黑龙江哈尔滨德强高级中学2026-2027学年高三上学期九月检测数学试题

哈尔滨德强高级中学2026-2027学年度上学期九月检测 高三年级 数 学(Ⅰ卷) 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则（     ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．我们日常听到的声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是y＝Asinωt.假设我们听到的声音的数学 模型是函数f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x，则下列结论正确的是(　　) A．π为函数f(x)的一个周期 B．函数f(x)的图象关于(π，0)对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)的最大值为 5．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标依 次记为，记它们的和为，则（    ） A． B． C． D． 7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托尔三分集”是数学理性思维 的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托尔三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)(　 　) A．4　　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 8．已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。 9．数列满足，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则为等比数列 B．若，则为等差数列 C． D． 10．在直角△ABC中，且．若△ABC的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（     ） A． B． C． D． 11．已知函数，下列选项正确的是（       ） A．函数的单调减区间为、 B．函数的值域为 C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则 ________ 13．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______. 14．设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝______；tan B的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本题满分13分) 已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中 为的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16． (本题满分15分) 在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C，的对边，已知． (1)求角A； (2)若，且△ABC的内切圆半径，求的面积． 17． (本题满分15分) 已知等差数列为递增数列， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和： (3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值. 18． (本题满分17分) 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派1个人进去，且每个人只派1次，工作时间不超过10 min.如果前一个人10 min内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在只有甲、乙、丙3个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1) 如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变3个人被派出的 先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2) 若按某指定顺序派人，这3个人各自能完成任务的概率依次为，其中是 的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列及均值E(X)； (3) 假定，证明：按甲最先，乙次之，丙最后的先后顺序派出人员进入高辐射 区工作，可使所派出的人员数目的均值达到最小． 19． (本题满分17分) 已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时， ①证明：函数恰有一个零点； ②设为的极值点，为的零点，证明：． 参考数据： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2026-2027上学期高三九月检测数学试题参考答案 1-8 CABBA BCB 9. ABD 10 .BD 11. ACD 12. 13. 14．－3　 15． （1）∵， 可得， ∴是公差为2的等差数列， ∴，； （2）由（1）可得， ∴， ∴ ． 16. （1） 由已知及正弦定理得：， 即， 所以， 因为， 故． （2） 由已知得， 即， 又因为，即， 所以， 解得，或（舍去）， 所以的面积为． 17. (1)因为，所以，所以， 又，且为递增数列，则可解得， 所以公差为2， 所以. (2)因为， 所以①， ②， 1- ②得 ， ； (3)， 记的前项和为， 则， 当为奇数时随着的增大而减小，可得， 当为偶数时随着的增大而增大，可得， 所以的最大值为，最小值为. 18. 解：(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)， 所以任务能被完成的概率与3个人被派出的先后顺序无关， 并等于1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝p1＋p2＋p3－p1p2－p2p3－p3p1＋p1p2p3. (2)三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P q1 (1－q1)q2 (1－q1)(1－q2) E(X)＝1×q1＋2×(1－q1)q2＋3×(1－q1)(1－q2)＝3－2q1－q2＋q1q2. (3)证明：由(2)的结论知：当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， E(X)＝3－2p1－p2＋p1p2. 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减小所需派出的人员数目的均值． 下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1，q2，q3，都有3－2q1－q2＋q1q2≥3－2p1－p2＋p1p2.(*) 事实上， (3－2q1－q2＋q1q2)－(3－2p1－p2＋p1p2) ＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－p1p2＋q1q2 ＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－(p1－q1)p2－q1(p2－q2) ＝(2－p2)·(p1－q1)＋(1－q1)(p2－q2) ≥(1－q1)[(p1＋p2)－(q1＋q2)]≥0， 即(*)式成立． 19. 【解析】（1）若在恒成立， 即在恒成立， 令， 则． 当时，；当时，． 即在上单调递减；在上单调递增． 故，即， 所以． （2）当时，，， ①（1）当时，， 即在上没有零点． （2）当时，令，则， 所以在上单调递增，，， 所以在上存在唯一实根， 故在上单调递减，在上单调递增． 因为，，， 所以在上有且只有一个零点． 综上，函数在上恰有一个零点； ②因为为的极值点，所以，即． 因为的导函数为在上恒成立， 所以在上单调递减，因此恒成立， 即对任意成立，所以，， 所以有，即有成立． 令，，， 所以在上单调递增， ，， 在上有且仅有一个零点，设为． 而，所以， 故． 由①， 所以， 故． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $