28.2中心对称同步训练2026-2027学年人教版九年级上册数学

数学 · 九年级上（人教版） 28.2 中心对称 28.2.1 中心对称及其性质 基础提优题 知识点1 中心对称的概念和性质 1．若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转 后必与另一个图形重合。其中正确的有　（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如图， 与 关于点 成中心对称，下列说法：①；②；③；④ 与 的面积相等。其中正确的有　（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．如图，在平面直角坐标系中，若 与 关于点 成中心对称，则对称中心点 的坐标是　（　　） A． B． C． D． 知识点2 中心对称作图 4．如图，在 的正方形网格中，点 ，，， 都在格点上，请你按要求画出图形。 (1)在图①中作出 ，使 和 关于点 成中心对称； (2)在图②中分别找两个格点 ，，使得以 ，，， 为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为 面积的 4 倍。 5．如图， 是 的边 上的中线。 (1)画出以点 为对称中心且与 成中心对称的三角形（不要求尺规作图）； (2)若 ，，求 的取值范围。 综合应用题 6．如图，在 的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与 关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有　（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．将五个边长都为 3 cm 的正方形按如图所示摆放，点 ，，， 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是＿＿＿ cm²。 8．如图，点 是矩形 的对称中心，点 ， 分别在边 ， 上，且 经过点 ，，，，点 是边 上一动点，则 周长的最小值为＿＿＿＿。 9．将边长为 6 的正方形的右上角剪去一个边长为 2 的小正方形，把它放在如图所示的平面直角坐标系 中。若直线 经过点 ，且将多边形 分割成面积相等的两部分，则直线 的函数解析式为＿＿＿＿。 10．如图， 和 关于点 成中心对称。 (1)找出它们的对称中心； (2)若 ，，，求 的周长； (3)连接 ，，试判断四边形 的形状，并说明理由。 创新拓展题 11．如图，， 为 轴上的两点，以 为边作矩形 ，且 ， 的坐标分别为 ，，现将矩形 向右平移 4 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到矩形 。 (1)若 ，请求出点 的坐标； (2)若矩形 与矩形 关于点 中心对称，且点 的坐标为 ，求 的值（用含 的代数式表示）。 28.2.2 中心对称图形 基础提优题 知识点1 中心对称图形的概念 12．传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴。徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　（　　） A． B． C． D． 知识点2 中心对称图形的性质 13．如图，这是 的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂灰，就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是＿＿＿＿。 14．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子 ，， 的位置如图所示，它们的坐标分别是 ， 和 ，在其他点处添加一颗棋子 ，使 ，，， 四颗棋子能构成一个中心对称图形，请写出棋子 所在位置的坐标：＿＿＿＿（写出一个即可）。 知识点3 画中心对称图形 15．如图，它是 3 个相同大小的 的方格，图①中放置一副七巧板组成的正方形图案，其顶点均在格点上，称之为格点图形。利用七巧板中的 3 种图形，按下列要求作出符合条件的格点图形。 (1)在图②中，拼成一个轴对称但不是中心对称的图形； (2)在图③中，拼成一个中心对称但不是轴对称的图形。 综合应用题 16．如图， 为菱形 的对称中心，，，若点 ， 分别在 ， 边上，连接 ，，则 的最小值为＿＿＿＿。 17．如图，分别以平行四边形 的边 和 为直角边，向平行四边形 内作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，在 的斜边 ， 的斜边 上分别取点 ，，连接 ，，四边形 为正方形，若平行四边形 的面积为 4，则 的面积为＿＿＿＿。 18．【知识背景】过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分。 (1)如图①，直线 经过平行四边形 的对角线的交点 ，则 ＿＿ （填“＞”“＜”或“＝”）； (2)如图②，两个正方形如图所示摆放， 为小正方形对角线的交点，求作过点 的直线将整个图形分成面积相等的两部分； (3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）。 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 基础提优题 知识点1 关于原点对称的点的坐标 19．在平面直角坐标系中，若点 与点 关于原点对称，则点 在　（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．已知点 关于原点的对称点在第一象限，则 的取值范围在数轴上表示正确的是　（　　） A． B． C． D． 21．已知点 是第二象限内的点（），设点 关于 轴的对称点为 ，点 关于原点的对称点为 ，则 的形状是　（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 22．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的两条对角线 ， 交于原点 ， 平行于 轴，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，则点 的坐标是　（　　） A． B． C． D． 23．已知点 是平面直角坐标系中一点，且 ， 满足 ，则点 关于原点的对称点 的坐标是＿＿＿＿。 知识点2 作已知图形关于原点对称的图形 24．对于题目“把 的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以 ，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是　（　　） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 25．如图，四边形 在平面直角坐标系中。 (1)分别写出点 ，，， 的坐标； (2)作出四边形 关于原点 对称的四边形 。 综合应用题 26．在平面直角坐标系中，已知点 ，，，若线段 与 互相平分，则点 关于坐标原点的对称点的坐标为＿＿＿＿。 27．如图，已知抛物线 、抛物线 关于原点中心对称。如果抛物线 的解析式为 ，那么抛物线 的解析式为＿＿＿＿。 28．在平面直角坐标系中，已知点 ，作点 关于 轴的对称点 ，点 关于原点的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，点 关于原点的对称点 ，…，按此规律，则点 的坐标为＿＿＿＿。 29．已知点 关于原点的对称点在第一象限内，且 为整数，则关于 的分式方程 的解是＿＿＿＿。 30．如图，已知 和直线 。 (1)分别写出点 关于直线 的对称点 和关于原点的对称点 的坐标； (2)若点 是点 关于原点的对称点，判断四边形 的形状，并说明理由。 31．如图，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，顶点都是格点的三角形叫作格点三角形。已知格点 与点 关于 轴对称，点 与点 关于原点对称。 (1)写出点 的坐标，并在图中描出点 ，； (2)连接 ，，，求 的面积； (3)平面内有一格点 （异于点 ），若格点 与 全等，直接写出所有点 的坐标。 创新拓展题 32．定义：若两个函数的图象关于某一点 中心对称，则称这两个函数关于点 互为“对称函数”。例如，函数 与 关于原点 互为“对称函数”。 (1)函数 关于原点 的“对称函数”的函数解析式为＿＿＿＿，函数 关于原点 的“对称函数”的函数解析式为＿＿＿＿； (2)已知函数 与函数 关于点 互为“对称函数”，若函数 与函数 的函数值 都随自变量 的增大而减小，求 的取值范围； (3)已知点 ，，，二次函数 （）与函数 关于点 互为“对称函数”，将二次函数 （）与函数 的图象组成的图形记为 ，若图形 与线段 恰有 2 个公共点，请直接写出 的取值范围。 参 考 答 案 1．D 2．D 3．A 4． (1)【解】如图①， 即为所求。 (2)如图②，， 为满足条件的格点。（答案不唯一） 5． (1)【解】如图所示的 即是符合条件的三角形。 (2)由(1)知， 和 关于点 成中心对称，∴由中心对称的性质可知 。∴，。∴。在 中，，∴，即 。∴，即 。 6．B　【点拨】如图所示， 即为所求。则这样的 有 2 个。 7．9 8．　【点拨】如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，此时 的周长最小，∴。∴ 的最小值为 。∴ 周长的最小值为 。过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 。∵，∴易得 ，。∴易得 。∵点 是矩形 的对称中心， 经过点 ，∴。又∵，∴。∴，。∵，∴。∵，∴。∴ 周长的最小值为 。 9．　【点拨】如图，延长 交 轴于点 ，连接 ，，，，且 ， 相交于点 ，易得点 是 ， 的交点，点 的坐标为 ，∴直线 把长方形 分割成面积相等的两部分。∵直线 将多边形 分割成面积相等的两部分，∴直线 把长方形 分割成面积相等的两部分。∴直线 过点 。设直线 的函数解析式为 ，则 解得 ∴直线 的函数解析式为 。 10． (1)【解】如图，点 即为所求。 (2)由题意得 ，∴ 的周长 的周长 。 (3)四边形 是平行四边形。理由：由题意得 ，，∴四边形 是平行四边形。 11． (1)【解】∵四边形 为矩形，且 ， 的坐标分别为 ，，∴点 的坐标为 。∵点 向右平移 4 个单位长度，再向上平移 （个）单位长度得到点 ，∴点 的坐标为 。 (2)连接 ，，它们的交点即为点 。易知点 为 的中点，由题意得 ，，∴点 的坐标为 。又∵ 点的坐标为 ，∴。 12．B 13．3 14．（答案不唯一） 15． (1)【解】（答案不唯一）如图①所示。 (2)（答案不唯一）如图②所示。 16．　【点拨】连接 。∵四边形 是菱形，∴ 过点 ，，。∵，∴。∴ 是等边三角形。∴，。易得 。由垂线段最短可知，当 ， 时， 的值最小，易得此时 ，。∴ 的最小值为 。 17．1　【点拨】如图，连接 并延长，分别交 ， 于点 ，，连接 与 相交于点 。由题意，得整个图形是以点 为对称中心的中心对称图形，，∴，。∴。 18． (1)【解】＝ (2)如图①所示。 (3)如图②所示。 19．C　【点拨】∵点 与点 关于原点对称，∴，。∴。∴ 在第三象限，故选 C。 20．C 21．B　【点拨】如图所示。∵点 关于 轴的对称点为 ，∴ 轴。∵点 关于原点的对称点为 ，∴点 与点 关于 轴对称。∴ 轴。∴。∴ 是直角三角形。 22．A 23． 24．B 25． (1)【解】，，，。 (2)四边形 如图所示。 26．　【点拨】由题意得， 与 的交点为 ， 的中点。∵，，∴ 的中点坐标为 。又∵，∴点 的坐标为 。∴点 关于坐标原点的对称点的坐标为 。 27． 28． 29．　【点拨】∵点 关于原点的对称点在第一象限内，点 关于原点的对称点为 ，∴ 解得 。∵ 为整数，∴。把 代入分式方程 中，得 ，整理得 ，解得 。经检验， 是原分式方程的解。 30． (1)【解】，。 (2)四边形 是矩形。理由如下：如图，连接 ，。由题易知 与 交于点 ，，，∴四边形 是平行四边形。∵点 关于直线 的对称点为点 ，∴。∴。∴。∴四边形 是矩形。 31． (1)【解】∵格点 与点 关于 轴对称，∴。又∵点 与点 关于原点对称，∴。如图，点 ， 即为所求。 (2)如图，。 (3)点 的坐标为 或 或 。 32． (1)【解】； (2)函数 图象的顶点坐标为 ，点 关于点 的对称点为 。∵函数 与函数 关于点 互为“对称函数”，∴函数 的解析式为 。如图①，函数 与函数 的图象如图所示。∵函数 的图象开口向下，∴在对称轴的右侧 随自变量 的增大而减小，即 。∵函数 的图象开口向上，∴在对称轴的左侧 随自变量 的增大而减小，即 。∴函数 与函数 的函数值 都随自变量 的增大而减小时，自变量 的取值范围为 。 (3) 或 或 。【点拨】对于 ，令 ，则 ，解得 ，，∴二次函数 （）的图象与 轴的交点为 和 。①当函数 的图象的顶点在线段 上时，如图②。∵，∴二次函数 的图象的对称轴为直线 。∵点 为对称中心，∴函数 的图象的对称轴为直线 ，∴函数 的图象的顶点坐标为 。∵点 关于点 对称的点为 ，∴将点 的坐标代入 ，得 ，∴。②当两个函数图象的交点在线段 上时，如图③。∵二次函数 的图象与 轴的交点为 和 ，点 为对称中心，∴函数 的图象与 轴的交点为 和 ，∴函数 的解析式为 。当 时， ∴。③当函数 的图象经过点 时，如图④。将 的坐标代入 ，得 ，解得 。综上，图形 与线段 恰有 2 个公共点时， 的取值范围为 或 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $