29.2.1垂直于弦的直径（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以垂径定理为核心，分层设计基础应用、变式拓展、综合实践三层次练习，实现从单一计算到实际问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|垂径定理基本计算|以选择、填空为主，直接应用定理求弦长、半径等，如类型一1-15题| |变式拓展|平行弦、同心圆、推论应用|含分类讨论（平行弦位置）、多圆结合（同心圆）、命题辨析（推论），如类型二17-30题、类型五59-72题| |综合实践|实际情境问题解决|结合筒车、隧道、拱桥等生活场景，如类型六73-90题，培养应用意识|

29.2.1垂直于弦的直径（解析版） 目 录 类型一、利用垂径定理求值 1 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 12 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 24 类型四、利用垂径定理求解其他问题 32 类型五、垂径定理的推论 48 类型六、垂径定理的实际应用 59 类型一、利用垂径定理求值 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 3．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 4．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，过点O作于点D，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D， 弦， ， ， 即圆心O到的距离为． 5．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 6．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 7．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 8．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 9．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 10．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 11．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 12．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 【答案】/ 【分析】根据，得出，设，则，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 13．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】设点P坐标为，如图，连接，当为直径时，m最大，最大值为4，当点P为即的中点时，，，，此时即最小，利用勾股定理求得此时的弦的长m的最小值即可求解． 【详解】解：设点P坐标为，如图，连接， 根据题意，当为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为即的中点时，，，，此时即最小， 由勾股定理得， ∴弦的长m的最小值为， ∴满足题意的m值的取值范围为． 14．如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 15．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 16．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 17．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 18．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 19．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 20．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 21．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 22．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 23．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 24．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 25．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 26．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 27．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 28．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 29．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 30．设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为___________． 【答案】17或7/7或17 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 31．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 32．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 33．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 34．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 35．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 36．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 37．如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是______．      【答案】 【分析】连接，，，，先根据切线的性质定理和垂径定理证出，再证明，得到，代入数据求得，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，，          ∵大圆的弦与小圆相切于点P， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即，解得：（负值舍去）， ∴圆环的面积为：， 故答案为：． 【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、圆环的面积公式，分别求出大圆和小圆的半径是解题的关键． 38．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 39．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 类型四、利用垂径定理求解其他问题 40．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【详解】解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 41．是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 【答案】A 【分析】本题考查角平分线作法及性质，垂直平分线作法及性质，垂径定理等．根据题意逐一对作法进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∴，即作法一正确， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵经过圆心， ∴，即作法二正确， 由作图可知垂直平分选段，经过圆心， ∴，故作法三正确， 故选：A． 42．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意． 43．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 44．生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆但是做成滚轮同样不会颠簸，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，已知的中心O到三个顶点的距离均为，则这个莱落三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，弧长的计算．连接，，过点作于点，先求，进而得到周长为，再用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 是等边三角形，中心O到三个顶点的距离均为， ，，且、、三点共圆，为圆心， ，， ， ， ， ， ， 每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长， 这个莱落三角形的周长， 故选：B． 45．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 46．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．20° 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理；连接，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接 ，， ， ， 故选：D． 47．如图，在中，，是两条弦，，，如果，则下列结论不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证，结合垂径定理即可判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故A、B、D正确 故选：C 【点睛】本题考查了垂径定理．垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧． 48．如图，点A，B，C，E在上，于点D，，，则的长为（　　）    A． B． C． D．π 【答案】B 【分析】连接，则，根据垂径定理得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式计算出的长，即可得到的长． 【详解】解：连接，则，    ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， ∴的长为． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 49．如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧；以为直径画半圆交弧于点，连接，．若，则的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握以上性质和定理是解题的关键．作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 50．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为__． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是作辅助线构造相等的圆周角．连接并延长，交于，连接，根据切线的性质可知，根据垂径定理可知，根据圆周角定理可证． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于，连接， 是的切线， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 51．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】先根据切线的性质以及平行线的性质得，再结合垂径定理得，证明，则，根据外角性质得，再结合圆周角定理，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵连接，且延长交于一点， ∵经过、、三点的与相切于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 52．如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点． (1) ______； (2)若，则_______． 【答案】 /45度 【分析】（1）由垂直定义得，由圆周角定理得到； （2）根据垂径定理得到，由三角形中位线定理得到，证明得，于是得到，根据勾股定理即可得到结论 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形中位线，正确的识别图形是解题的关键． 53．如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则__________．    【答案】 【分析】连接，可求，可证，从而可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ， ， 为的中点， ， ， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的基本概念的理解，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关的性质是解题的关键． 54．如图，已知的两条弦，相交于点E，，，连接，若点E为中点，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦． 先得出，再根据三角形的内角和定理得出，根据垂径定理得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∵E为的中点， ∴，即， ∴． 故答案为：． 55．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 56．如图，，是的外接圆上一点，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，交于点，你能发现什么结论，写出一条你发现的结论，并证明． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)解：如下图所示，连接并延长，交于点，即为的直径， 发现：直径， 证明：如下图所示，连接， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， （答案不唯一）． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接交于点，点即为的外接圆圆心； （2）连接并延长，交于点，即为的直径，发现：直径，根据，，可知是的垂直平分线，根据平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，可证． 【详解】（1）略 （2）略 57．如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵是半圆的直径，是圆上的两点， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； ∴为的中点； (2)10 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理： （1）由圆周角定理得到，结合平行得到，进一步由垂径定理即可得出结论； （2）设半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设半径为，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得，解得； ∴． 58．如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． (1)求证：． (2)若，求和的长． 【答案】(1) 证明：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ； (2)， 【分析】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理． (1)根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等角对等边可知，等量代换可证结论成立； (2)根据垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，再利用相似三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，， ， ， ， ． 类型五、垂径定理的推论 59．下列命题中真命题是（     ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，例如的角，其补角为，，则此项是假命题； B、平行于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题； C、等边三角形旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，则此项是假命题； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，则此项是假命题． 60．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 61．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C．方程没有实数根 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 【答案】C 【分析】根据垂径定理、相似三角形的判定、一元二次方程的根的判别式、平行线的性质及判定进行判断即可. 【详解】解：对于选项A， ∵当被平分的弦是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，∴A错误； 对于选项B， ∵必须是两边成比例且夹角对应相等才能判定两个三角形相似，不能判定三角形相似，∴B错误； 对于选项C， 对于一元二次方程，计算得判别式，∴方程没有实数根，C正确； 对于选项D， ∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边时，这两个角相等或互补，不是一定相等，∴D错误. 62．如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点，则，利用圆周角定理得到，接着计算出的长，则可计算出，从而得到四边形的面积的最大值． 【详解】解：如图，当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积． 即四边形的面积的最大值是1． 63．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴， ∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以半径为． 64．如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，圆周角定理，由垂径定理的推理可得，则由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 65．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心的确定方法，圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，且的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点就是圆心，因此看图中弦的垂直平分线和的圆周角即可判断．充分利用格线互相垂直的特点是解题的关键． 【详解】解：A．该圆只能确定一个的圆周角，只能确定一条直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； B．该圆能确定两个的圆周角，能确定两条直径，能确定圆心，故此选项符合题意； C．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； D．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意． 故选：B． 66．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 67．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 68．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 69．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 70．如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为_______． 【答案】 【分析】连接，即可得到是圆O的直径，然后证明是等腰三角形，然后在中利用勾股定理求出长，再在中求出长即可． 【详解】解：连接， ∵是矩形， ∴，，， ∴是圆O的直径，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值舍去） 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；垂径定理的推论，圆周角定理等知识，掌握这些知识是解题的关键. 71．如图，在中，，． (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径． 【答案】(1)如图所示，即为所求的的外接圆； (2)它的外接圆半径为． 【分析】（1）分别作出、的垂直平分线，交点即为圆心，再以为半径画圆即可； （2）证明是等边三角形，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：连接，， ，， ∴ ， ， ， 是等边三角形， ，即它的外接圆半径为． 72．如图，与相切于点，与相切于点，作，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长交于，利用切线性质和平行线性质证明，结合垂径定理得；再由切线长定理得，通过等腰三角形性质和平行线内错角相等，结合三角形内角和定理，证明 （2）先由切线长定理得，结合勾股定理和面积法求出的长；再利用（1）的结论证明，根据相似三角形对应边成比例求出的长． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点 与相切于点， ， ． ， ， ， ， ， ． 与相切于点，与相切于点， ， ． ， ， ． 在中，， 在中，， ，， ． （2）解：连接、、，设与交于点， 、与分别相切于点、， ，， ，， 在中，， ，， 垂直平分， ， , ． 由（1）知：，， ， ， ∴． 类型六、垂径定理的实际应用 73．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 74．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 75．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 76．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 77．如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 78．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 圆的半径为． 故选：B． 79．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，已知，球的半径为，可得的长度，结合勾股定理，可得的长度，最终得的长度． 【详解】解：连接，如下图： ∵，球的半径为， ∴，，由题意可得，结合垂径定理，点为的中点， 结合勾股定理得， 则， 故选：C． 80．赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理列方程求解半径是解题的关键． 先根据垂径定理求出，再结合拱高用勾股定理列出关于半径的方程，最后解方程即可得到圆的半径． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故选：B． 81．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 【答案】 【分析】如详解图：连结、，过点作于、交于、交于，由已知条件可得四边形是矩形，再根据垂径定理求出的值，进而求得的值，最后求得的值，就是圆盘离桌面最近的距离． 【详解】 解：连结、，过点作于、交于、交于， 、 ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ． 82．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 【答案】 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 83．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ，， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 84．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 85．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 【答案】寸 【分析】如图，连接，设寸．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：连接，设寸． ，是直径， 寸． 在中，则有， 解得 寸． 86．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)点D到的距离是 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，则即为所求； （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据圆周角定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，进而得，接下来根据可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴． 在中，， 即， 解得， 所以点D到的距离是． 87．我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】(1) (2)该混凝土管片的外圆弧半径为 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理的推论可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； （2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， ∵点L为的中点，为半径， ∴， 由题意得，与相切于点，则， 而 ∴四边形为矩形， ∴， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 88．如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 【答案】 【分析】利用垂径定理和勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：设轮子的半径为，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 89．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【答案】这个月洞门所在圆的半径为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，设的半径为，则，，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图2，连接， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 答：这个月洞门所在圆的半径为． 90．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 1．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 2．如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，解直角三角形等知识．根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，求出，即可求出的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径，点B是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 3．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平面交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（    ） A．0.4厘米/分 B．0.5厘米/分 C．0.6厘米/分 D．0.8厘米/分 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 记太阳圆心为，连接，过点，作于点，延长与圆交于点，利用垂径定理推出，结合勾股定理推出，进而求出，再根据路程、速度、时间的关系求解，即可解题． 【详解】解：记太阳圆心为，连接，过点，作于点，延长与圆交于点， 圆的半径为5厘米，厘米， 厘米， 厘米， 厘米， 从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟， “图上”太阳升起的平均速度为（厘米/分）， 故选：B． 4．如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、圆周角定理．延长交于M，根据垂径定理得到，得到，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交于M， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 6．如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 7．如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 1．如图所示，嘉嘉和淇淇玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和以为直角边的等腰直角三角形，半圆与水平面恰好切于点，且，，与半圆交于点． (1)直接写出两块积木的竖直高度差________； (2)求的长； (3)将半圆向右无滑动滚动，当半圆与水平面恰好切于点，与相切于点时， ①如图2所示，连接，，求的度数，并直接写出此时半圆向前滚动的距离； ②如图3所示，用尺规作图：过点作出半圆的切线（保留作图痕迹，不写作法）；当过点的切线与交于点，设，直接写出点下降的高度________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】（1）半圆的半径与等腰直角三角形直角边的差即为二者高度差，据此作答即可； （2）连接，交于点W，连接，结合垂径定理作答即可； （3）①连接，，过Q点作于点G，过A点作于点T，根据圆周角定理有，即可作答；证明是等腰直角三角形，再证明四边形是矩形，最后证明是等腰直角三角形，即可求出，问题随之得解；②过点作出半圆的切线可转化为过点作出半圆的直径的垂线，按照作垂线的方法作图即可；连接，，，、两者交于点S，过点N作于点K，先证明，即，证明，可得，同理可证明：，可得，即可表示出、、，进而可表示出，最后证明，即可表示出，问题得解． 【详解】（1）解：半圆的直径为：，则其半径为：， 等腰直角三角形的直角边， 结合题意有：二者高度差为：； （2）解：连接，交于点W，连接， ∵半圆的直径为， ∴， ∵半圆与水平面恰好切于点， ∴， 根据题意有：， 又∵， ∴半径，即， ∵两块积木的竖直高度差为， ∴， ∴在中，， ∴； （3）解：①连接，，过Q点作于点G，过A点作于点T， ∵半圆与水平面切于点，与相切于点， ∴，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵半径， ∴， ∵半径， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即此时切点Q与点A的距离为：， 滚动前，切点P与点A的距离为：， ∴切点移动的距离为：， 即：此时半圆向前滚动的距离； ②过点作出半圆的切线可转化为过点作出半圆的直径的垂线，作图如下： 即切线即为所作， 如图，连接，，，、两者交于点S，过点N作于点K， ∵半圆与直线切于点，是半圆的切线， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，即平分， ∵是等腰三角形， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证明：， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 滚动之前，半圆O的直径与水平面平行， 此时与水平面的距离为，即为， 则滚动后，下降的高度为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理、垂径定理，切线长定理，切线的性质等知识，是一道综合性大题．问题的难点在第三问，如何理解滚动的距离，并将其转化为是关键． 2．如图①是嘉淇设计的一把扇子的背面示意图，它由三根互相平行的扇骨（虚线）、扇面和扇柄三部分组成，相邻的两根扇骨之间的距离相等．扇柄与扇骨交于点，与扇面另一交点为点，且，扇骨，且为的中点． (1)嘉淇计划用一根长为的木条制作符合题干要求的三根扇骨（忽略损耗），请你判断嘉淇的计划是否可行，并说明理由； (2)如图②，为了使扇子更加牢固，嘉淇在图①的基础上增加了扇骨和，且分别与交于点，，求线段的长． 【答案】(1)可行，理由见解析 (2)线段的长为 【分析】（1）先根据题意连接，利用垂径定理、弧的中点的性质，结合勾股定理求出单根扇骨的长度；再计算三根扇骨的总长度，与木条长度对比，判断计划是否可行． （2）先由（1）的结论求出的长度，再利用平行线判定三角形相似，根据相似三角形的性质求出的长度；最后结合圆的对称性，得出，从而求出线段的长． 【详解】（1）解：可行，理由：如图，连接，设与交于点， 由题可得，， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴． ∵相邻的两根扇骨之间的距离相等， ∴三根扇骨的长度为， ∵， ∴， ∴嘉淇的计划可行； （2）解：如图，连接，由可得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴由圆的对称性可得， ∴线段的长为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.1垂直于弦的直径（原卷版） 目 录 类型一、利用垂径定理求值 1 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 4 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 5 类型四、利用垂径定理求解其他问题 7 类型五、垂径定理的推论 12 类型六、垂径定理的实际应用 15 类型一、利用垂径定理求值 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 4．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 5．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 7．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 9．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 10．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 11．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 12．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 13．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 14．如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 15．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 16．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 17．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 18．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 19．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 20．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 21．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 22．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 23．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 24．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 25．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 26．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 27．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 28．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 29．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 30．设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为___________． 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 31．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 32．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 34．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 35．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 36．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 37．如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是______．      38．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 39．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 类型四、利用垂径定理求解其他问题 40．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 41．是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 42．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 43．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 44．生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆但是做成滚轮同样不会颠簸，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，已知的中心O到三个顶点的距离均为，则这个莱落三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 45．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 46．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．20° 47．如图，在中，，是两条弦，，，如果，则下列结论不正确的是（　　）    A． B． C． D． 48．如图，点A，B，C，E在上，于点D，，，则的长为（　　）    A． B． C． D．π 49．如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧；以为直径画半圆交弧于点，连接，．若，则的面积为______． 50．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为__． 51．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为_______． 52．如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点． (1) ______； (2)若，则_______． 53．如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则__________．    54．如图，已知的两条弦，相交于点E，，，连接，若点E为中点，则的度数是________． 55．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 56．如图，，是的外接圆上一点，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，交于点，你能发现什么结论，写出一条你发现的结论，并证明． 57．如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若，求的长度． 58．如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． (1)求证：． (2)若，求和的长． 类型五、垂径定理的推论 59．下列命题中真命题是（     ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．平分弦的直径垂直于弦 60．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 61．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C．方程没有实数根 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 62．如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 63．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 64．如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 65．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A． B． C． D． 66．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 67．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 68．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 69．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 70．如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为_______． 71．如图，在中，，． (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）； (2)求它的外接圆半径． 72．如图，与相切于点，与相切于点，作，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 类型六、垂径定理的实际应用 73．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 74．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 75．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 76．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 77．如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 78．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 79．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．9 ∵，球的半径为， ∴，，由题意可得，结合垂径定理，点为的中点， 结合勾股定理得， 则， 故选：C． 80．赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 81．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 82．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 83．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 84．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 85．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 86．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 87．我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 88．如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 89．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 90．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 1．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 3．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平面交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（    ） A．0.4厘米/分 B．0.5厘米/分 C．0.6厘米/分 D．0.8厘米/分 4．如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 6．如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 7．如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 1．如图所示，嘉嘉和淇淇玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和以为直角边的等腰直角三角形，半圆与水平面恰好切于点，且，，与半圆交于点． (1)直接写出两块积木的竖直高度差________； (2)求的长； (3)将半圆向右无滑动滚动，当半圆与水平面恰好切于点，与相切于点时， ①如图2所示，连接，，求的度数，并直接写出此时半圆向前滚动的距离； ②如图3所示，用尺规作图：过点作出半圆的切线（保留作图痕迹，不写作法）；当过点的切线与交于点，设，直接写出点下降的高度________．（用含的式子表示） 2．如图①是嘉淇设计的一把扇子的背面示意图，它由三根互相平行的扇骨（虚线）、扇面和扇柄三部分组成，相邻的两根扇骨之间的距离相等．扇柄与扇骨交于点，与扇面另一交点为点，且，扇骨，且为的中点． (1)嘉淇计划用一根长为的木条制作符合题干要求的三根扇骨（忽略损耗），请你判断嘉淇的计划是否可行，并说明理由； (2)如图②，为了使扇子更加牢固，嘉淇在图①的基础上增加了扇骨和，且分别与交于点，，求线段的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $