第一章 一元二次方程（单元基础自测卷） - 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 江苏地区九年级一元二次方程单元基础周测卷，分层设计覆盖定义、解法、应用等核心知识，适配基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|一元二次方程定义、根的判别式|结合樱桃产量增长率考查模型意识，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|8/16|一般形式、参数取值、韦达定理|末位为5的两位数平方探究，渗透数学思维的推理能力| |解答题|7/60|解法、配方法、几何与经济应用|矩形花圃面积最值（几何模型）、图书促销计费（经济情境），培养数学语言表达与应用意识|

第一章 一元二次方程（单元基础自测卷）【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，只需计算各选项的判别式即可判断． 解：选项A：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项B：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项C：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项D：方程整理为，得，，方程有两个不相等的实数根． 5．（2026·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）方程的解为（    ） A． B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 故选：C 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据年平均增长率公式，2024到2026年共两年增长，用初始产量乘以（增长率）的平方等于最终产量，列出方程即可． 解：由题意得：． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． 10．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 【答案】64 【分析】先把原方程整理为一元二次方程一般形式，确定的值后代入计算即可． 解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ． 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）若实数满足，则的结果为_______． 【答案】1 【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 解：设 则原式等于， 整理 得 解得（舍弃）， 即． 故答案为：1． 13．（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程 （为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义可得，根据题意可得，一元二次方程根的判别式，即可求解． 解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则代数式___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义及根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算． 解：∵ 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ， 代入得：． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海青浦·期末）点，两点间的距离等于4，则___________ 【答案】或 【分析】直接利用勾股定理建立方程求解即可． 解：∵点，两点间的距离等于4， ∴， ∴， 解得：，， 故答案为：或． 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用勾股定理建立方程求解是解本题的关键． 16．（2026·浙江温州·二模）【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17．（8分）（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （1）解：， ∴， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解： ∴ ∴或， 解得： （4）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得： 18．（8分）配方法专项应用 （23-24九年级上·甘肃白银·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． （2）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根． 【答案】（1），；（2）证明： ， 无论m取何值，该方程总有两个实数根． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式． （1）先将代入，求出m的值，再求方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式证明即可． （1）解：是方程的一个根， ， 解得． 则原方程为． 解得，． 即方程的另一个根为； （2）略 19．（8分）根的判别式应用 （25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边长为4，若恰好是的两腰长，求m的值和的周长． 【答案】（1）；（2），的周长为10． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系． （1）根据判别式的意义可得； （2）根据得方程有两个相等的实数解，求得，再根据根与系数的关系即可求解． （1）解：根据题意得， 解得； （2）解：由题意得方程有两个相等的实数解， ∴，解得， ∴方程为， ∴， ∴的周长为． 20．（8分）根与系数的关系（韦达定理） （23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 【答案】（1）且；（2） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． （1）解：由题意得：且 解得：且 （2）解：由题意得： ∵， ∴， 解得：（舍） 经检验，是原方程的解 ∴ 21．（8分）含参数一元二次方程基础综合 （24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． （1）围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由； （2）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25；（2）围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），二次函数的实际应用（图形问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式或方程是解题的关键． （2）根据题意设未知数列一元二次方程，判断此方程有解，然后再解方程即可； （3）先列函数关系式，将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可． （1）解：围成的矩形花圃的面积能为． ∵平行于墙的边， 而，且， ∴． 由题意，得． 解得（舍去）或． 答：围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25． （2）解：设围成的矩形花圃的面积为． 由题意，得． ∵，且， ∴当时，S取得最大值800． 答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20． 22．（10分）一元二次方程实际应用题 （24-25八年级下·浙江宁波·期末）逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了斤（）， （1）在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含的代数式表示）； （2）若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤． 【答案】（1）；（2）该顾客共购书10斤或20斤 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，先求出这位顾客的购书单价，再由等量关系列一元二次方程求解即可得到答案，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意直接列代数式即可得到答案； （2）由（1）知这位顾客的购书单价为，根据题意列一元二次方程求解即可得到答案． （1）解：设某位顾客买了斤（）， 已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元，则在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为， 故答案为：； （2）解：由（1）知这位顾客的购书单价为元， 则，即 ，          解得，， 经检验两个解均满足大于5 故该顾客共购书10斤或20斤． 23． （10分）单元基础综合题 （25-26八年级下·广东深圳·期中）配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法． 例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　． 解： 因为，所以． 所以当时，它有最小值，是． 参考例题，试求： （1）填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　． （2）已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？ 【答案】（1）；（2）当为时，有最小值，是 【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值； （2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案． （1）解：， ， ∴当时，它有最小值，是． 故答案为：； （2）解：， ∴当，即时，最小， ∴当为时，有最小值，是． 【点拨】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，注意任意数的偶次方的最小值是0，（2）中运用配方法将变形为是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 一元二次方程（单元基础自测卷）【分层作业】 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）方程的解为（    ） A． B．， C．， D． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 10．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）若实数满足，则的结果为_______． 13．（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则代数式___________． 15．（24-25八年级上·上海青浦·期末）点，两点间的距离等于4，则___________ 16．（2026·浙江温州·二模）【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17．（8分）（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（8分）配方法专项应用 （23-24九年级上·甘肃白银·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． （2）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根． 19．（8分）根的判别式应用 （25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边长为4，若恰好是的两腰长，求m的值和的周长． 20．（8分）根与系数的关系（韦达定理） （23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 21．（8分）含参数一元二次方程基础综合 （24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． （1）围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由； （2）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 22．（10分）一元二次方程实际应用题 （24-25八年级下·浙江宁波·期末）逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了斤（）， （1）在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含的代数式表示）； （2）若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤． 23． （10分）单元基础综合题 （25-26八年级下·广东深圳·期中）配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法． 例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　． 解： 因为，所以． 所以当时，它有最小值，是． 参考例题，试求： （1）填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　． （2）已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $