第5讲 一元二次方程的概念和解法 课后练习（学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程的概念和解法，以基础层设计为主，通过"概念辨析-简单应用-综合探究"三阶路径巩固知识，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一元二次方程的概念（定义、系数）、解法、根的判别式、根与系数关系|单选题（1-5题）辨析概念，强化符号意识；填空题（6-8题）结合根与系数关系，提升运算能力；解答题（9-12题）通过含参方程、证明有实根等问题，发展推理能力与模型意识，实现从单一知识点到综合应用的衔接。|

【课后练】基础--一元二次方程的概念和解法 一、单选题 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 5．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 6．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 7．若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 8．设是方程的两个实数根，则的值为 三、解答题 9．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 10．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 11．已知是关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若总是方程的一个根，求的值及另一个根． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【课后练】基础--一元二次方程的概念和解法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C C D C B 1．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程需满足整式方程、一个未知数、未知数最高次数为且二次项系数不为是解题的关键．依据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数是且二次项系数不为 ），对每个选项逐一判断． 【详解】A. 方程中出现，属于分式，不是整式方程，不符合要求． B. 方程形式为，但未明确，若则变为一次方程，无法确定是二次方程． C. 方程为整式方程，且项系数为4（非零），符合一元二次方程定义． D. 方程化简后为，消去得，为一次方程，不符合要求． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程的识别，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，形如的形式，由此判断即可． 【详解】解：A，是一元一次方程，不合题意； B，中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意； C，是一元二次方程，符合题意； D，中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 故选C． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（形如，等号两边都是整式，只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程）是解题的关键．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此建立不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：． 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，将方程整理为一般形式，确定各项系数即可求解． 【详解】解：原方程移项得：， ∴方程的一般形式为，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次项系数和一次项系数分别是和， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等．先根据一元二次方程的定义确定m的值，再利用求根公式解方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得：， ∴方程为：， ∵， ∴， 故选：B． 6． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 7．1 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数关系，利用根与系数关系得到，将方程的根m代入方程中得到，再利用整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵m和n是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，则， ∴， 故答案为：1． 8． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系可得，根据一元二次方程的解的定义可得，即，再根据代值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为；． 9．(1)；方程另一个根为； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答． （1）把已知的方程的根代入可求实数的值及另一个根； （2）根据根的判别式大于0，可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：因为方程有一根为， 所以有， ， 因为， 又因为， 所以， 故方程另外一个根为； （2）解：因为方程有两个不等的实数根， 所以，即， 解得． 10．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 11．(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解一元一次方程． （1）当时，原方程为一元一次方程，有解，符合题意；当时，利用判别式证明即可； （2）把代入原方程求出a的值，再利用根与系数的关系求出方程的另一根即可． 【详解】（1）证明：当时，原方程为，解得，此时原方程有实数根，符合题意； 当时，则，此时原方程有两个不相等的实数根， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵总是方程的一个根， ∴， 解得， 则由根与系数的关系可得方程的另一个根为． 12．(1)k的值为 (2)见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键． （1）把代入方程，从而可得答案； （2）证明即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入方程得， ， 解得：， 所以k的值为． （2）证明：因为 ， 又因为， 所以不论k取何值，方程总有实数根． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础--一元二次方程的概念和解法 一、单选题 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 5．若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 6．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 7．若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 8．设是方程的两个实数根，则的值为 三、解答题 9．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； 10．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 11．已知是关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若总是方程的一个根，求的值及另一个根． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共5页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】提高--一元二次方程的概念和解法 一、单选题 1．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 二、解答题 2．已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程一个根为，求m的值． 3．已知：关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 5．计算与解方程 (1) (2) 6．解方程： (1)； (2)． 7．解方程 (1) (2)（配方法） 8．解方程： (1) (2) (3) (4) 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 10．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，求符合条件的所有正整数m的值的和． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 答案第6页，共6页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】提高--一元二次方程的概念和解法 一、单选题 1．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 二、解答题 2．已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程一个根为，求m的值． 3．已知：关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 5．计算与解方程 (1) (2) 6．解方程： (1)； (2)． 7．解方程 (1) (2)（配方法） 8．解方程： (1) (2) (3) (4) 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 10．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，求符合条件的所有正整数m的值的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【课后练】提高--一元二次方程的概念和解法》参考答案 题号 1 答案 A 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解： 是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 2．(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，以及不等式的性质，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程得到根的判别式，再结合，利用不等式的性质，得出，即可得到答案； （2）将代入一元二次方程得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 其中，，， ， ， ， ，即， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：方程一个根为， ， 解得：． 3．(1)见解析 (2)2009 【分析】本题考查了一元二次方程. （1）根据根的判别式计算即可； （2）将代入原方程得到，再代入计算即可. 【详解】（1）证明：， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程有一个根为3， ，即． ． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把代入方程，求出m的值，进而解方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵是一元二次方程一个根， ∴， 解得， 此时，原一元二次方程为， 解得，， 所以方程的另一个根为． 5．(1) (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和运算方法是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 或， ． 6．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）移项后，利用因式分解法进行求解即可； （2）先根据乘法法则展开，再利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）原方程整理，得：， ， ， ， ∴． 7．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， 解得：． 8．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点，选择合适的解法是解题的关键． （1）直接用因式分解法解一元二次方程； （2）先移项，将方程化为一般式，再利用公式法解一元二次方程； （3）直接利用开平方法解一元二次方程； （4）先移项，再用因式分解法解一元二次方程； 【详解】（1）方程因式分解得， 或， 解得，． （2）方程变形得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． （3）方程直接开平方得 或 解得，． （4）方程移项得， ， 或， 解得，． 9．(1) (2)的整数值有0，1，2． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； （2）由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 10．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可； （2）先根据乘法法则展开，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可． 【详解】（1）解：移项，得． 配方，得， 即， ， 解得． （2）整理，得． 配方，得， 即， ， 解得． 11．5 【分析】本题考查根的判别式，公式法解一元二次方程，根据方程有两个实数根，得到，求出的范围，求根公式求出方程的根，根据根为整数，求出符合条件的正整数m的值，再求和即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根， ． 又是正整数， 的值为1或2或3． 由求根公式，得． 方程的根都是整数， 是整数， 的值为2或3， 符合条件的所有正整数m的和为5． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $