精品解析：湖北长阳土家族自治县第一高级中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

长阳一中2026-27学年度上学期九月考试 高一数学试题 一：单项选择题 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 2. 已知命题p：；则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题p：是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定为：. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由知，所以. 因为，其中满足的元素是和，所以. 4. 的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义转化为对应集合的关系进行求解即可． 【详解】的一个必要不充分条件对应集合设为,则， 则满足条件， 故选：C． 5. 已知集合，集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 6. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可. 【详解】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7. 设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（ ） A. B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念与子集个数的计算方法，计算满足条件的集合个数． 【详解】因为且，故集合中的元素必然包含3， 根据可知，集合中的元素可能包含， 故满足条件的集合等价于的子集，则集合的个数是个． 8. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可说明ABD；由得出，即可说明C． 【详解】对于A选项，当，，，时，，故A错误； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，因为， 所以，即，故C正确； 对于D选项，当，时，满足，显然不成立，故D错误． 故选：C． 二：多项选择题 9. 设集合，，则下列命题中真命题为（ ） A. ， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式求解集合A，根据交集为空集求解a的范围判断A，根据并集运算判断B，根据补集运算及元素和集合的关系判断C，根据集合关系判断D. 【详解】集合， 对于A，当时，，即，，正确； 对于B，当时，， 所以，错误； 对于C，当时，，所以，此时，正确； 对于D，当时，在数轴上把集合、表示出来，如图： 由图知，正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 集合中的所有元素之和为2，则 C. 若正数，满足，则的最小值为3 D. 设，为实数，若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合及交并运算的性质判断A，根据集合描述，应用分类讨论研究元素判断B，根据已知得，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值判断C，设，代入已知化为方程必有实数根，求参数范围判断D. 【详解】 A：如果，那么既属于集合，又属于集合， 既然属于，那么它一定属于， 所以成立， 因此，“”是“”的充分条件，正确， B：已知方程，该方程有一个根为， 若方程有两个不相等的实根且不为2（即且）， 设方程的根为，则， 集合中有三个元素，所有元素之和为，不符合题意， 若方程无实根（即，解得）， 此时集合中只有一个元素，元素之和为2，符合题意， 若方程有实根，且其中一个根为2，另一个根为0， 此时，集合为，所有元素之和为2， 因此，或满足要求，错误， C：已知正数满足，得， 所以， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，此时， 因此的最小值为3，正确， D：设，则， 方程化为， 展开并整理，该关于的一元二次方程必有实数根， 其判别式，解得， 所以的最大值为，正确. 三：填空题 12. 若，则的最小值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 13. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【解析】 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 14. 方程至少有一个负实根的充要条件是________． 【答案】a≤1 【解析】 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 故答案为：a≤1 【点睛】根的分布一般指由一元二次方程实根的分布情况求参数的范围问题，一般解决的方法有两种： （1）利用根与系数的关系列不等式组，可解； （2）根据零点存在定理，借助于函数的图像列不等式组，可解. 四：解答题 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1） （2），或. 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合A和B，再由交集的定义求； （2）根据集合的补集交集和并集的运算，直接求解即可； 【小问1详解】 ， ， 所以． 【小问2详解】 因为，, 所以， 又，所以． 由（1）知， 所以或. 16. （1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 17. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【小问1详解】 解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 18. 设实数，若满足，则称比更接近. （1）设比更接近0，求的取值范围； （2）判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； （3）设且，，试判断与哪一个更接近. 【答案】（1） （2）充分不必要条件，理由： “比更接近”，等价于 所以“”是“比更接近”的充分不必要条件 （3）更接近 【解析】 【分析】（1）由题得，解不等式可得解； （2）利于不等式的性质和充分条件，必要条件的应用即可求解； （3）利于已知比较与的大小，即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，即 整理得，解得 所以的取值范围是 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ①当时，， 此时： 又在上是增函数， ，即， 即，此时更接近； ②当时，， 此时：， 又在上是增函数， 即，， 即，即更接近； 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】（1）证明：， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 【小问3详解】 ， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长阳一中2026-27学年度上学期九月考试 高一数学试题 一：单项选择题 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：；则命题为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 6. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（ ） A. B. 8 C. 16 D. 8. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 若，则 二：多项选择题 9. 设集合，，则下列命题中真命题为（ ） A. ， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 11. 下列命题正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 集合中的所有元素之和为2，则 C. 若正数，满足，则的最小值为3 D. 设，为实数，若，则的最大值为 三：填空题 12. 若，则的最小值为____________． 13. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 14. 方程至少有一个负实根的充要条件是________． 四：解答题 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 16. （1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 17. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 18. 设实数，若满足，则称比更接近. （1）设比更接近0，求的取值范围； （2）判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； （3）设且，，试判断与哪一个更接近. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $