专题一 三角形中的线段和角的计算问题【（挑战压轴题）导图知识卡片+十三大考点讲练+思维拓展训练 共54题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦苏科版八年级上册“三角形中的线段和角的计算问题”核心知识点，系统梳理三角形个数、构成条件、第三边取值范围等十三类考点，从基础概念到综合应用层层递进，搭配思维导图构建知识网络，形成完整学习支架。 资料以“典例精讲+对应练习”设计，通过三角形中线求面积、网格面积计算等实例，培养学生几何直观与推理能力，融入“面积法”等解题策略发展模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过54道题巩固提升，有效查漏补缺。

nullnull2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一三角形中的线段和角的计算问题 【思维导图+十三大考点讲练+思维拓展训练共54题〔原卷版〕】 录 目 【压轴考向一三角形的定义与相关概念】 【压轴考点01】三角形的个数问题★★★ .2 ②。【压轴考点2】构成三角形的条件女★★ 4 【压轴考点03】确定第三边的取值范围★★★食 5 【压轴考点04】三角形三边关系的应用★★★★ 5 【压轴考点05】大（小）边对大（小）角定理★★★★ .6 【压轴考向二中线、角平分线、高的画法与计算】 【压轴考点06】根据三角形中线求长度★★★ .7 ,【压轴考点07】根据三角形中线求面积★★★★ .8 【压轴考点08】重心的概念★★★ .9 ,【压轴考点09】三角形角平分线的定义★★★ .10 ,【压轴考点10】画三角形的高★★★ ...11 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题★★★★ eee.... 13 【压轴考点12】利用网格求三角形面积★★★食 14 【压轴考点13】垂心★☆★贵…1 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 第1页共21页 【专题复习思维导图指引】 ①三角形的边和角 2线段的比较与角的比较 三角形的三个内角之和 三角形的三个内角之和为18 线段的比较 在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大 期：∠A+∠B+∠C=180 “大边对大，大角对大边”。 在入电 AC+BC>AB.AC+AB BC AB+BC>AC. 角的比较 在圆一个三角形中，较大的边所对的角也较大 即：任愈两边之和大于第三边。 简称 大边对大角。大角对大边”。 三角形的边与角的关系 在△MBC中 推论 也较长 边长蒋大 其对角也越大 2)角大，对边也超长 两个三角形连结 出△ 典型图形 挑战压轴题专题01 三角形中的线段 (从 线最短”，可如BA十AC>BC ③三角形中的重要线段 和角的计算问题 5压轴题考点技巧 4线段与角的计算公式 BD=DC-号BC 三角形内角和定理∠A+∠B+∠C=10 直角三角形 TZ- AE是△4BC的角平分线分∠A) 等角等特征 结合内角和定理 两角互余等公 ∠BAE=∠CAE 等腰三角形 个 AB=AC∠B=∠C 铺助线的微见作法 A和平分∠A,且AD⊥ (1)延长边限：(2)作垂线：(3)作率行线：(4)取中点，连中线： (5)作角平分线 AH是△MBC的高线（垂足为H) 若△AB△A"B .分付论里 AHLBC 全等三角影 群AB=B,BC=BC,AC-AC 睡目条件不维 或图形位置不定封，分类讨论，量免责情况 ∠A=∠A',∠B=∠B。∠Cm∠C 6典型压轴题横型归纳 模型二：中线模型 模型三：角平分线根型 横型四：高线楼到 慎型五：综合比较模型 型六：面积等量模型 模型一：边和望关系横型 若AD是△AC 中线(D为BC 若AH⊥C,则∠HB=∠AHC=0 结合中线：角平分高线，此较线段 若SAMD SI,则AD是△AC的申线 BD=DC=BC. 若ae-三5a,则AD是△C的中线 关：利用点之 美健：中点性质，三角形边角关系 关健：角平分性周+三角形角度计算。 关醒：重直十直角三角形关系 关量：图形度损+合分析能力 关键：面积法+中线判定 复习小提示 掌握基瑶概念→熟悉典型围形→ 灵活运用公式构造铺助线→分类讨论→检验结论， 突破压轴题 【压轴考向一三角形的定义与相关概念】 【压轴考点01】三角形的个数问题★★★ 【典例精讲】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，DF L AB于R,DF交AC于E,图中 有( )个直角三角形： B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第2页共21页 【对应练习1】(25-26七年级上·贵州贵阳·期末)小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的 边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m 个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有 区域都变成三角形.设分得三角形的个数为y(不计被分割的三角形)· 图① 图② 【问题解决】 (1)如图①，当n=3,m=1时，y=一：如图②，当n=4,m=2时，y=_: 【问题探究】 (2)当y=5时，直接写出n,m的值，并画出图形： 【拓展延伸】 (3)直接写出乃，m,n之间的关系：y=一一 【对应练习2】(2026七年级下·全国·专题练习)找规律，填空： (1) (2)》 (3) (1)请按照下列要求数出三角形的个数. ①BC边上有1个点（图(1）)，三角形的个数为 ②BC边上有2个点（图(2）)，三角形的个数为 ③BC边上有3个点（图(3）)，三角形的个数为 (2)当BC边上有m个点（不含B,C两点）时，图形中三角形的个数为】 (3) 第3页共21页 二【压轴考点02】构成三角形的条件★女★ 【典例精讲】若三根长度分别为2、4、x(x为正整数)的木棒顺次相接能够组成三角形，则( A.组成的三角形中，周长最小为8 B.组成的三角形中，周长最小为7 C.组成的三角形中，周长最大为12 D.组成的三角形中，周长最大为11 【对应练习1】(25-26七年级下·河南南阳·阶段检测)【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段能组成三角形（填“一定”或“不一定”）： ②在三条线段中，如果两条较短线段的和 最长线段（填“>”“=”“≥”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和第三边：通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差第三边（均 填“大于”“等于”“小于”)； (2)【结论运用】 已知a、b、c分别为△ABC的三边长(a>b),且满足a+b=3c-4,a-b=2c-6.求c的取值范围； (3)【拓展提升】 在(2)的条件下，若△ABC的周长为12，求c的值. 【对应练习2】(23-24八年级上北京朝阳期中)若三边均不相等的三角形三边a,b,c满足a-b>b-c (a为最长边，c为最短边)，则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形三边分别为7,5,4，因为 7一5>5-4，所以这个三角形为“不均衡三角形”. (1)以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 (填序号). ①13cm,18cm,9cm: ②9cm,8cm,6cm. (2)已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2,16,2x-6直接写出x的整数值为 第4页共21页 【压轴考点03】确定第三边的取值范围★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的 长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是( ) 10 A.3 B.3或4 C.4或5 D.6 【对应练习1】两根木棒的长度分别是5cm和7cm,要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果 第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 【对应练习2】(25-26八年级上·山东济宁·阶段检测)老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小 木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm,要求只能对10cm的小木棍进行裁 剪（裁剪后长度为整数），你认为同学们最多能做出()个不同的三角形木架。 A.1 B.2 C.6 D.10 【压轴考点04】三角形三边关系的应用★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下广东揭阳阶段检测)若a,b,c是△ABC的三边，化简：la+b-c-Ia-c bl= ) A.0 B.2a-2c C.-2a+2c D.2b 【对应练习1】如图，AB=5,CD=3,BC=11,用小钉子把木棒AB和BC,BC和CD分别在端点B,C 处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来. 第5页共21页 (1)设橡皮筋AD的长为x,则x的最大值是 最小值是 (2)若围成一个四边形，则橡皮筋的长x的取值范围是 (3)连接AC,若AD=4,AC的长为整数，则AC的长是一· 【对应练习2】(25-26八年级上·安微徽·期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)化简：la-b-cl-2b-c-al+la+b-c: (2)若a=6,b=3,且c为整数，求△ABC周长的最大值及最小值. 【压轴考点05】大（小）边对大（小）角定理★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·江苏徐州·期中)在△ABC中，若∠B<∠C,则边AB与AC的数量关系 为( A.AB>AC B.AB=AC C.AB<AC D.无法确定 【对应练习1】(24-25七年级下江苏常州·期中)如图，直线BD是四边形ABCD的对称轴，∠ADB>90°， 点E、F分别是AD,CD上一点，且BE=BF,若AE=2,CD=5,则DF=一一一· 第6页共21页 【压轴考向二中线、角平分线、高的画法与计算】 【压轴考点06】根据三角形中线求长度★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·北京·期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线. D (1)若△ABD的周长比△ACD的周长大4，AB+AC=14,则AC= (2)若△ABC的面积为17，则△ACD的面积为 (3)若BC=6,AD=4,则△ABC的面积的最大值为 【对应练习1】.(25-26七年级下山西临汾·期末)如图，CD、CE分别是△ABC的高和中线，若AC=5cm, BC=12cm,AB=13cm,∠ACB=90° D 6 (1)求CD的长 (2)求△BCE与△ACE的周长差 【对应练习2】(25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测)如图，在每个边长为1的小正方形的网格中， 点A、B、C在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图. :B 图1 图2 (1)在图1中，画△ABC的中线AD: 第7页共21页 (2)在图1中，画△ABC的高CE: (3)在图2中，F为AB与网格线的交点，在BC上画点M,使得线段FM平分△ABC的面积： (④在图2中，在△ABC的内部画点N,使SAACN=SAAUG,且SAABN=SAABC. 【压轴考点07】根据三角形中线求面积★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·江苏南京·开学考试)以下说法正确的有( ) ①三角形的中线、角平分线都是射线： ②三角形的三条高所在直线相交于一点： ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点： ④直角三角形的三条高相交于直角顶点： ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【对应练习1】(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O, 己知△AB0的面积为4，△B0M的面积为2，则阴影部分（四边形MCN0)的面积为( M A.4 B.5 C.6 D.7 【对应练习2】(26-27八年级上·江苏常州·开学考试)如图，△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上， CD=2AD,AE=BE,BD与CE交于点O,若BC=10,S四边形ADOE=7,则AB长的最小值为 A D E 0 B C 第8页共21页 【压轴考点08】重心的概念★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·上海杨浦·期中)如图，在△ABC,点RD、E分别是边AB、BC、AC 上的点，且AD、BE、CF相交于点O,若点O是△ABC的重心，则以下结论：①线段AD、BE、CF是△ABC 的三条角平分线：②△BOD的面积是△A0C面积的一半；③图中与△B0C面积相等的三角形有2个；④ S△BOD=S△cOE;( 0F=AD.其中一定正确结论有() D A.②③ B.①③④ C.②④⑤ D.②③④ 【对应练习1】(25-26八年级上·河南安阳·期末)如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用 一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平.如图2， 取下布料后测得△A0E的面积为5，则△B0C的面积为. E D 图① 图② 【对应练习2】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测)取一块质地均匀的三角形纸板4BC,如果用一 条细线从重心0处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态.探究图①中4的值是多少.吴老师为了让 同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题， 【解决问题】 任务1：若△B0C的面积为m,求△A0B的面积： 任务2：在任务1的条件下，求的值。 【拓展应用】如图②，在△ABC中，点O是△ABC的重心.连接BO,CO并延长，分别交AC,AB于点D,E.若 B01CO,BD=6,CE=9,直接利用上面的结论，求四边形AEOD的面积. 第9页共21页 二【压轴考点09】三角形角平分线的定义女★★ 【典例精讲】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O,则①AO是△ABE的角平分线；②BO 是△ABD的中线：③DE是△ADC的中线：④S△ADE=SACDE,其中结论正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应练习1】(25-26八年级上·山东临沂·期末)如图，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的B处， 则折痕AD是( C A.△ABC的角平分线 B.△ABC的中线 C.△ABC的高 D.BC边的垂直平分线 【对应练习2】(25-26八年级上·全国·单元测试)【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数 是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”.例如三个内角分别为130°，40°，10° 的三角形是“完美三角形”· 第10页共21页 M D E BN B D 图① 图② 【简单应用】如图①，∠MON=72°，在射线OM上找一点A,过点A作AB1OM交射线ON于点B,以A为 端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合)· (1)∠AB0=_°，∠A0B=一一°，△A0B一一“完美三角形”（填“是”或“不是”）： (2)若∠ACB=90°，求证：△AOC是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点D在△ABC的边AB上，连接DC,DE平分∠ADC,DE‖BC.若△BCD是“完美三角 形”，请直接写出∠B的度数. 二【压轴考点10】画三角形的高★女★ 【典例精讲】(25-26七年级下·山西运城·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,点D是BC上一点， DE L AB,垂足为E,点F是AB上一点，连接DF,且DF L BC,下列说法中不正确的是( B D C A.线段DE是△ABD中AB边上的高 B.线段DE是△ADF中AF边上的高 C.线段DF是△ABD中BD边上的高 D.线段AC是△ABD中BD边上的高 第11页共21页 【对应练习1】(25-26八年级上·江西南昌·阶段检测)如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点 A,点B,点C在小正方形的顶点上 B (1)在图中画出△ABC的边CB上的高AD以及AC上的中线BE: (2)求出△ABE的面积. 【对应练习2】(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图是由边长为1的小正方形组成的8×7网格， 己知点A,B,C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程 用虚线表示，每个任务不超过3条线 4 B B 图1 图2 (1)图中△ABC的面积为 (2)在图1中画出△ABC的高BD: (3)在图1中的BC边上画一点E,使∠CAE=45°； (4)在图2中，F为线段BC上一点，画线段CF的中点G. 第12页共21页 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·河北沧州·期末)如图，在△ABC中，AC=BC=8,S△4Bc=24,P 为AB边上一动点（不与A,B重合），PE L AC于点E,PF⊥BC于点F,则PE+PF的值是( ) E A.8 B.7 C.6 D.5 【对应练习1】(24-25七年级下·江苏准安·期末)如图，在锐角△ABC中，D是BC的中点，BC=8, E是AC上的一点，且CE=2AE,BE与AD相交于点F,若△AEF的面积为3，则AD的最小值为-， 【对应练习2】(25-26八年级上·河南周口·期末)如图1，大正方形的面积可以表示为(a+b)2,同时 大正方形的面积也可以表示为a2+2ab+b2,从而验证了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.把这种 “同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法” a b M B 图1 图2 图3 图4 (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式： (2)如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,AC=5,BH是斜边AC上的高，求BH的长， (3)如图4，等腰△ABC中，AB=AC,O为底边BC上任意一点，OM1AB,ON⊥AC,CH L AB,垂足分别 为M,N,H,连接AO,求证：OM+ON=CH. 第13页共21页 【压轴考点12】利用网格求三角形面积★★★★ 【典例精讲】，(25-26七年级下·江苏连云港·期末)如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点， △ABC三个项点都在格点上，利用网格画图. (1)画出△A1B1C1,使△ABC与△A1B1C1关于直线1对称； (2)画出△A2B2C2,使△ABC与△A2B2C2关于点0对称： (3)以A、B2、A2、B为顶点的四边形面积为 【对应练习1】四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A,B,C,D均在格点上. 5 65432Ll 0123.46x 1--6 3 ÷4 5 (1)作出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1: (2)在y轴上找一点P,使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形A1B1C1D1的面积为 第14页共21页 【对应练习2】(25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测)如图，在10×10方格纸上（每个小方格都是 边长为1个单位长度的正方形)· 图1 图2 (1)如图1，△ABC三个顶点均在格点上，将△ABC通过一定的方式平移得到△A'B'C', ①请仅用无刻度的直尺画出△A'B'C'（点A、BC的对应点分别是A'、B'、C'): ②直线经过点C',请在直线l上画出所有的格点Q,使得点A'、B'、C'、Q组成的四边形面积为10（提示： 如有多个格点Q时，可以用Q1、Q2、Q3…表示)· (2)如图2，MW两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形MNEF 【压轴考点13】垂心★★★★ 【典例精讲】如图，在△ABC中，AD L BC于D,BE L AC于E,AD与BE交于点F. (1)画出△ABC关于直线BC的对称图形； (2)判断AF与BC的位置关系，并说明理由. 第15页共21页 【对应练习1】(24-25八年级上·福建福州·阶段检测)如图，在△ABC与△BCD中，∠A=∠D=90°， 直角边AC与BD交于E. (1)求作：线段EF,使EF⊥BC,交BC于点F(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，延长线段BA、CD和FE,求证：BA、CD、FE必相交于同一点. 【对应练习2】(24-25八年级上·江西上饶·期末)请仅用无刻度的直尺完成以下作图.（保留作图痕 迹，不写作法) E D B B D 图1 图2 (1)如图1，在△ABC中，D,E分别为边AB,BC的中点，请作出边AC的中点： (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,D是边BC的中点，BE⊥AC于点E,请过点C作边AB的垂线. 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(24-25七年级上山东泰安阶段检测)下面是三根小棒的长度（单位：c),能围成三角形的是( A.1,2,3 B.3,4,8 C.5,5,10 D.2,8,7 第16页共21页 2.(24-25八年级上·河北邯郸·开学考试)己知三角形的三边长分别为3,5，x,则第三边长x的取值 范围在数轴上表示正确的是( A.025 B.02 3.(25-26八年级上·陕西安康·期末)下列各组长度的线段中，能组成三角形的是( A.2cm,5cm,8cm B.25cm,24cm,7cm C.3cm,3cm,6cm D.1cm,2cm,3cm 4.(24-25八年级上·河北邯郸·开学考试)△ABC中，己知点D,E,F分别是BC,AD,CE边上的中点， 且S△ABc=32cm2,则S△BBr为( ) B A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.1cm2 5.(26-27八年级上江苏常州开学考试)如图，△ABC中，BC=6,点DE分别是CB、AB上的点，CD=2BD, AE=BE,连接AD、CE交于点R当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为( A A.7 B.8 C.9 D.10 6.(26-27八年级上·河北衡水·开学考试)如图，在△ABC中，己知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点，且S△ABc=4cm2,则S阴影=_一-cm2. B 7.(25-26八年级上·福建莆田·阶段检测)已知，Q,b,c是△ABC的三条边长，记t=(佾+（伦)，其 中k为整数.若k=1,a=b+2,c=1,则t的取值范围为一一一 第17页共21页 8.在△ABC中，D为BC边的中点，2PA=PB,CP交AD于点E,若S△ABc=24,S△APE= D 9.(25-26八年级下·广东河源·期末)在△ABC中，AB=AC,O为BC上任意一点，OM1AB,ON1AC, CH1AB,垂足分别为M、N、H,连接A0.已知OM=2,CH=5,则ON的长为 H M B 10.(25-26七年级下·福建泉州·期末)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，CD=3BD,E是AD的 中点，CE交AB于点F,S△AEF=3,则S△ABC=】 D 11.(26-27八年级上·全国·开学考试)已知△ABC的三边长为a,b,c,且a,b,c都是整数. (1)若a=2,b=5,且c为奇数，求△ABC的周长： (2)化简：la-c+bl-lb-c-ad-la+b+c. 第18页共21页 12.如图，己知∠BDC+∠EFC=180°，∠DEF=∠B. D B (1)求证：∠AED=∠ACB: (2)若D尽、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE=6,求S△ABC: 13.(25-26七年级下·吉林·期末)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的项点称 为格点.点A、BC均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕 迹. 图① 图② 图③ (1)在图①中，过点A作BC边上的高AD: (2)在图②中的AB边上找到点E,连接CE,使得S△AcB=S△BCB: (3)在图②中的BC边上找到点R,连接AF,使得S△ACF=2S△4BF, 第19页共21页 14.(25-26七年级下·江苏南通·期末)【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在△ABC中，AB=2,BC=4,则△ABC的高AD与CE的比是多少？ B B D D D (图1) (图2) (图3) (1)请解答上述问题： 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系.他提出了以下猜想：如图2， 若AAnC中，D是边BC上的点，则铝-器 (②)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由： 【拓展应用】 (3)如图3，△ABC中，D,E分别是边BC,AC上的点，AD与BE交于点O.若BD=CD,AE=2CE,请直接 写出铝的值。 第20页共21页 15.(25-26八年级上·湖北武汉·期末)用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心. 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形△ABC,把△ABC剪下来，并在△ABC的每个顶点处钉一 个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的 “痕迹”AD:对于小钉B(或C)重复操作过程，描出细线的“痕迹”BE(或CF),若记AD与BE的交点为 G,则发现CF也经过G点，如图1.G点既是三角形薄板的重心也是△ABC的重心. A F G D D C B F 图1 图2 图3 数学思考：点P是△ABC的重心 (1)如图2，连PA,PB,PC,直接写出的值： S△4BC (2)如图3，AP,BP,CP的延长线分别交BC,AC,AB于点R区D,求器的值. 拓展运用：(3)如图4，Rt△BPC中，∠BPC=90°，D,E分别是CP,BP延长线上的点，BD,CE的延长 线交于点A,若D,E刚好分别为AB,AC的中点，CD=12,BE=18,直接写出四边形ADPE的面积. D E 图4 第21页共21页 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 三角形中的线段和角的计算问题 【思维导图+十三大考点讲练+思维拓展训练 共54题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】三角形的个数问题 2 【压轴考点02】构成三角形的条件 4 【压轴考点03】确定第三边的取值范围 5 【压轴考点04】三角形三边关系的应用 5 【压轴考点05】大(小）边对大 (小）角定理 6 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 7 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 8 【压轴考点08】重心的概念 9 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 10 【压轴考点10】画三角形的高 11 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 13 【压轴考点12】利用网格求三角形面积 14 【压轴考点13】垂心 15 【压轴考点01】三角形的个数问题 【典例精讲】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对应练习1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【对应练习2】（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2) 当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． (3) 【压轴考点02】构成三角形的条件 【典例精讲】若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【对应练习1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【对应练习2】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为__________（填序号）． ①，，；    ②，，． （2） 已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为__________． 【压轴考点03】确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【对应练习1】两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【对应练习2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【压轴考点04】三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【对应练习1】如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【对应练习2】（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【压轴考点05】大(小）边对大 (小）角定理 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【对应练习1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【对应练习1】．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【对应练习2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 【典例精讲】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对应练习1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【对应练习2】（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【压轴考点08】重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【对应练习1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【对应练习2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【对应练习1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【对应练习2】（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【压轴考点10】画三角形的高 【典例精讲】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【对应练习1】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出的边上的高以及上的中线； (2)求出的面积． 【对应练习2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图1中的边上画一点E，使； (4)在图2中，F为线段上一点，画线段的中点G． 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【对应练习1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【对应练习2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【压轴考点12】利用网格求三角形面积 【典例精讲】．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线l对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)以、、、B为顶点的四边形面积为____________________ 【对应练习1】四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 【对应练习2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在方格纸上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)如图1，三个顶点均在格点上，将通过一定的方式平移得到， ①请仅用无刻度的直尺画出（点A、B、C的对应点分别是、、）； ②直线经过点，请在直线上画出所有的格点Q，使得点、、、Q组成的四边形面积为10（提示：如有多个格点Q时，可以用、、……表示）． (2)如图2，M、N两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形． 【压轴考点13】垂心 【典例精讲】如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【对应练习1】（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在 与中，，直角边与交于E． (1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点． 【对应练习2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A．B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（26-27八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 7．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 8．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 9．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是边上的一点，，是的中点，交于点，，则________． 11．（26-27八年级上·全国·开学考试）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 12．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 13．（25-26七年级下·吉林·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 14．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 三角形中的线段和角的计算问题 【思维导图+十三大考点讲练+思维拓展训练 共54题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】三角形的个数问题 2 【压轴考点02】构成三角形的条件 5 【压轴考点03】确定第三边的取值范围 8 【压轴考点04】三角形三边关系的应用 10 【压轴考点05】大(小）边对大 (小）角定理 12 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 14 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 18 【压轴考点08】重心的概念 20 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 24 【压轴考点10】画三角形的高 27 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 30 【压轴考点12】利用网格求三角形面积 33 【压轴考点13】垂心 37 【压轴考点01】三角形的个数问题 【典例精讲】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【规范解答】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 【对应练习1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6； （2），，图形如图所示： （3） 【思路引导】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【规范解答】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 【对应练习2】（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【思路引导】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【规范解答】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 【压轴考点02】构成三角形的条件 【典例精讲】若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【规范解答】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 【对应练习1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【思路引导】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【规范解答】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． 【对应练习2】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为__________（填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为__________． 【答案】 ① 10或12或13或14 【思路引导】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解． 【规范解答】：（1）①， ∴能组成“不均衡三角形”； ②， ∴不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当16为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， ， 经检验，当时，可构成三角形； ③当为最长边，16为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， 或或，都可以构成三角形； 综上所述，的整数值为或或或； 故答案为：或或或． 【考点剖析】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【压轴考点03】确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【思路引导】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【规范解答】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 【对应练习1】两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【思路引导】利用三角形三边关系求出第三根木棒的取值范围，再根据第三边长度为偶数的条件，找出符合条件的取值即可． 【规范解答】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得， ∴， 又∵第三根木棒的长为偶数， ∴满足条件的为，，，，共4种取值． 【对应练习2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形三边关系的应用，先通过三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后再根据第三边的长度为整数即可求解． 【规范解答】解：∵由题意已知三角形有两条边为、，设第三边长度为， ∴第三边的取值范围为：，即， 又∵第三条边从的小木棍中裁剪下来， ∴， 又∵裁剪后长度为整数， ∴的取值可以为：， ∴最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 【压轴考点04】三角形三边关系的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【规范解答】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 【对应练习1】如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【答案】 【思路引导】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【规范解答】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 【对应练习2】（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【思路引导】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【规范解答】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 【压轴考点05】大(小）边对大 (小）角定理 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【规范解答】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 【对应练习1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【思路引导】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【规范解答】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【对应练习2】（25-26八年级上·江苏连云港·周测）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【思路引导】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【规范解答】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 【压轴考点06】根据三角形中线求长度 【典例精讲】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【思路引导】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【规范解答】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 【对应练习1】．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【思路引导】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 【对应练习2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在每个边长为的小正方形的网格中，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图． (1)在图1中，画的中线； (2)在图1中，画的高； (3)在图2中，为与网格线的交点，在上画点，使得线段平分的面积； (4)在图2中，在的内部画点，使，且． 【答案】(1) 如图所示 (2) 如下图所示， (3) 平分的面积； (4) 如下图所示， 【思路引导】本题主要考查了借助网格线画图、三角形的中线与面积，解决本题的关键是借助网格找到符合条件的点． 根据中线的定义画出的中线； 根据三角形的高线的定义画出的高线； 由网格可知，可知，因为点到的距离为，所以当时即符合要求； 借助网格作出，根据网格即可求出． 【规范解答】（1） 略 （2） 略 （3）解：如下图所示， 由图可知，， ， 当时，的面积为， 平分的面积； （4）解：如下图所示， 在中，， ，， ， ． 【压轴考点07】根据三角形中线求面积 【典例精讲】（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【规范解答】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个． 【对应练习1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【规范解答】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 【对应练习2】（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【思路引导】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 【压轴考点08】重心的概念 【典例精讲】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【规范解答】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 【对应练习1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【答案】10 【思路引导】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【规范解答】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【对应练习2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】任务1：；任务2：2；【拓展应用】： 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，掌握三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算是解题的关键． 任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； 【拓展应用】点是△的重心，类比任务1，任务2可知，，求得，，，，再根据，，，即可求解． 【规范解答】解：任务1：点为△的重心， ，，分别是，，边上的中点， ，， ， ； 任务2：由题意可知，， ， ， 与同高， ， 即； 【拓展应用】点是△的重心，类比任务1，任务2可知： ， ，， ，，，， ， ， ， 则， ． 【压轴考点09】三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【规范解答】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 【对应练习1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【答案】A 【思路引导】折叠是一种全等变换，折叠前后对应部分全等，即对应角相等、对应边相等．根据折叠的性质，分析折痕与各元素的关系，从而判断折痕的性质． 【规范解答】解：∵折叠后点落在边上的处， ∴与关于折痕对称， 根据折叠的性质，对称的两个三角形全等，即， 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以 根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线， 由于，即折痕把分成了两个相等的角， 所以折痕是的角平分线． 【对应练习2】（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； [应用拓展]或 【思路引导】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）略 （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【考点剖析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上性质，并理解新定义． 【压轴考点10】画三角形的高 【典例精讲】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【思路引导】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【规范解答】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 【对应练习1】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出的边上的高以及上的中线； (2)求出的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求．即为所求． (2)4． 【思路引导】此题考查了网格中作图和网格中求出三角形面积． （1）根据网格的特点、三角形的高和中线的定义作图即可； （2）根据三角形面积公式和三角形中线平分三角形面积计算即可． 【规范解答】（1）略 （2）∵为的中线， ∴， ∵， ∴的面积为． 【对应练习2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图1中的边上画一点E，使； (4)在图2中，F为线段上一点，画线段的中点G． 【答案】(1)12 (2) 如图所示，线段即为所求； (3) 如图的示，点即为所求； (4) 点即为所求． 【思路引导】本题考查了网格中的作图，利用网格求三角形的面积，作三角形的高线，构造角，构造线段中点等知识，围绕网格的垂直特征，网格线的平行或中位线及等腰直角三角形展开是解题的关键  ． （1）直接根据三角形面积公式求解即可； （2）取格点，连接并延长交于，线段即为所求； （3）构造等腰即可； （4）作的中线交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：12； （2）解：略； （3）解：略； （4）解：略． 【压轴考点11】与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【思路引导】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 【对应练习1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【思路引导】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 【对应练习2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：如图，，，，， ． ， ． 【思路引导】本题考查了整式乘法的几何背景、图形的拆分前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆分前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大正方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【规范解答】（1）解：如图2，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以． （2）解：如图，在中， ∵，， ， ． （3）略 【压轴考点12】利用网格求三角形面积 【典例精讲】．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线l对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)以、、、B为顶点的四边形面积为____________________ 【答案】(1)如图：即为所求 (2)如上图，即为所求； (3)28 【思路引导】（1）分别作出点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于点O对称的点，再顺次连接即可； （3）利用割补法求解． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：、、、B为顶点的四边形面积． 【对应练习1】四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了画轴对称图形，最短路径，割补法求不规则图形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合轴对称图形的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合轴对称图形的性质，连接或连接它们都与y轴的交点即为点P，则，或，即可作答． （3）利用割补法进行列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：四边形如图所示： （2）解：在y轴上找一点P，使的值最小，如图所示； （3）解：四边形的面积． 【对应练习2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在方格纸上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)如图1，三个顶点均在格点上，将通过一定的方式平移得到， ①请仅用无刻度的直尺画出（点A、B、C的对应点分别是、、）； ②直线经过点，请在直线上画出所有的格点Q，使得点、、、Q组成的四边形面积为10（提示：如有多个格点Q时，可以用、、……表示）． (2)如图2，M、N两点在格点上，请用无刻度的直尺在图2中画出面积为18的长方形． 【答案】(1) ①如图所示； ②点、如图所示． (2) 在图2中面积为18的长方形如图所示． 【思路引导】本题考查图形的平移，格点图形中的面积问题； （1）①把向右平移2格再向下平移3格即可得到； ②先求出，再在两边找一边与公共边且面积为的三角形即可得到点； （2）先作正方形，再取格点使，再把平移到，则直线与和的交点即为，，此时． 【规范解答】（1）略 （2） 略 【压轴考点13】垂心 【典例精讲】如图，在中，于D，于E，与交于点F． (1)画出关于直线的对称图形； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：作A关于的对称点，连接、，如图， (2) 解：，理由如下： F是高线交点（垂心），在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边． 【思路引导】本题主要考查轴对称和垂心的性质， （1）根据对称的做法找到点A关于线段的对称点，连接、即可； （2）根据高线交点即为垂心，在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边即可． 【对应练习1】（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在 与中，，直角边与交于E． (1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点． 【答案】(1) 如图，线段即为所求作； (2) 证明：如图，延长线段、交于点，连接， ， ，， 、分别是边、上的高， 与交于E，且三角形的三条高所在直线交于一点， ， 又， 和在一条直线上，即点、、三点共线， 、、必相交于同一点． 【思路引导】本题考查了复杂作图——作垂线，三角形垂心，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）延长线段、交于点，连接，根据三角形的三条高交于一点，可得，再结合过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直，可得和在一条直线上，即可证明结论． 【对应练习2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1) 点即为所作； (2) 线段即为所作； 【思路引导】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【答案】D 【规范解答】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，再对应数轴表示即可． 【规范解答】解：∵三角形两边长分别为，， ∴第三边长x应满足， 即， 在数轴上表示为： 3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【规范解答】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【规范解答】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 5．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【思路引导】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 6．（26-27八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【思路引导】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【规范解答】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 7．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 【答案】 【思路引导】先根据和化简，得到与的关系式，再利用三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【规范解答】解：，， ， ， ， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，可得，代入已知条件得，整理得， 拆分为不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 验证： ， ，恒成立， 因此， 代入， 可得． 8．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【思路引导】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【规范解答】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 9．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【思路引导】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是边上的一点，，是的中点，交于点，，则________． 【答案】56 【思路引导】连接，设，利用三角形中线的性质求得，根据，求得，，再列式计算求得，据此求解即可． 【规范解答】解：连接，设， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 11．（26-27八年级上·全国·开学考试）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【思路引导】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【规范解答】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 12．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【思路引导】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【规范解答】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·吉林·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，过点A作边上的高； (2)在图②中的边上找到点E，连接，使得； (3)在图②中的边上找到点F，连接，使得． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)解：如图，即为所求； 【思路引导】（1）根据高的定义，借助网格构造直角即可； （2）借助网格寻找边的中点即可； （3）借助网格寻找边的三等分点即可． 【规范解答】（1）解：略； （2）解：如图，边（不含端点）经过的格点即为点E，连接，则，由图形可知和等底同高，所以； （3）解：如图，设网格中每个小正方形的边长为1，则，在上取,使，则，连接，由图形可知和同高，它们的底分别为，所以． 14．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【思路引导】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $