精品解析：江苏泰州市姜堰区第一教研站四校联考2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

八年级数学独立作业 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列各数中，无理数是（　　） A. 3.14 B. C. 1.010010001 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数．π是常见无理数，其他选项均为有理数． 【详解】解：A项3.14是有限小数，是有理数； B项无理数是指无限不循环小数，且是无限不循环小数，∴是无理数； C项1.010010001是有限小数（无省略号），是有理数； D项是整数，是有理数． 故选B 2. 下列长度的3条线段能组成三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，1，2 C. 1，2，3 D. 2，5，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理逐一判断即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：A、，均成立，能组成三角形，故选项符合题意； B、，不能组成三角形，故选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 是的平方根 C. 是的平方根 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义判断即可，解题的关键是正确理解平方根的定义． 【详解】解：∵， ∴是的平方根， 故选：． 4. 用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的步骤结合全等三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：如图，用直尺和圆规画的作图如下， 由作图过程可知，，据此利用可证明． 5. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 6. 如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是作出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．作点关于的对称点，连接，，，得，，；作点关于的对称点，连接，，，得，，；根据；当，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接，，； ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当，，，共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求算术平方根．先计算平方运算，再求算术平方根，进而即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 8. 比较大小：_____．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法，进行比较即可。 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 9. 等腰中，，的大小为___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，钝角必为顶角，因此角A是顶角，角B和角C是底角且相等．利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】在等腰中，， ∴为顶角， ∴． 故答案为：． 10. 已知一个正数x的两个平方根分别为和，则m为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，利用正数的两个平方根互为相反数的性质即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 11. 若m，n满足等式．则的算术平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】平方和算术平方根均为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，代入计算后求算术平方根即可． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根是5． 12. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得，点刚好落在上，则的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的旋转，等边三角形的判定与性质，由绕点逆时针旋转得，得，为等边三角形，得，由三角形内角和定理得，即可得． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据图示进行求算术平方根，并判断是否无理数． 【详解】解：由图示得：，是有理数， 2的算术平方根是，是无理数，输出此值， 故答案为：． 14. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于F，如图， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为6． 15. 如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 _________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键； 根据题意分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴①当时， 则有； ②当时， 则有； ③当时， 则有， ． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 16. 如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，掌握轴对称的性质及解直角三角形是解题的关键．先根据轴对称的性质找出最短路径，再根据直角三角形的性质求解． 【详解】解：作点N关于的对称点E，过E作于，交于，连接， ， ， ， 则当E、P、M三点共线，且和M重合时，的值最小， 在等边中，有，， ， 设， 则：， 解得：， ， 故答案为： 三、解答题 17. 求下列各式中的的值： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：整理得，即， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或． 18. 如图，中，，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接，，求的度数． 【答案】的大小为． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，设的大小为，则，根据题意求出，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设的大小为， ， ， 是的外角， ， 由作图可得：， ， ， ， 解得：， ， ， ∴的大小为． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ； （2） 证明：， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可证，根据可证； （2）根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等两直线平行，可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）图1中，画出与全等的格点；（画出一个即可） （2）图2中，在网格内画出点，使得； （3）图3中，画出与面积相等，但不全等的格点． 【答案】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为． （3）解：如图所示， 【解析】 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 21. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． （1）求的整数部分和小数部分． （2）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）的整数部分为4， 小数部分为． （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． 【小问2详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 22. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 【答案】（1） 证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论； （2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， ∵， ， ， ， ． 23. 如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴均为直角三角形， ∵M为的中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，即可求证； （2）求出，再结合三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 25. 【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连，以为边作（E、D在同侧），使，连．若，判断与的位置关系，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数　　　　　； （2）再探究具体情形、如图1，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在中，．点E为外一点，于D，．求的长． 【答案】（1） （2） 解：过D作，交的延长线于F，如图所示： 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ （3）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论进行几何推理是解题关键． （1）证即可求解； （2）过D作，交的延长线于F，证得，即可求解； （3）过A作交的延长线于F，证可得，再证即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形 ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ 即： ∴ ∴， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过A作交的延长线于F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴ ∴， ∴． 26. 在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； （2）如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； （3）如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】（1） ①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②1 （2）①； ② （3）2或6． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【小问1详解】 ①略 ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； 【小问2详解】 ①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学独立作业 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列各数中，无理数是（　　） A. 3.14 B. C. 1.010010001 D. 2. 下列长度的3条线段能组成三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，1，2 C. 1，2，3 D. 2，5，2 3. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 是的平方根 C. 是的平方根 D. 4. 用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（ ） A. B. C. D. 5. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 6. 如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 计算：___________． 8. 比较大小：_____．（填“”或“”） 9. 等腰中，，的大小为___________． 10. 已知一个正数x的两个平方根分别为和，则m为___________ 11. 若m，n满足等式．则的算术平方根是_______． 12. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得，点刚好落在上，则的大小为___________． 13. 如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是___________． 14. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是__________． 15. 如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 _________________． 16. 如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题 17. 求下列各式中的的值： （1）； （2）； 18. 如图，中，，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，连接，，求的度数． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）． 20. 如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）图1中，画出与全等的格点；（画出一个即可） （2）图2中，在网格内画出点，使得； （3）图3中，画出与面积相等，但不全等的格点． 21. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． （1）求的整数部分和小数部分． （2）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 22. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 23. 如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 25. 【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连，以为边作（E、D在同侧），使，连．若，判断与的位置关系，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数　　　　　； （2）再探究具体情形、如图1，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在中，．点E为外一点，于D，．求的长． 26. 在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； （2）如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； （3）如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $