2.2 立方根 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦“立方根”核心知识点，系统梳理立方根的定义（若x³=a，则x为a的立方根）、性质（任意数有唯一立方根，正数、0、负数的立方根特点）及开立方运算，通过对比平方根性质（正数两平方根、0的平方根、负数无平方根）搭建学习支架，衔接前序知识。 该资料亮点在于通过定义与性质的辨析培养抽象能力，典例及变式题（如已知平方根求参数、立方根与平方根综合应用）发展推理意识与模型意识。课中辅助教师系统教学，课后过关验收题（如正方体体积与棱长关系）帮助学生巩固应用，查漏补缺。

2.2 立方根 内 容 导 航 题型1 立方根 考 点 演 练 题型1 立方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【典例1】求下列各式中x的值： （1）； （2）3（x﹣4）3＝﹣81． 【变式1】求下列各式x的值． （1）4x2﹣25＝0； （2）27（x﹣2）3﹣8＝0． 【变式2】某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2． （1）求a，b的值； （2）求2a﹣b的算术平方根． 【变式3】已知3a+b的平方根是±3，2a﹣b的立方根是1． （1）求a、b的值； （2）求6a﹣b的平方根． 过 关 验 收 1．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 2．下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．2的算术平方根是4 C．0没有平方根 D．27的立方根是3 3．下列说法错误的是（　　） A．（﹣1）3的立方根是﹣1 B．5是25的算术平方根 C．（﹣3）2的平方根是±3 D．的平方根是±4 4．已知0.5981，1.289，2.776，则（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 5．一个数的立方等于它本身，则这个数是（　　） A．0，1 B．±1 C．﹣1，0 D．0，±1 6．下列各式中计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤0.008的立方根是0.2，其中正确的有（　　） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤ 8．下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．下列说法不正确的是（　　） A．0的算术平方根是0 B．±±2 C．25的平方根是±5 D．9的立方根是3 10．下列算式中，正确的是（　　） A． B．±3 C． D．1 11．下列说法正确的是（　　） A．﹣27的立方根是3 B．±4 C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2 12．下列说法中错误的是（　　） A．10的平方根是 B．负数和零没有立方根 C．16的算术平方根是4 D．0.008的立方根是0.2 13．下列说法正确的是（　　） A．是5的平方根 B．﹣2的平方根是±2 C．±4 D．±3 14．给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是±3．其中，正确的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 15．如果一个数的立方根是它本身，那么这个数是（　　） A．1、0 B．﹣1 C．0 D．1、﹣1、0 16．下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是3 B．0的算术平方根是0 C．﹣16的平方根是﹣4 D．0.1的立方根是0.001 17．若一个数的立方根是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 18．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 19．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（　　） A．2 B． C．±2 D． 20．下列说法中正确的是（　　） A．±4 B．0.09的平方根是0.3 C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0 21．有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 22．下列说法中正确的是（　　） A．64的立方根是±4 B．﹣64没有立方根 C．﹣8是64的平方根 D．的平方根是±8 23．﹣8的立方根是 　 　 ． 24．已知a，b为实数，且，则的值为　 　 ． 25．体积为9的正方体，其棱长等于　 　 ． 26．化简：　 　 ，　 　 ． 27．5的平方根是　 　 ，27的立方根是　 　． 28．的立方根是　 　． 29．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 　 　 ． 30．已知一个正数的平方根分别是a+2和2a﹣5，b﹣3的立方根为﹣2． （1）求出a，b的值； （2）求4a﹣b的平方根和9a+b的立方根． 31．已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣6和a+2，3﹣b的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求3a+2b的平方根． 32．已知3a﹣5的平方根是±2，a﹣2b﹣7的立方根是﹣2． （1）求a，b的值． （2）求2ab+15的立方根． 33．求下列各式中的x （1）4x2＝121 （2）（x+2）3＝125． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 立方根 内 容 导 航 题型1 立方根 考 点 演 练 题型1 立方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【典例1】求下列各式中x的值： （1）； （2）3（x﹣4）3＝﹣81． 【答案】（1）； （2）x＝1． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵3（x﹣4）3＝﹣81， ∴（x﹣4）3＝﹣27， ∴x﹣4＝﹣3， ∴x＝1． 【变式1】求下列各式x的值． （1）4x2﹣25＝0； （2）27（x﹣2）3﹣8＝0． 【答案】（1）x＝±；（2）x． 【解答】解：（1）原方程可变形为：4x2＝25， x2， ∴x＝±； （2）原方程可变形为：（x﹣2）3， ∴x﹣2， ∴x． 【变式2】某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2． （1）求a，b的值； （2）求2a﹣b的算术平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2， ∴a+3+2a﹣15＝0，b＝（﹣2）3＝﹣8， 解得，a＝4，b＝﹣8； （2）∵a＝4，b＝﹣8， ∴2a﹣b＝2×4﹣（﹣8）＝16， ∵16的算术平方根是4， ∴2a﹣b的算术平方根是4． 【变式3】已知3a+b的平方根是±3，2a﹣b的立方根是1． （1）求a、b的值； （2）求6a﹣b的平方根． 【答案】（1）a＝2，b＝3； （2）6a﹣b的平方根为±3． 【解答】解：（1）∵3a+b的平方根是±3，2a﹣b的立方根是1， ∴3a+b＝9，2a﹣b＝1， ∴a＝2，b＝3； （2）由（1）可知，a＝2，b＝3， ∴6a﹣b＝6×2﹣3＝9， ∴6a﹣b的平方根为±3． 过 关 验 收 1．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【答案】A 【解答】解：设原正方体的棱长为a， ∴原正方体的体积为a3， 又∵变化后的正方体的体积扩大到原来的9倍， ∴变化后的正方体的体积为9a3， ∴变化后正方体的棱长为a， ∴它的棱长扩大到原来的倍， 故选：A． 2．下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．2的算术平方根是4 C．0没有平方根 D．27的立方根是3 【答案】D 【解答】解：A、4的平方根是±2，故A不符合题意； B、2的算术平方根是，故B不符合题意； C、0的平方根为0，故C不符合题意； D、27的立方根是3，故D符合题意； 故选：D． 3．下列说法错误的是（　　） A．（﹣1）3的立方根是﹣1 B．5是25的算术平方根 C．（﹣3）2的平方根是±3 D．的平方根是±4 【答案】D 【解答】解：A、计算（﹣1）3＝﹣1，根据立方根的定义，﹣1的立方根是﹣1，选项说法正确，不符合题意； B、算术平方根是非负数，因52＝25且5≥0，故5是25的算术平方根，选项说法正确，不符合题意； C、计算（﹣3）2＝9，根据平方根的定义，因此9的平方根是±3，选项说法正确，不符合题意； D、先求，再求4的平方根应为±2，而非±4，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 4．已知0.5981，1.289，2.776，则（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】A 【解答】解：102.776×10＝27.76． 故选：A． 5．一个数的立方等于它本身，则这个数是（　　） A．0，1 B．±1 C．﹣1，0 D．0，±1 【答案】D 【解答】解：由立方根的定义可得：03＝0，13＝1，（﹣1）3＝﹣1， ∴0或±1的立方等于它本身， 故选：D． 6．下列各式中计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、4，原计算错误，故此选项不符合题意； B、2，原计算正确，故此选项符合题意； C、6，原计算错误，故此选项不符合题意； D、5，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 7．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤0.008的立方根是0.2，其中正确的有（　　） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤ 【答案】A 【解答】解：①10的平方根是，正确，符合题意； ②负数和零有立方根，原说法错误，不符合题意； ③的相反数是，正确，符合题意； ④16的算术平方根是4，正确，符合题意； ⑤0.008的立方根是0.2，正确，符合题意； 故选：A． 8．下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①非负数有平方根，原说法“任何数都有平方根”错误； ②8，2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④（﹣4）3的立方根是﹣4，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C． 9．下列说法不正确的是（　　） A．0的算术平方根是0 B．±±2 C．25的平方根是±5 D．9的立方根是3 【答案】D 【解答】解：A、0的算术平方根是0，故此选项不符合题意； B、±±2，故此选项不符合题意； C、25的平方根是±5，故此选项不符合题意； D、9的立方根是，故此选项符合题意； 故选：D． 10．下列算式中，正确的是（　　） A． B．±3 C． D．1 【答案】D 【解答】解：A．±±5，因此选项A不符合题意； B.3，因此选项B不符合题意； C.2，因此选项C不符合题意； D.1，因此选项D符合题意． 故选：D． 11．下列说法正确的是（　　） A．﹣27的立方根是3 B．±4 C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2 【答案】D 【解答】解：A、﹣27的立方根是﹣3，故此选项不符合题意； B、4，故此选项不符合题意； C、1的平方根是±1，故此选项不符合题意； D、4的算术平方根是2，故此选项符合题意； 故选：D． 12．下列说法中错误的是（　　） A．10的平方根是 B．负数和零没有立方根 C．16的算术平方根是4 D．0.008的立方根是0.2 【答案】B 【解答】解：A．10的平方根是，故此选项不符合题意； B．负数的立方根是负数，零的立方根是0，即负数和零有立方根，故此选项符合题意； C．16的算术平方根是4，故此选项不符合题意； D．0.008的立方根是0.2，此该选项不符合题意； 故选：B． 13．下列说法正确的是（　　） A．是5的平方根 B．﹣2的平方根是±2 C．±4 D．±3 【答案】A 【解答】解：A，∵5的平方根是±，∴正确， B∵负数没有平方根，∴B错误， C∵4，∴C错误， D∵3∴D错误． 故选：A． 14．给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是±3．其中，正确的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【解答】解：①0和正数都有平方根，原说法错误，不符合题意； ②2是4的一个平方根，正确，符合题意； ③平方根等于它本身的数只有0，正确，符合题意； ④27的立方根是3，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 15．如果一个数的立方根是它本身，那么这个数是（　　） A．1、0 B．﹣1 C．0 D．1、﹣1、0 【答案】D 【解答】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0， ∴﹣1的立方根是﹣1，1的立方根是1，0的立方根是0， 即立方根等于本身的数有﹣1，1，0． 故选：D． 16．下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是3 B．0的算术平方根是0 C．﹣16的平方根是﹣4 D．0.1的立方根是0.001 【答案】B 【解答】解：A、，3的算术平方根是，原说法错误，故本选项不符合题意； B、0的算术平方根是0，原说法是正确的，故本选项符合题意； C、负数没有平方根，原说法错误，故本选项不符合题意； D、0.001的立方根是0.1，原说法错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 17．若一个数的立方根是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：这个数是， 故选：C． 18．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、原式＝2，不符合题意； B、原式＝±3，不符合题意； C、原式＝±3，符合题意； D、原式＝|﹣6|＝6，不符合题意． 故选：C． 19．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（　　） A．2 B． C．±2 D． 【答案】B 【解答】解：∵64的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为，是无理数， 则输出， ∴y的值是． 故选：B． 20．下列说法中正确的是（　　） A．±4 B．0.09的平方根是0.3 C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0 【答案】D 【解答】解：A选项，4，故该选项不符合题意； B选项，0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意； C选项，1的立方根是1，故该选项不符合题意； D选项，0的立方根是0，故该选项符合题意； 故选：D． 21．有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 【答案】D 【解答】解：∵， ∴x﹣1＝±1或x﹣1＝0， 当x﹣1＝1时，x＝2； 当x﹣1＝﹣1时，x＝0； 当x﹣1＝0时，x＝1； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对． 故选：D． 22．下列说法中正确的是（　　） A．64的立方根是±4 B．﹣64没有立方根 C．﹣8是64的平方根 D．的平方根是±8 【答案】C 【解答】解：A．64的立方根是4，原说法错误，不符合题意； B．﹣64 的立方根是﹣4，原说法错误，不符合题意； C．﹣8 是64的平方根，说法正确，不符合题意； D． 的平方根是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 23．﹣8的立方根是 　 　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2． 24．已知a，b为实数，且，则的值为　 　 ． 【答案】7． 【解答】解：由题意得a﹣8≥0，8﹣a≥0， ∴a＝8， ∴b＝25， ∴． 故答案为：7． 25．体积为9的正方体，其棱长等于　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设正方体的棱长为a， ∵正方体的体积为9， ∴a3＝9， ∴， 故答案为：． 26．化简：　 　 ，　 　 ． 【答案】5，4． 【解答】解：5，4， 故答案为：5，4． 27．5的平方根是　 　 ，27的立方根是　 　． 【答案】±；3 【解答】解：5的平方根是±， 27的立方根是3． 故答案为：±；3． 28．的立方根是　 　． 【答案】． 【解答】解：， 所以的立方根即为15的立方根， ∴的立方根为， 故答案为：． 29．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 　 　 ． 【答案】0或64 【解答】解：设这个数为x， 则， ∴， ∴， x2（x﹣64）＝0⇒x1＝x2＝0或x3＝64． 故填0或64． 30．已知一个正数的平方根分别是a+2和2a﹣5，b﹣3的立方根为﹣2． （1）求出a，b的值； （2）求4a﹣b的平方根和9a+b的立方根． 【答案】（1）a＝1，b＝﹣5； （2）±3，． 【解答】解：（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得： a+2+2a﹣5＝0，b﹣3＝（﹣2）3＝﹣8， ∴a＝1，b＝﹣5； （2）由条件可知4a﹣b＝4×1﹣（﹣5）＝9的平方根为±3，9a+b＝9×1﹣5＝4的立方根为． 31．已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣6和a+2，3﹣b的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求3a+2b的平方根． 【答案】（1）a＝1，b＝11；（2）±5． 【解答】解：（1）根据题意可知，（3a﹣6）+（a+2）＝0， 解得：a＝1， ∵3﹣b的立方根为﹣2， ∴3﹣b＝（﹣2）3＝﹣8， 解得：b＝11， ∴a＝1，b＝11； （2）由（1）已得：a＝1，b＝11， ∴3a+2b ＝3×1+2×11 ＝3+22 ＝25， ∴3a+2b的平方根为． 32．已知3a﹣5的平方根是±2，a﹣2b﹣7的立方根是﹣2． （1）求a，b的值． （2）求2ab+15的立方根． 【答案】（1）a＝3，b＝2；（2）3． 【解答】解：（1）∵3a﹣5的平方根是±2， ∴3a﹣5＝4， 解得：a＝3， ∵a﹣2b﹣7的立方根是﹣2， ∴a﹣2b﹣7＝3﹣2b﹣7＝﹣8， 解得：b＝2， 综上所述，a＝3，b＝2； （2）2ab+15 ＝2×3×2+15 ＝27， ∵． 33．求下列各式中的x （1）4x2＝121 （2）（x+2）3＝125． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4x2＝121 x； （2）（x+2）3＝125． x+2＝5， x＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $