精品解析：广东深圳市龙岗区2026-2027学年第一学期学科素养形成八年级数学阶段自测一(第一章～第二章)

2026—2027学年第一学期学科素养形成 八年级数学 月考一（第一章～第二章） 注意事项： 1．答题前，请将姓名、学号用黑色钢笔、签字笔写在答题卡指定位置上． 2．学生必须在答题卡上按规定作答；答题卡必须保持整洁，不能折叠． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案；非选择题的答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题的答题区内． 一、选择题 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求立方根．根据立方根的定义和性质直接计算即可． 【详解】解： 故选：A 2. 若3、4、为勾股数，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分4为最大数和a为最大数两种情况，分别进行求解即可． 【详解】若3、4、为勾股数， 当4为最大数时，，解得，3、4、不符合勾股数定义， 当a为最大数时，，解得，3、4、5符合勾股数定义． 故的值为5， 故选：B 【点睛】此题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 3. 已知在ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（ ） A. 38° B. 52° C. 62° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可得，再利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】根据勾股定理的逆定理可得∠A＝90°，再利用三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识，证明是解题的关键． 4. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 5. 如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】D 【解析】 【分析】先求小正方形的边长，再求出大正方形的边长，估算无理数的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵面积为2的正方形的边长为， ∴向外等距扩0.5后边长为， ∵1<2<2.25， ∴1<<1.5， ∴2<<2.5， ∴落在段④， 故选D． 【点睛】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，正确求出大正方形的边长是解题的关键． 6. 我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则（）2是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式=12+4，然后利用新定义对各选项进行判断． 【详解】解：（）2＝2++10＝， 所以（）2是型无理数， 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数． 7. 如图所示，已知中，，，于D，M为上任一点，则等于（　　） A. 9 B. 25 C. 36 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】在及中可分别表示出及，在及中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在和中， ，， 在和中， ，， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出和是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 8. 已知，当分别取，，，…，时，所对应值的总和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简二次根式为绝对值形式，分情况讨论得y的取值规律，再求和． 【详解】解：， 当时，， ， 当，时，， 当时，， ， 时，； 时，； 从到共有个数，对应值的和为， 所有值的总和为． 二、填空题 9. 已知正数x的两个平方根是和，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可得关于m的一元一次方程，解一元一次方程可得m的值． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， 解得：， 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了平方根的定义：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，一元一次方程． 10. 现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由题意可得， 利用勾股定理可以求解然后再根据勾股定理，即可求得，从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意可得， （cm）， 故水槽中的水深至少为：（cm）， 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理的应用，二次根式的化简，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 11. 在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程，二次根式的乘除，根据题意列出方程是解题关键． 12. 如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出OB，进而求出OC，最后求出OD即可． 【详解】解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1， ∴OB＝＝＝， 又∵BA＝BC， ∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP， ∵点D是OP的中点， ∴OD＝OP＝， 即点D所表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，求出OD的长是解决问题的关键． 13. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____． 【答案】20cm 【解析】 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】如图1， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16， ∴MN==20； 如图2， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴PM=18﹣6+6=18，NP=10， ∴MN==2． ∵20＜2 ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20． 故答案为20cm 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 三、解答题 14. 计算： （1） （2） 【答案】(1)；（2） 【解析】 【分析】(1)直接化简二次根式进而合并得出答案； (2)直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案. 【详解】（1）原式= = （2）原式= = = = 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键. 15. 已知在△ABC中，∠C=90°，BC=2+1，AC=2-1，求AB的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB． 【详解】∵中，， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 16. 已知的平方根是，，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义列式求出m、n的值，然后代入代数式求出m＋n的值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为：． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根、立方根的定义，是基础题，熟记概念并列式求出m、n的值是解题的关键． 17. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．小明发现是直角，请你根据小明的思路写出解答过程． 小明的思路： 先利用勾股定理求出的三条边长，可得，__________，__________，从而可得，，之间的数量关系是______________，根据______________________，可得是直角． 【答案】，，，勾股定理的逆定理 【解析】 【详解】解：由题意得，，， ，， ， 为直角三角形且是直角． 18. 如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． （1）若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离； （2）当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？ 【答案】（1）点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里 （2）派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理可得BD=5，再由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，知∠CBD=90°，则点D到直线BC的距离是5海里； （2）正确画图，计算CD和BC的长，哪条路程小，就用哪个搜救艇． 【小问1详解】 解∶如图，连接BD， 依题意可得，AD⊥AB， 根据勾股定理可得∶BD＝．. ∵BD＝5，BC＝12，DC＝13， 根据勾股定理的逆定理可得∶BD2＋BC2＝CD2， ∴BD⊥BC，. ∴点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里． 【小问2详解】 解：如图，过点B作BE⊥CD于点E． 依题意可得，四边形ABED是矩形，故BE＝4，DE＝3． ∵点C在点B的东南方向， ∴∠CBE＝45°， 又∵BE⊥CD，∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝45°， ∴BE＝EC＝4， ∴DC＝DE＋EC＝7． ∵BE⊥CD，根据勾股定理可得∶BC＝． ∵≈1.414， ∴4≈5.656＜7． 当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点． 【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键． 19. 先观察下列等式，再回答下列问题． ①； ②； ③ ． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，计算： (仿照上面三个等式写出过程)； （3）根据你的观察、猜想，请写出一个用(为正整数)表示的等式． 【答案】（1）1，验证见解析 （2）1 （3）(为正整数) 【解析】 【分析】（1）根据观察等式，得出规律，根据等式规律，即可计算； （2）先把原式变形，再根据上述得出的规律进行计算，即可； （3）根据已知算式，得出规律，即可． 【小问1详解】 猜想： 验证：． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 （为正整数）． 【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是根据等式得出规律，熟练掌握整式的加减运算． 20. 在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． 【答案】 （1）猜想： ， 证明：如图2，过点作于点，设，则， 在Rt中，有, 在Rt中，有 ， ∴ ， 解之：， ∵均为正数，∴ ； （2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有 ， ∴， 解之：， ∵均为正数，∴ ； （3）四边形ABCD的面积是米2． 【解析】 【分析】（1）先作高线如图2，过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和AD构造等式 ，利用放缩法可得 （2）先作高线如图3，过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法 （3）如图4，连接．过点作于点E，由勾股定理求出 设，则EC=100-x，由勾股定理构造方程，解方程的，再求出DE，利用分割法求面即可 【详解】解：（1）略． （2）略． （3）如图4，连接． 在Rt中，有， ∴， ∵，∴ ， 过点作于点E， 设，则EC=100-x， 在Rt中，有，即， 在Rt中，有，即 ， ∴， 解之：， 在Rt中，有， ∴DE=（取正）， ∴DE=， ∴， =， =（米2）， ∴四边形ABCD的面积是米2． 【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期学科素养形成 八年级数学 月考一（第一章～第二章） 注意事项： 1．答题前，请将姓名、学号用黑色钢笔、签字笔写在答题卡指定位置上． 2．学生必须在答题卡上按规定作答；答题卡必须保持整洁，不能折叠． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案；非选择题的答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题的答题区内． 一、选择题 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 若3、4、为勾股数，则的值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 3. 已知在ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（ ） A. 38° B. 52° C. 62° D. 90° 4. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 6. 我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则（）2是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 7. 如图所示，已知中，，，于D，M为上任一点，则等于（　　） A. 9 B. 25 C. 36 D. 45 8. 已知，当分别取，，，…，时，所对应值的总和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 已知正数x的两个平方根是和，则_____． 10. 现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为_____cm． 11. 在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中的值为______． 12. 如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是_____． 13. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____． 三、解答题 14. 计算： （1） （2） 15. 已知在△ABC中，∠C=90°，BC=2+1，AC=2-1，求AB的长． 16. 已知的平方根是，，求的算术平方根． 17. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．小明发现是直角，请你根据小明的思路写出解答过程． 小明的思路： 先利用勾股定理求出的三条边长，可得，__________，__________，从而可得，，之间的数量关系是______________，根据______________________，可得是直角． 18. 如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． （1）若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离； （2）当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？ 19. 先观察下列等式，再回答下列问题． ①； ②； ③ ． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，计算： (仿照上面三个等式写出过程)； （3）根据你的观察、猜想，请写出一个用(为正整数)表示的等式． 20. 在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $