13.3全等三角形的判定 第4课时 图形变换中的全等三角形 课件 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册13.3全等三角形的判定（第4课时 图形变换中的全等三角形）专项练习（1212字） 本节课研究平移、旋转、翻折（轴对称）这三类全等变换背景下的三角形全等。图形经过平移、旋转、翻折，只改变图形位置，不改变边长、角度大小，变换前后的两个三角形全等。这类题型的特点：图形位置有重叠、交错，需要从动态变换中剥离出静态三角形，挖掘隐含条件，如公共边、公共角、对顶角，或是由变换得到的相等线段、相等角。解题思路：先看变换类型，确定哪些边、角对应相等；再结合SSS、SAS、ASA、AAS四个判定定理完成证明。常见模型：平移型全等、旋转型全等（手拉手模型入门）、翻折型全等。易错点：图形旋转后找错对应顶点；复杂图中看不到公共角；角度加减推导时计算失误；书写全等时顶点顺序混乱。习题设置概念辨析、识图、证明大题，帮助熟悉几何变换类全等题型，提升识图能力。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列图形变换，能够得到全等三角形的是（） A. 放大 B. 翻折 C. 拉长 D. 压缩 2. 将\(\triangle ABC\)沿BC方向平移得到\(\triangle DEF\)，则下列结论错误的是（） A. \(\triangle ABC\)≌\(\triangle DEF\) B. AB∥DE C. AC=DF D. ∠B≠∠DEF 3. 将△AOB绕点O旋转得到△COD，则∠A的对应角是（） A. ∠B B. ∠C C. ∠D D. ∠COD 4. 如图，\(\triangle ABC\)沿AC翻折得到△ADC，则\(\triangle ABC\)≌△ADC的判定依据是（） A. SSA B. AAA C. SAS D. 不能判定 5. 关于图形变换中的全等，说法正确的是（） A. 旋转后边长变大 B. 翻折后角度改变 C. 平移只改变位置，不改变大小形状 D. 平移后的三角形一定和原三角形面积不相等 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 平移、旋转、翻折统称为________变换，变换前后图形全等。 7. 旋转型全等，旋转中心处常出现________，作为证明的等角条件。 8. 翻折（轴对称）后，重合的边是________边，重合的角是对应角。 9. 平移型全等，对应线段互相________（或在同一直线上）。 10. 手拉手基础模型，由共顶点等线段，通过角的________，得到夹角相等，用SAS证全等。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 平移型：已知，点B、C、E、F在同一直线上，\(\triangle ABC\)向右平移得到\(\triangle DEF\)。求证：\(\triangle ABC\)≌\(\triangle DEF\)。 12. 翻折型：已知，\(\triangle ABC\)沿AB翻折得到\(\triangle ABD\)，AC=AD。求证：\(\triangle ABC\)≌\(\triangle ABD\)。 13. 旋转型：已知，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD。求证：\(\triangle AOC\)≌\(\triangle BOD\)。 14. 综合识图：将\(\triangle ABC\)绕顶点A逆时针旋转得到△ADE，∠BAD=30°，求∠CAE的度数，并证明\(\triangle ABC\)≌△ADE。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；翻折属于全等变换，放大、拉长、压缩都会改变图形大小，得不到全等三角形。 2.D；平移得到全等三角形，∠B与∠DEF是对应角，两角相等。 3.B；△AOB绕O旋转到△COD，A对应C，B对应D，∠A对应∠C。 4.C；翻折，AB=AB公共边，∠BAC=∠DAC，AC=AD，两边夹一角，SAS。 5.C；平移、旋转、翻折不改变边长、角度、面积，只改变位置。 **填空题** 6.全等；7.公共角；8.对应；9.平行；10.等量加等量。 **解答题** 11.证明：\(\triangle ABC\)向右平移得到\(\triangle DEF\)，平移属于全等变换，对应边AB=DE，AC=DF，BC=EF。 在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中 $\begin{cases} AB=DE\\ AC=DF\\ BC=EF \end{cases}$ $\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(\text{SSS})$。 12.证明：\(\triangle ABC\)沿AB翻折得到\(\triangle ABD\)，$\therefore\angle CAB=\angle DAB$。 在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中 $\begin{cases} AC=AD\\ \angle CAB=\angle DAB\\ AB=AB(\text{公共边}) \end{cases}$ $\therefore\triangle ABC\cong\triangle ABD(\text{SAS})$。 13.证明：$\because\angle AOB=\angle COD$，$\therefore\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC$，即$\angle AOC=\angle BOD$。 在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中 $\begin{cases} OA=OB\\ \angle AOC=\angle BOD\\ OC=OD \end{cases}$ $\therefore\triangle AOC\cong\triangle BOD(\text{SAS})$。 14.解：$\because\triangle ABC$绕A旋转得到△ADE，$\therefore\angle BAC=\angle DAE$。 $\therefore\angle BAC-\angle BAE=\angle DAE-\angle BAE$，即$\angle CAE=\angle BAD=30^\circ$。 证明：旋转前后对应边AB=AD，AC=AE，夹角∠BAC=∠DAE。 $\begin{cases} AB=AD\\ \angle BAC=\angle DAE\\ AC=AE \end{cases}$ $\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE(\text{SAS})$。 ## 本节小结 图形变换中的全等，核心思想：平移、旋转、翻折只是改变图形位置，图形本身的边长、角度完全不变，变换前后三角形一定全等。三类基础模型各有特点：平移型，对应线段平行，常在同一条直线上出现线段相加；翻折型，以折线为对称轴，存在公共边，常用SAS；旋转型（手拉手），共顶点，利用“同加/同减公共角”推导夹角相等，是考试高频模型。做题第一步先观察图形属于哪一类变换，标记变换带来的相等线段和角，再选择SSS、SAS、ASA、AAS中的合适判定定理。很多同学容易在旋转模型中找错对应角，或是不会做角度等量代换，一定要记住：两个大角同时加上（减去）同一个公共角，得到的新角仍然相等。证完全等后，可继续推导线段平行、线段相等、角度相等。本节是全等三角形的综合应用，单元测试、期末试卷常以大题形式出现，需要学会从动态图形中剥离出静态三角形，找准对应顶点，规范书写证明过程，避免顶点对应写错导致整题失分。 （全文1212字） 下一节：**13.4三角形的尺规作图**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 13.3全等三角形的判定 第4课时 图形变换中的全等三角形 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十三章 全等三角形 学习目标 新知●探究 观察与思考 (1) (2) (4) (5) (6) (3) 如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形. （1）.观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过 怎样的变换(平移或旋转)后，能够与另一个三角形重合. （2）.请你分别再画出几组具有类似位置关系的两个全等三角形. 新知●探究 (1) 平移 平移 (2) (3) 旋转 旋转 旋转+平移 (5) (6) 旋转 (4) 新知●探究 归纳：实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换) 得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快地解决问题. 总结归纳 图形变换在全等三角形中的应用 一个三角形 平移或旋转 另一个三角形 发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快地解决问题 典例●精析 例3 已知：如图，在△ABC中， D是BC的中点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F. 求证：△BDF≌△DCE. A B C E D F 观察图形,△BDF和△DCE有怎样的关系？可以怎样变换得到？ ①边读题边做标记边想； ②从问题着手，倒着分析； ③读到的写成因为，想到的写成所以。 典例●精析 证明： ∵D是BC的中点(已知)，∴BD＝DC(线段中点定义). ∵DE∥AB，DF∥AC，(已知) ∴∠B＝∠EDC，∠BDF＝∠C，(两直线平行，同位角相等) 在△BDF和△DCE中， ∵ ∴△BDF≌△DCE(ASA). A B C E D F 应用1 平移变换 1. [唐山期中] 如图，已知： , , ， . （1）如果，，则 ___； （2）如果给图中不规则的图形涂上阴影，则 ___（填“ ”“ ”或“=”）. 4 = 举一反三 7 2. [北京东城区模拟] 如图①，与 全等，且 ，.如图②，将 沿射线 方向平移得到，连接， . 举一反三 8 （1）求证：且 ； 举一反三 9 【证明】由已知可得， . 由平移的性质可知， ， ，， . , , 在和中， . ， . 且 . 举一反三 （2）求沿射线方向平移的距离等于多少时，点 与 点 之间的距离最小. 举一反三 11 【解】 , 当点与点重合时，点与点 之间的距离最小, 沿射线方向平移的距离等于 . 举一反三 12 典例●精析 例4 已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，CF∥AB，交DE 的延长线于点F. 求证：DE＝FE. F A B C E D 观察图形,△CEF和△AED有怎样的关系？可以怎样变换得到？ 典例●精析 证明： ∵CF∥AB(已知)， ∴∠A＝∠ECF(两直线平行，内错角相等). 在△EAD和△ECF中， ∵ ∴△EAD≌△ECF(ASA). ∴DE＝FE(全等三角形的对应边相等). F A B C E D 新知●探究 做一做 已知：如图，AB ∥ CD，AD∥BC. 求证：AB = CD, AD=BC. B C D A 证明：连接AC，如图： ∵AB∥CD，AD∥BC(已知)， ∴∠BAC＝∠DCA,∠BCA＝∠DAC,(两直线平行，内错角相等). 在△BAC和△DCA中 ∠BAC＝∠DCA AC=CA ∠BCA＝∠DAC ∴△ABC≌△CDA(ASA). ∴AB = CD, AD=BC. 应用2 翻折变换 3. 相传墨子以木头制成木鸟， 研制三年有成，是人类最早的风筝起 源.下图所示的是一个燕尾风筝的平面 示意图.已知横骨于点 ， 于点，交于点 ，中骨 平分，求证： . 举一反三 16 【证明】证法1：, ， ． 平分, ． 在和 中， , ． 举一反三 17 在和 中， , ． 证法2：, , ． 平分, ． 举一反三 在和 中， , , ． , ． 举一反三 在和 中， , , ,即 . 举一反三 4. 如图，在同一直线上有四个点 ，，，，点，在直线 的同 一侧，如果，垂足为 ， ，垂足为，且 ， .连接，相交于点 . 试说明： 举一反三 21 （1） ； 【解】因为,,所以 . 因为,所以,即 . 举一反三 22 在和中, 所以,所以 . 作的平分线交于点 , 则 . 又因为,所以 . 所以 . 举一反三 （2） . 由（1）知,所以 . 又因为 , 所以,即 . 在和中, 所以 . 举一反三 24 应用3 旋转变换 5. [长沙中考] 如图，点在线段 上， ，， . （1）求证： ； 【证明】在和 中， . 举一反三 25 （2）若 ，求 的度数. 【解】由（1）得 ， ， . . 举一反三 26 课堂●小结 平移变换 全等变换的应用 旋转变换 具有特殊位置关系的三角形全等 谢谢观看 THANKS $