专题四 等腰三角形的性质和判定【（挑战压轴题）导图知识卡片+十五大考点讲练+思维拓展训练 共45题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦等腰三角形的性质和判定核心知识点，系统梳理三线合一、格点图作图等基础考点，延伸至等边三角形性质判定、含30度角直角三角形、斜边中线等进阶内容，最终通过旋转模型实现综合应用，构建从基础到复杂的学习支架。 资料以思维导图整合知识脉络，十五大考点均设典例精讲与对应练习，培养几何直观与推理能力。如格点图作图题提升空间观念，旋转模型题锻炼创新意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固提升、弥补知识盲点。

2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 等腰三角形的性质和判定 【思维导图+十五大考点讲练+思维拓展训练 共45题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】三线合— 2 【压轴考点02】格点图中画等腰三角形 3 【压轴考点03】找出图中的等腰三角形 7 【压轴考点04】根据等角对等边证明等腰三角形 12 【压轴考点05】根据等角对等边证明边相等 15 【压轴考点06】根据等角对等边求边长 18 【压轴考点07】等腰三角形的性质和判定 21 【压轴考点08】等边三角形的性质 26 【压轴考点09】等边三角形的判定 30 【压轴考点10】等边三角形的判定和性质 35 【压轴考点11】含30度角的直角三角形 38 【压轴考点12】斜边的中线等于斜边的—半 41 【压轴考点13】直角三角形的两个锐角互余 45 【压轴考点14】锐角互余的三角形是直角三角形 48 【压轴考点15】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 52 【压轴考点01】三线合— 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）已知底边及底边上的高线作等腰三角形．即：如图，已知线段，求作，使，，边上的高． 【答案】 【思路引导】利用等腰三角形三线合一，底边的高也是底边中线，先作底边，再作垂直平分线确定顶点位置．作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取，连接、，即为所求． 【对应练习】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的延长线交于点E．求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】 结合已知和所给图形，证明，得，根据三线合一得． 【规范解答】证明：略． 【压轴考点02】格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线及格点，连接． (1)画出线段关于直线的轴对称线段； (2)在直线上找一点，使的值最小； (3)若点在格点处，使为以为底的等腰三角形，这样的格点共有_____个． 【答案】(1) 如图所示，线段为所求． (2) 如图所示，点为所求． (3)5 【思路引导】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出、的对应点、，连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：由对称的性质得， 则， 此时，最小； （3）解：如图所示， 点共有5个． 故答案为：5． 【对应练习】（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1) 如图所示：点即为所求； (2) 如图所示：即为所求； (3) 如图所示：点即为所求. 【思路引导】（1）根据平移的性质画图即可； （2）根据全等三角形的判定及性质可得； （3）根据平行线的性质画图即可. 【规范解答】（1）解：∵点平移得到， ∴点经过同样的平移得到， ∴， （2）解：如图，∵由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图所示，连接，交于点， 则， ∵由上题可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【压轴考点03】找出图中的等腰三角形 【典例精讲】在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【思路引导】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 【对应练习】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”． (1)下列三角形中，不存在“完美分割线”的是 （只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③等腰直角三角形． (2)在中，，，．如图1，已知的一条完美分割线交边于点，且，请求出的长度； (3)如图2，在中，，，直接写出被“完美分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； (4)如图3，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作于，于．若射线为的“完美分割线”．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，，，或 (4) 【思路引导】（1）根据“完美分割线”的定义以及等腰直角三角形、顶角为的等腰三角形、等边三角形各自的特点即可直接得出答案； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长度； （3）分三种情况讨论：①当“完美分割线”经过点时；②当“完美分割线”经过点时；③当“完美分割线”经过点时；分别画出图形求解即可； （4）先证明，推出，在和中，由推出，，进而推出，即，由此可得结论． 【规范解答】（1）解：根据“完美分割线”的定义可知，等腰直角三角形、顶角为的等腰三角形存在“完美分割线”，等边三角形不存在“完美分割线”， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， 的长度为； （3）解：分三种情况讨论： ①当“完美分割线”经过点时， 如图， 当时，， 当时，， 当时，； ②当“完美分割线”经过点时， 如图， 当时，， 当时，； ③当“完美分割线”经过点时， 如图， 当时，； 综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：，，，或； （4）解：如图，过点作于点， ， 为边上的高， ， ， 不是等腰三角形， 为的“完美分割线”， 和中至少有一个是等腰三角形， 是等腰三角形，且， ， ， 于， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 即：， ， 的最大值为． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，主要考查了新定义的“完美分割线”的理解和运用，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，含度角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，解一元一次方程，线段中点的有关计算，不等式的性质，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形并运用分类讨论思想是解题的关键． 【压轴考点04】根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【思路引导】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 【对应练习】（25-26八年级上·广东清远·期末）如图1，在中，． (1)求证：； (2)如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 【答案】(1) 解：∵在中，， ∴； (2) ①证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，关键是利用角的关系推导线段相等，通过全等三角形实现线段转化． （1）直接利用“等角对等边”的判定定理，由证得； （2）①先根据等腰直角三角形的性质求出，结合角平分线和已知角相等得到，证明为等腰直角三角形得到，再通过等角的余角相等证明，得到，从而证得； ②先利用角平分线和等腰直角三角形的角证明得到，再由得到，结合角的等量关系证明得到，进而证得． 【压轴考点05】根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【思路引导】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【对应练习】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【思路引导】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【规范解答】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 【压轴考点06】根据等角对等边求边长 【典例精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【思路引导】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【对应练习】（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 【答案】 （1）证明：， ， ． ， ， ． 在和中， ； （2）；（3）56 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，利用证明三角形全等即可； （2）过点作，垂足为，借助（1）证明，得出，利用等角对等边得出等腰三角形，然后根据三线合一即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，借助（1）证明，得出相等的边，根据给出三角形的面积求出，表示出相关线段的长度，然后求出相关图形的面积即可． 【规范解答】解：（1）略 （2）如图1，过点作，垂足为． 同（1）得， ． ， ， ， ； （3）如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点． 同（1）得， ． ， 是等腰直角三角形， ． 的面积为20， ． ， ， ， ， ， ． 【压轴考点07】等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（25-26八年级上·北京东城·开学考试）如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． (1)请你依据题意，补全图形； (2)试判断线段与线段的位置关系，并证明； (3)若，求证：点是线段的中点． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)， 证明：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)证明：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【思路引导】（1）根据题意即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合平行线的判定证明即可； （3）根据角平分线以及平行线的性质证明，得到，进而证明，即可得证． 【对应练习】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【思路引导】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【规范解答】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 【压轴考点08】等边三角形的性质 【典例精讲】在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 【答案】(1)图中有2个等边三角形 (2)能，的周长为30 (3)能，的周长为45 【思路引导】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． （2）解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【思路引导】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 【压轴考点09】等边三角形的判定 【典例精讲】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【思路引导】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【规范解答】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 【对应练习】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________． 【答案】(1) 证明：在中，，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． (2)或； ①当点N在线段上，结论：，理由如下： 如图2所示：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下： 如图3，延长至H，使得， 由①得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与数量之间的关系为：或； (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质． （1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可； （3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∵， ∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长， ∴， ∴， ∴， 中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【压轴考点10】等边三角形的判定和性质 【典例精讲】若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【答案】(1)①证明：∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； (2)为等边三角形 (3) 【思路引导】（1）①由等边三角形的性质得到，则可利用证明；可证明，，则可证明，同理可证明； （2）由（1）得，，则，据此可证明为等边三角形； （3）可证明，得到． 【规范解答】（1）①略； ②解：∵， ∴， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：由（2）得为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【对应练习】如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)的值为或 (2)的值为5或20 【思路引导】（1）先由等边三角形性质得，结合动点速度写出，的线段表达式；分两种直角情况讨论，套用含直角三角形边长规律列一元一次方程，求解并验证符合范围； （2）按动点两段运动区间分类：第一段利用“有一个角、邻边相等可判定等边三角形”列方程求值；第二段分析端点重合的特殊情况算出，汇总所有符合条件的结果． 【规范解答】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点在线段上（不含端点）， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴当，且为直角三角形时，的值为或； （2）当时，即在线段上（不含端点）， ∵，，， ∴当时，为等边三角形， ∴， 解得， 当时，即在线段上（含端点）， ∵为等边三角形， ∴， ∵在线段上（含端点）且，， ∴点与点重合， ∴， 综上所述，当为等边三角形时，的值为5或20． 【压轴考点11】含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中所作角平分线上取一点，若，求点到的距离． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【思路引导】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线，于点，，再分别以点，为圆心，大于一半的长为半径画弧，在的内部交于点，作射线，则即为所求； （2）作交于点Q，根据30度角的性质作答即可． 【规范解答】（1）略； （2）解：如图，作交于点Q， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 【对应练习】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：为等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)如图，直线即为所求： (2)证明：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形 (3) 【思路引导】（1）分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径在线段两侧画弧，两组弧分别相交于两点，过这两个交点作直线，该直线就是边的垂直平分线，它与边交于点，与边交于点，与的延长线交于点； （2）由垂直平分得，结合直角三角形两锐角互余求出，依据有一个角为的等腰三角形是等边三角形即可证明； （3）连接，由垂直平分线性质得，推出平分，利用角平分线性质得，再推导得，在中由角性质得，最后由即可算出． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【压轴考点12】斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)可看成绕点D顺时针旋转得到 (2)解：，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是斜边上的高， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 【思路引导】（1）证明，即可得到结论； （2）证明， 即可得到结论． 【规范解答】（1）解：可看成绕点D顺时针旋转得到． 理由如下： ∵经过旋转到了的位置， ∴，． ∵为斜边上的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴绕点D顺时针旋转得到． 【对应练习】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点P，Q分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点与点重合时，求证：是的中点； (2)如图2，当点与点重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点的对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，若点也绕着点顺时针旋转某个角度后刚好落在边上的点，当点落在边时，连接，过作交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是的中点； (2) 如图，点即为所求； (3) 证明：取的中点，连接，如图： ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【思路引导】（1）旋转得到，进而求出，等角对等边，得到，同角的余角相等得到，得到，进而得到即可； （2）根据等边对等角，易得，得到点在边上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （3）取的中点，连接，根据旋转的性质，求出，证明，进而得到，进而得到，平行得到，斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角的性质，得到，等角对等边得到，进而得到，等量代换，得到，即可． 【压轴考点13】直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【思路引导】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【规范解答】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 【对应练习】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 【答案】(1) 证明：如图1， ， ， ，， ， ， ， 即平分； (2) 证明：如图2，延长、交于点， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在和中 ，，， ， ； (3)9 【思路引导】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对等边对等角得出相等的角，根据直角三角形的性质以及等量代换得出，即可得出结论； （2）延长、交于点，根据条件证明和，得出相等的边即可得出结论； （3）延长、交于点，设，，根据面积得出，，最后利用完全平方公式进行求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）证明：如图3，延长、交于点， 由（2）得：， ，， ， 设，， ，， ， （舍负）, 即． 【压轴考点14】锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与相互垂直，， 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； 【对应练习】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)4 (3)线段的长不会发生变化，且 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，结合， 证明，根据，可证即可证明是直角三角形； （2）根据，结合，证明是直角三角形；再利用直角三角形的性质解答即可； （3）设，则，过点P作交于点F，证明 是等边三角形，得，证明， 得到，结合，解答即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （3）解：线段的长不会发生变化，且，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 过点P作交于点F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故线段的长不会发生变化，且为． 【压轴考点15】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 在和中， ， ， 又 ，，， ； （2）证明：① ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ② ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【对应练习】（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 【答案】（1）；（2）固定不变；（3） 【思路引导】本题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四边形面积的最值问题，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明得到； （2）设与交于点，过作于，于，先证明得到，，再由，，得到，接着证明，得到，则平分，，即固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，，根据，得到当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，，即当时，四边形面积最大，据此求解即可． 【规范解答】解：（1）如图1，∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴， 故答案为：； （2）如图2，设与交于点，过作于，于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 即， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴ ∴的大小不随着的度数变化而变化，固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，， ∴，， ∴， ∴当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，， 即当时，四边形面积最大， ∵四边形面积的最大值为18， ∴，解得（负值舍去）， ∵， ∴． 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平行线的性质求出，得到，然后利用含30度角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【思路引导】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【规范解答】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 3．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据垂直的定义可知，根据同角的余角相等可得，证明，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系即可求出的度数． 【规范解答】解：，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 4．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【思路引导】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【规范解答】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 5．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【思路引导】①连接，利用等边对等角，即可证得：，；则，据此即可求解； ②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③首先证明，则，； ④证明且，即可证得是等边三角形； 【规范解答】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故④正确 ∴正确的结论有：①③④． 6．（26-27八年级上·广东·开学考试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【思路引导】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【规范解答】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．（26-27八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 【答案】 【思路引导】根据题意可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【规范解答】解：由题意得，， ∵，点D为边的中点， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【思路引导】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 9．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 【答案】 【思路引导】先证明，从而得到，再根据垂线段最短得到，点E为中点，求出的长，再根据等边三角形求出的长，从而求得m． 【规范解答】解：为等边三角形， ， ， ， 和为等边三角形，， ， ， ， ， 当时，最短， 此时点E是中点， ， ， ． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【思路引导】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【规范解答】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．求证：． 【答案】证明： ， ， 又 是线段的垂直平分线， ， ， ． 【思路引导】先根据余角定义可得出，再根据垂直平分线的定义可得出，然后根据等边对等角可求出，最后根据角的和差即可得出答案． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 【答案】证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 添加：，可使成为等边三角形（答案不唯一） 【思路引导】根据平行线的性质得出，结合已知得出，然后根据等角对等边即可得证；根据等边三角形的判定补充添加即可. 【规范解答】证明：略； 添加， ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 13．如图，于点，于点，是上一点，且，，则： (1)与全等吗？说明理由； (2)是不是等腰直角三角形？说明理由； (3)若，为中点，求的长度． 【答案】(1)解：，理由如下， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴； (2)解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3)． 【思路引导】由垂直定义可得，然后通过“”证明全等即可； 由，，则有，所以，又，所以，从而得证； 由得是等腰直角三角形，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）略； （2）略； （3）解：由得是等腰直角三角形， ∵为中点， ∴． 14．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； (2)证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； (3)4 【思路引导】（1）如图，作于E，延长线于F，证明，再进一步证明即可； （2）如图，连接，证明，，进一步可得，可得； （3）过点K作于M，于N，证明，可得，，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图1，已知为等边三角形，取的边，中点，，连接，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转角，其中． (1)如图2，当时， ①与交于点，求的度数； ②连接，，求证：． (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接，会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分． 【答案】(1)①； ②证明：和分别为等边三角形， ，， 由旋转知：， ， ． (2)证明：如图，过点分别作于点，于点， 和分别为等边三角形， ，， 由旋转知：， ， ，， ， ， 平分． 【思路引导】（1）①由旋转可得，再根据等边三角形性质求出，即可求出结论；②证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，过点分别作于点，于点，得出，即可证明结论； 【规范解答】（1）①解：如图， 由旋转可得，， 是等边三角形， ， ． ②略 （2）略 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四等腰三角形的性质和判定 【思维导图+十五大考点讲练+思维拓展训练共45题〔原卷版)】 目录 【压轴考向一等腰三角形的作图问题与证明】 【压轴考点01】三线合一★★★ .2 5 【压轴考点02】格点图中画等腰三角形★★★ .3 二【压轴考点3】找出图中的等腰三角形★★女 ..4 二【压辅考点O4】根据等角对等边正明等腰三角形★★★★ .6 ,【压轴考点05】根据等角对等边证明边相等★★★ .7 ,【压轴考点06】根据等角对等边求边长★★★ 0…8 【压轴考向二等腰三角形的性质和判定】 【压轴考点O7】等腰三角形的性质和判定★食★★ .9 【压轴考点08】等边三角形的性质★★★.10 【压轴考点09】等边三角形的判定食★★」 .11 5 【压轴考点10】等边三角形的判定和性质★★★★ .13 。 【压轴考点11】含30度角的直角三角形★★★★ .14 【压轴考向三等腰三角形的解题模型】 【压轴考点12】斜边的中线等于斜边的一半★★★★ .15 【压轴考点13】直角三角形的两个锐角互余★★★ …16 二【压轴考点14】锐角互余的三角形是直角三角形★★★ .17 第1页共26页 怎【乐轴考点15】旋转模型（全等三角形的辅助线问思）★女★★ 19 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 【专题复习思维导图指引】 八年级上册苏科版数学 挑战压轴题专题03《线段的垂直平分线与角平分线》思维导图 一、线段垂直平分线的性质 三、性质定理的应用 定义直平分一条线的直线，叫隙这条线段的 1.列康点的位 直平分线 ·若PA=P阳，则点P在线段AB的垂直学分线上 2性质定 。若PD=5(点P在∠AOB内》： 缓段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。] 则点P在∠A0B的平分线上 几喜：（是线段AB纳直平分线。P是上任息一点。 2.解决三角形中的问 六PPB 3,判定定理■ (1)求线授垂直平分线 (2》求角平分线 列战段两端距需相的点在这条线段的亚直平分线上， 线段的垂直平分线 在三角中，若已知P一Pg 在三角中，若已细PD=PE 几何语春发在AB的睡直平分线上 则点P查线经AB的面直平分线 且PD L AB,PE⊥AC 与角平分线 4皮用学例 或等围三角用 求梗设速直单分线 证明点在线段垂直甲分线上 精德精作线酸的直平 0 3,解决四边形中的间题 二、角平分线的性质 年常用作图与方法 四、压轴题考点技巧 1是义 作角平分线： 以点O为圆心.任意餐为平径燕翼.。交OA,OB于C,D 1,构迹技巧 分解以C,D为据心，大于号CD的长为平轻雨画，两重在 2性定 ∠AOB内空于点P:作射性O.OP即为∠AOB的平分线 2常见罐略线 分线上的点身西边的声相等 0← 区皮的大修香动面我等销直有这个的牛分乙 少品合性定理与判定建先或证明计算 经睡直平分 五，知识总结 角平分线 4易错摄醒 ,注意“角的内第的条件，判老定理申点必须在角的内部 【压轴考向一等腰三角形的作图问题与证明】 【压轴考点01】三线合一★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)已知底边及底边上的高线作等腰三角形.即：如图， 己知线段a、,求作△ABC,使AB=AC,BC=Q,边BC上的高AD=, h 第2页共26页 【对应练习】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC,DB=DC,AD的延长线交 BC于点E.求证：∠BAE=∠CAE,BE=CE. 【压轴考点02】格点图中画等腰三角形★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·河北石家庄·期末)如图，在14×6的网格中，每个小正方形的边长都 为1.网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.已知直线及格点A,B,连接AB. (1)画出线段AB关于直线的轴对称线段A'B′： (2)在直线上找一点P,使PA+PB的值最小： (3)若点C在格点处，使△ABC为以AB为底的等腰三角形，这样的格点C共有个 第3页共26页 【对应练习】（25-26八年级上·山西运城·期末)图1、图2和图3均是8×7的网格，每个小正方形的 顶点称为格点，小正方形的边长均为1.线段AB的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的 网格中分别按下列要求画图： 图1 图2 图3 (1)在图1中找一个格点P,连接CP,使得CP II AB; (2)在图2中找一个格点Q,连接AQ,BQ,使得△ABQ是等腰直角三角形；（找到一个点Q即可） (3)如图3，在线段AB上找一点D,使得∠ADC=45°（保留适当的画图痕迹，不写画法）· 【压轴考点03】找出图中的等腰三角形★★★ 【典例精讲】在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过O点作DE,使DE∥BC. D (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段DE与线段BD,CE之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 第4页共26页 【对应练习】(24-25九年级上·江苏准安·期中)定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将 三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”. (图1) (图2) (图3) (1)下列三角形中，不存在“完美分割线”的是一（只填写序号）· ①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形：③等腰直角三角形 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6.如图1，已知△ABC的一条完美分割线BP交AC边于点P, 且PB=PA,请求出CP的长度； (3)如图2，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，直接写出△ABC被“完美分割线”分得到的等腰三角形 项角的度数； (4)如图3，△ABC中，∠A=30°，CD为AB边上的高，BD=5,E为AD的中点，过点E作直线交AC于点F, 作CMIl于M,DN1l于N.若射线CD为△ABC的“完美分割线”.求CM+DN的最大值， 第5页共26页 【压轴考点04】根据等角对等边证明等腰三角形★★★★ 【典例精讲】如图，把一个长方形的纸片ABCD沿对角线折叠（长方形ABCD中，ABI‖CD且AB=CD,AD II BC 且AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90),重合部分为△FBD. H A D B B (1)求证：△FBD是等腰三角形： (2)若AF=2,∠ABE=30°，求DF的长. 【对应练习】(25-26八年级上·广东清远·期末)如图1，在△ABC中，∠B=∠C. 图1 图2 图3 (1)求证：AB=AC; (2)如图2，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB,点D是平面内一个动点，连接AD,且∠ABD=∠BAD,过点A 作射线AE L AD,与射线BD交于点E,射线BD交AC于点F. ①当BD平分∠ABC,求证：DF=AE: ②如图3，延长AD交BC于点G,作∠BAC的角平分线交BE于H,连接CE,连接GE,当∠AGE=∠AEG,判 断AH与CE的关系，并证明. 第6页共26页 【压轴考点05】根据等角对等边证明边相等★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·辽宁大连·期末)如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E,AD= BC,∠DAB=∠CBA. (1)求证：△ABC≌△BAD: (2)求证：EA=EB. 【对应练习】(25-26八年级上·山西吕梁·期末)综合与探究 问题情境：在等边三角形ABC中，E是折线B一A一C上的动点，D为射线BC上任意一点，且ED=EB. D C ① ② (③) 备用图 (1)初步探究：如图①，当动点E在边BA上时，连接CE,AD,求证：△AED兰△CDE: (2)如图②，当动点E是边AC的中点时，则AE CD(选填“>”，“=”或“<”）； (3)深入探究：如图③，当动点E在边AC上时，求证：AE=CD. (4)连接AD,若AB=12cm,△BAD是直角三角形，直接写出AE的长. 第7页共26页 【压轴考点06】根据等角对等边求边长★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交CB 于点D,DE⊥AB于点E,CE与AD相交于点F B D (1)若∠B=30°，BD=6,求CD的长： (2)求证：AD所在直线是线段CE的垂直平分线. 【对应练习】(25-26八年级上·河南商丘·期末)【问题背景】(1)如图1，直线经过点C,∠ACB=90°， AC=BC,过点A,B分别向直线U作垂线，垂足分别为D,E,求证：△ADC兰△CEB 【问题探究】(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB= DE,∠A=∠ADE.若AD=10,求BC的长， 【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ACB=90°，AC=BC,∠ADC=45°，CD=10,△BCD 的面积为20，请直接写出四边形ABCD的面积. B D B C D 图1 图2 图3 第8页共26页 【压轴考向二等腰三角形的性质和判定】 【压轴考点07】等腰三角形的性质和判定★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·北京东城·开学考试)如图，∠A=90°，AB=AC,BD1AB,延长BC 到E,使CE=BC,延长DC到F,使CF=DC,连接EF,作∠ACE的平分线，交AF于点H,延长BA、EF交于 点M,延长CH交ME于点G. (1)请你依据题意，补全图形： (2)试判断线段EF与线段AB的位置关系，并证明： (3)若BC=AB+BD,求证：点H是线段AF的中点， 【对应练习】(25-26八年级上·辽宁大连·期末)在△ABC中，∠ABC=2∠ACB=2au,AD是高，E是BC 上一点 B 图1 图2 (1)如图1，若AE平分∠BAC, ①求∠DAE的度数；（用含a的式子表示） ②求证：AC=CE+2DE. ②如图2，当a-15”,CA5=45时，若点F在射线BA上，且CF-CR,求的值。 第9页共26页 【压轴考点08】等边三角形的性质★★★ 【典例精讲】在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过O点作DE,使DE∥BC, 且∠DB0=30°. (1)图中有几个等边三角形？ (2)若BD=5,你能求出△ADE的周长吗？ (3)你还能求出△ABC的周长吗？ 【对应练习】(25-26七年级下·广东茂名·期末)【模型构建】 如图①，两个等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点A为公共顶点，连接BD, CE.可探究BD和CE的数量关系. 图① 图② 图③ (1)求证：△ABD兰△ACE 【深入探究】 第10页共26页 (2)如图②，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，判断BD、EC的数量关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，点M为BC的中点，以BC为边在下方构造等边△BCD,连接AM、AD、 MD.已知点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，求AM的值. 【压轴考点09】等边三角形的判定★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·山东济南·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC 于点G,且AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠BDE=∠ADF, (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)若AB=AC=11,CF=8,求BE的长. 第11页共26页 【对应练习】(25-26八年级上·江苏南通·阶段检测)在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，E是线段 AB的中点， E B A 公 G 图1 图2 图3 (1)如图1，连接EC,求证：△CBE是等边三角形： (2)若BD是△ABC的角平分线，点N是线段AC上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG 交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，AB=4.2,点N为直线AC上的一动点，连接BN,在BN下方作等边△BGN,则CG的最小值为 第12页共26页 【压轴考点10】等边三角形的判定和性质★★★★ 【典例精讲】若△EDC在△ABC的外部，如图△ABC和△EDC都为等边三角形，点B、CD在同一直线上， (1)①证明△ACD兰△BCE; ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接MN,试判断△MNC的形状. (3)MN与BD在位置上有什么关系？ 【对应练习】如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20cm,动点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿三角形 的边匀速运动.己知点P,点Q的速度都是2Cm/s当点P第一次到达B点时，P,Q两点同时停止运动.设点P 的运动时间为t(s). A ←-Q B (1)当0<t<10,且△APQ为直角三角形时，求t的值； (2)当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值. 第13页共26页 【压轴考点11】含30度角的直角三角形★★★★ 【典例精讲】(24-25八年级上·河北邢台·期末)如图，∠40B=60. B (1)用无刻度的直尺和圆规作∠AOB的平分线：（保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)中所作角平分线上取一点P,若0P=4cm,求点P到0B的距离. 【对应练习】(25-26八年级上·广东广州·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请解决 以下问题： B (1)作出边AB的垂直平分线，分别交边AB、AC于点E、F,交BC的延长线于点D:(尺规作图，不写画法， 保留作图痕迹) (2)连接AD,求证：△ABD为等边三角形： (3)若CF=1,求DE的长. 第14页共26页 【压轴考向三等腰三角形的解题模型】 【压轴考点12】斜边的中线等于斜边的一半★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·四川达州·阶段检测)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AD为斜边 上的高，点E、F分别在AB、AC上，△AED经过旋转到了△CDF的位置. D (1)△BED和△AFD之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)AD与EF相交于点G,试判断∠AED与∠AGF的大小关系，并说明理由. 第15页共26页 【对应练习】(25-26八年级上江苏泰州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=a(0°<a<45) 点P,Q分别在射线AC,AB上，将线段PQ绕点P顺时针旋转180°-2a得到线段PD. B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D与点C重合时，求证：Q是AB的中点； (2)如图2，当点Q与点A重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点Q的对应点D的位置（保留作图痕迹， 不写作法)； (3)如图3，若A点也绕着P点顺时针旋转某个角度后刚好落在AB边上的M点，当点D落在BC边时，连接DM, 过D作DE∥AC交AB于点E,求证：BE=2AQ 【压轴考点13】直角三角形的两个锐角互余★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·河北保定·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E,交AC于点F,再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧， 两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P,画射线AP与BC相交于点D,CD=3,下列结论正确 的是( D E B A.AC=BD B.∠∠ADC=64° C.∠CAD=∠B D.B到AD的距离是3 第16页共26页 【对应练习】(25-26八年级下·全国·单元复习)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D, 点F在AC上，连接BF与CD交于点G,且CF=CG,过点A作AE 1 BF与BF的延长线交于点E. B 图1 图2 (1)求证：BE平分∠ABC; (2)如图2，若AC=BC,求证：BF=2AE: (3)如图1，若△ABE的面积为5，AB-AC=1,求AB+AC的值. 【压轴考点14】锐角互余的三角形是直角三角形★★★ 【典例精讲】(23-24八年级上山东泰安期末)如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB= DAE=90,AB=AC,AD=AE. 图① 图② (1)如图①所示，延长BD交CE于点R,求∠BFC的度数； (2)将△ADE绕点A旋转a(0°<a<90)如图②所示位置摆放，连接BD,CE,且BD与CE交于点F,请判断BD 与CE之间位置与数量关系，并说明理由. 第17页共26页 【对应练习】(25-26八年级上·江苏苏州·期中)如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是AC边上一 动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向 运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D. -0B (1)当∠BQD=30时，证明：△APD是直角三角形： (2)若QB=BD,AE=1,则AD=; (3)在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由. 第18页共26页 【压轴考点15】旋转模型（全等三角形的辅助线问题）★★★★ 【典例精讲】(24-25八年级上·山东德州·期中)已知在△ABC中，AC=BC,在△DEC中.DC=EC, ∠ACB=∠DCE=Q,点A、D、E在同一条直线上，AE与BC相交于点F,连接BE. E E D B 图1 图2 (1)如图1，当a=40时，求∠AEB的度数； (2)如图2，当a=90时，完成下列问题： ①判断AD与BE的关系； ②若∠CAF=∠BAF,BE=3,求线段AF的长. 第19页共26页 【对应练习】(25-26八年级上·四川南充·期末)【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接BE,CD.同学们发现以 下结论：BE与CD的数量关系是_· 【变式思考】 (2)如图2，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°.BE与CD交于点F,请你在(1) 的启发下猜想并验证：判断∠AFB的大小是否随着∠BAC的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果 不变化，请求出它的度数. 【拓展运用】 (3)如图2，在(2)的条件下，若AB=2,四边形DBCE面积的最大值为18，求AC的长. D B 图1 图2 第20页共26页 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(25-26八年级上·辽宁大连·期末)将含30°角的直角三角尺ACD和直尺按如图所示的方式放置，若∠α= 30°，点A,B表示的刻度分别为0cm,2.9cm,则CD的长为( ) A B 0 3 D A.1.45cm B.2.9cm C.4.35cm D.5.8cm 2.(26-27八年级上·江苏南京·开学考试)如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直 平分线EF分别交AB、AC于点R、R.若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的 最小值是( ) A.11 B.12 C.13 D.14 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,∠CAD=25°， 则∠ABE的度数为( ) A E A.35° B.30° C.25° D.20° 4.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且AC、E三点共线，AD与BE交于点O,AD与BC交于点 P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下六个结论：①AD=BE:②∠AOE=120°；③DE=DP;④OA=OB+OC; ⑤△PCQ是等边三角形；⑥0C平分∠BCD.其中正确的结论有( 第21页共26页 A.①②④⑤ B.①②⑤⑥ C.③④⑤⑥ D.①②④⑥ 5.已知如图等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点，点O是线 段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①∠AP0+∠DC0=30°；②∠AP0=∠DCO:③AB=A0+AP: ④△OPC是等边三角形.其中正确的是( D A.①③④ B.①②③ C.②④ D.①④ 6.(26-27八年级上·广东·开学考试)如图，AB=AC,∠BAC=90°，BE1AD于点E,CD1AD于点D.若 BE=8,CD=3,则DE的长是 7.(26-27八年级上·江苏无锡·开学考试)如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部件 的尺寸.己知∠ACB=90,点D为边AB的中点，点A,B对应的刻度分别为2,8，则CD的长为一 A/ AD B 中中 0123456789 8.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，△ABC中，OD,OE分别是AB、BC边上的垂直平分线， 0D、OE相交于点0，连接0A、OB、OC,己知∠0AB=15,∠ABC=40°，则∠OCB的度数为°· 第22页共26页 E C 9.(26-27八年级上·全国·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=3,点P是BC上一动点，BP=m, PD I AC,交AB于点D,连接CD.过点P作PE II AB交AC于E,连接BE,交CD于F当BE+CD的值最小时， m的值为一· D B 10.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点E是BC边上的 点，过点B作BF1AE交AE的延长线于点F,延长FB至点G,使得FG=AF,连接CG交AF于点H,若AF=6 BF=2,则△ACH的面积为 C B E 11.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平 分线，交AB于点D,交AC于点E.求证：∠EBC=18°. E D 第23页共26页 12.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，∠A=∠B,CE∥DA.求证：CE=CB.需再增加什么条 件，可使△BCE成为等边三角形？ A E D B 13.如图，AB1BD于点B,CD1BD于点D,P是BD上一点，且BP=CD,∠1=∠2，则： E 2 A D D (1)Rt△ABP与Rt△PDC全等吗？说明理由； (2)△APC是不是等腰直角三角形？说明理由： (3)若AC=10,E为AC中点，求PE的长度. 第24页共26页 14.在四边形ABCD中，AC为对角线，∠ABC+∠ADC=180°，CB=CD. B B B G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC平分∠BAD: (2)如图2，点G在CD上，点F在BC上，连接BG、DF,BG交DF于点E,∠BFD=∠BGC,且AD=DE,求 证：BA=BE: (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD交AC于点K,S△BED=3S△ADK,DE=2,求AB的长. 第25页共26页 15.(25-26八年级下·内蒙古包头·期末)如图1，已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB,BC中 点D,E,连接DE,易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转角∠ABD=a,其中0<《< 180°. 图1 图2 图3 (1)如图2，当a=29时， ①BC与DE交于点O,求∠COE的度数； ②连接AD,CE,求证：AD=CE, (2)在△DBE旋转过程中，当a超过一定角度时，如图3，连接AD,CE会交于一点，记交点为点F,AD交BC 于点P,CE交BD于点Q,连接BF,求证：FB平分∠AFE. 第26页共26页null 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 等腰三角形的性质和判定 【思维导图+十五大考点讲练+思维拓展训练 共45题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】三线合— 2 【压轴考点02】格点图中画等腰三角形 3 【压轴考点03】找出图中的等腰三角形 4 【压轴考点04】根据等角对等边证明等腰三角形 6 【压轴考点05】根据等角对等边证明边相等 7 【压轴考点06】根据等角对等边求边长 8 【压轴考点07】等腰三角形的性质和判定 9 【压轴考点08】等边三角形的性质 10 【压轴考点09】等边三角形的判定 11 【压轴考点10】等边三角形的判定和性质 13 【压轴考点11】含30度角的直角三角形 14 【压轴考点12】斜边的中线等于斜边的—半 15 【压轴考点13】直角三角形的两个锐角互余 16 【压轴考点14】锐角互余的三角形是直角三角形 17 【压轴考点15】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 19 【压轴考点01】三线合— 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）已知底边及底边上的高线作等腰三角形．即：如图，已知线段，求作，使，，边上的高． 【对应练习】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的延长线交于点E．求证：． 【压轴考点02】格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线及格点，连接． (1)画出线段关于直线的轴对称线段； (2)在直线上找一点，使的值最小； (3)若点在格点处，使为以为底的等腰三角形，这样的格点共有_____个． 【对应练习】（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 【压轴考点03】找出图中的等腰三角形 【典例精讲】在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【对应练习】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”． (1)下列三角形中，不存在“完美分割线”的是 （只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③等腰直角三角形． (2)在中，，，．如图1，已知的一条完美分割线交边于点，且，请求出的长度； (3)如图2，在中，，，直接写出被“完美分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； (4)如图3，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作于，于．若射线为的“完美分割线”．求的最大值． 【压轴考点04】根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【对应练习】（25-26八年级上·广东清远·期末）如图1，在中，． (1)求证：； (2)如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 【压轴考点05】根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【对应练习】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【压轴考点06】根据等角对等边求边长 【典例精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【对应练习】（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 【压轴考点07】等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（25-26八年级上·北京东城·开学考试）如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． (1)请你依据题意，补全图形； (2)试判断线段与线段的位置关系，并证明； (3)若，求证：点是线段的中点． 【对应练习】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【压轴考点08】等边三角形的性质 【典例精讲】在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 【对应练习】（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【压轴考点09】等边三角形的判定 【典例精讲】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【对应练习】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________． 【压轴考点10】等边三角形的判定和性质 【典例精讲】若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【对应练习】如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 【压轴考点11】含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中所作角平分线上取一点，若，求点到的距离． 【对应练习】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：为等边三角形； (3)若，求的长． 【压轴考点12】斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【对应练习】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点P，Q分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点与点重合时，求证：是的中点； (2)如图2，当点与点重合时，请只使用圆规一次，在图2中画出点的对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，若点也绕着点顺时针旋转某个角度后刚好落在边上的点，当点落在边时，连接，过作交于点，求证：． 【压轴考点13】直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【对应练习】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 【压轴考点14】锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【对应练习】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【压轴考点15】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【对应练习】（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 5．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 6．（26-27八年级上·广东·开学考试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 7．（26-27八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 9．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．求证：． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 13．如图，于点，于点，是上一点，且，，则： (1)与全等吗？说明理由； (2)是不是等腰直角三角形？说明理由； (3)若，为中点，求的长度． 14．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 15．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图1，已知为等边三角形，取的边，中点，，连接，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转角，其中． (1)如图2，当时， ①与交于点，求的度数； ②连接，，求证：． (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接，会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null