝角三角形，则三个内角的余弦值中恰有一个为负， 则，与矛盾，所以三角形为锐角三角形，C错误. 由余弦定理，，代入得， 整理得，即或，后者表示， 如为边长的直角三角形并非等腰三角形，D错误. 10. 已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6个零点之和是6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以， 所以B，C正确，A错误. 11. 已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】先由图中最值、周期和顶点条件依次求出参数得到函数的解析式，再由对称中心方程求出函数的对称中心即可判断A；求出的解析式即可判断其奇偶性判断B；由平移变换公式和诱导公式求出变换后图象解析式即可判断C；将题设等价转换成在区间上恰有2个不同的解得到不等式即可分析计算求解的取值范围判断D. 【详解】由题可得，所以， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以， 令，所以函数的对称中心为， 令，所以函数的一个对称中心是，A正确； 图象不关于y轴对称，不是偶函数，B错误； 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的可得到函数的图象， 再向右平移个单位长度，可得到函数即的图象，C正确； 因为方程即在区间上恰有2个不同的解， 所以即在区间上恰有2个不同的解， 令且， 所以方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为且，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式可求得，利用诱导公式可知，利用二倍角余弦公式可得结果. 【详解】由，得，即， 因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数若存在实数，满足，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，得出，，然后引入函数，利用导数求得最小值. 【详解】如图，作出函数的图象，时，，时，， 由且得， ，则，即， 令，则， 时，，递减，时，，递增， 所以时，， 所以的最小值是. 14. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理、两角和与差正弦公式转化题设条件依次得到、，接着由锐角三角形条件求出 ，再由两角和与差正弦公式、倍角公式将问题式子转化为一角一函数，利用导数工具即可分析求解. 【详解】由及正弦定理得， 整理得， 因为，，所以，即， 所以， 所以 由是锐角三角形得，解得，则， 令， 则， 令解得正根为， 所以在上恒成立，所以在上单调递减， 又， 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，又，从而， 由得， 从而， 所以的面积. 【小问2详解】 由， 又，当且仅当时取等号， 从而，所以， 又因为中，，从而， 所以的范围是. 16. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若关于的方程有三个连续的实数根，，，且，令，求的值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简三角函数，然后结合正弦函数的性质得值域； （2）利用正弦函数的性质解得，再按奇偶分类写出，求出后可得. 【小问1详解】 ， ，则，， 所以的值域是； 【小问2详解】 ，即， 则， 则， ，，是三个连续的实数根， 若， ，则， 则，所以， 若， ，则， 则，所以， 综上，. 17. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，分别是，的中点，且，． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 【答案】（1）因为四边形是矩形，，所以， 因为是的中点，，所以，同理可证， 因为，所以， 因为，，面，所以面， 因为面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意得到，，再利用线面垂直的判定定理得到面，最后结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，结合题意求出，再利用四棱锥的体积公式求解体积的最大值即可. （3）求出关键平面的法向量，利用面面角的向量求法得到，再结合换元法与导数判断单调性，最后得到取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，分别是，的中点，所以， 由矩形的性质得，则， 如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系， 设，，，，， 则，，， 可得，，解得， 得到，化简得， 令，，（为参数），则 由棱锥的体积公式得， 由正弦函数性质得，则四棱锥体积的最大值. 【小问3详解】 由题意得面的法向量为， 设面的法向量为，而，， 可得，而，得到， 则， 令，解得，，得到， 设平面与平面的夹角为，则， 由题意得，解得，则， 令，则令，， 则在上单调递增，而，，则， 故平面与平面的夹角余弦值的范围为. 18. 已知在处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）证明：仅有一个极值点，且． （3）若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，则， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，，， 所以在上存在唯一零点，使得即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以仅存在一个极值点，， ， 又函数，，而， 所以在上单调递减，则， 所以. （3）不存在，理由如下： 若存在，使得恒成立，即，对恒成立， 当时，当时，则，显然上式不成立； 当时，令，， 则， 令，则在上恒成立， 所以即在上单调递增，又，， 所以存在，使得， 所以当时，，即单调递减，此时， 所以不恒成立， 故当时，不存在满足条件. 综上，不存在，使得恒成立. 【解析】 【分析】（1）求出的导数，根据切线方程求出，的值即可； （2）求导可得，令，利用导数可得的单调性，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，且，进而可得的单调性，可判断极值情况；结合代入化简，运算得证； （3）问题转化为，对恒成立，当时，显然上式不成立；当时，令，利用导数可得存在，使得，当时，，即单调递减，此时，上式不能恒成立，得解. 【小问1详解】 由题意，，则， 解得，又，可得切点为，代入，得. 所以实数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不存在，理由略. 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为，对恒成立，分和讨论，其中时，令，利用导数判断求解找出矛盾. 19. 有一种不断分裂的细胞，在每个时间周期内可能发生以下情况，有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞．每个细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为． （1）若，求的分布列和数学期望； （2）若，求的取值范围； （3）若该细胞在分裂过程中灭绝的概率不超过，求的最大值． 【答案】（1） 的分布列为： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）求出的概率，设，求导，利用函数单调性求出的取值范围； （3）建立灭绝概率方程，结合灭绝的概率不超过建立不等式，求出的最大值. 【小问1详解】 若，则在每个时间周期内，细胞消失的概率为，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞， 第一个周期结束后，的概率为，的概率为， 所以的值可能为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为； 【小问2详解】 ， 令， 则，所以单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 设一个细胞最终灭绝的概率为，则两个细胞最终灭绝的概率为， 则，整理得， 解得或， 由于灭绝概率不超过，故舍去，仅需考虑的情况， 由题可知，解得，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $