5.4 一元一次方程的应用（课件）--2026-2027学年冀教版数学七年级上册

# 冀教版数学七年级上册5.4 一元一次方程的应用 专项练习（1212字） ## 知识点梳理 1. 列一元一次方程解应用题完整步骤：审→设→列→解→验→答。 ①审：读懂题目，找出已知量、未知量，找准等量关系； ②设：设未知数，可以直接设（问什么设什么），也可以间接设； ③列：根据等量关系列出一元一次方程； ④解：按照解方程步骤求出未知数的值； ⑤验：检验解是否满足方程，同时检验结果是否符合实际意义； ⑥答：写出完整答案，带上单位。 2. 常见题型：和差倍分问题、几何图形周长面积问题、行程问题、工程问题、销售利润问题、分段计费问题。 3. 常用等量关系： - 行程：路程=速度×时间；相遇：路程和=总路程；追及：路程差=相距距离。 - 工程：工作总量=工作效率×工作时间，一般把总工程看作1。 - 销售：利润=售价−进价；售价=原价×折扣；利润率=利润÷进价。 4. 设未知数注意：设的时候要写单位；方程里面不带单位。 5. 易错提醒：审题找错等量关系；单位不统一（时间、长度）；解出来的结果不符合现实，没有舍去；打折理解错误；工程问题误认为总工作量不是1；答句漏写单位；解方程过程移项、去括号符号出错。 ## 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 列一元一次方程解应用题六步骤：审、____、列、解、____、答。 2. 一件商品进价80元，售价120元，则利润是____元。若打八折销售，打折后售价为____元。 3. 甲乙两人相向而行，甲速度4km/h，乙速度6km/h，同时出发，经过$x$小时相遇，两人一共走的路程为________km。 4. 一项工程，甲单独做10天完成，甲的工作效率是____；设甲做$x$天，工作量为________。 5. 一个长方形长比宽多4cm，周长32cm，设宽为$x\mathrm{cm}$，长为________cm，列方程：________________。 6. 某班共有学生45人，男生人数是女生的2倍，设女生$x$人，列方程：________________。 7. 某数的5倍减去12等于这个数的3倍，设这个数为$x$，方程：____________，解得$\(x=\)$____。 8. 出租车起步价6元（3千米以内），超过3千米，每千米收费1.5元，行驶$\(x(x>3)\)$千米，总费用$\(y=\)$________________元。 9. 一件衣服原价$x$元，打七五折后售价90元，列方程：____________。 10. 甲、乙两人同向跑步，甲每秒跑7m，乙每秒跑5m，乙在甲前方20米，$t$秒后甲追上乙，方程：________________。 ## 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 某工厂今年产量比去年增加20%，去年产量为$x$，今年产量是（） A.$x+20\%$ B.$(1+20\%)x$ C.$20\%x$ D.$x-20\%x$ 2. 一项工程，甲单独5天做完，乙单独10天做完，两人合作，设$x$天完成，方程正确的是（） A.$\(5+10=x\)$ B.$\dfrac15+\dfrac1{10}=\dfrac1x$ C.$\dfrac15x+\dfrac1{10}\(x=\)1$ D.$5x+10\(x=\)1$ 3. 一个书包进价50元，卖出后获利10元，售价是（） A.40元 B.50元 C.60元 D.70元 4. 甲乙相距120千米，甲速度25km/h，乙速度35km/h，两人相向而行，多久相遇（） A.2小时 B.3小时 C.4小时 D.5小时 5. 现有100米铁丝，围成一个长方形，长是宽的1.5倍，设宽$x$米，方程是（） A.$x+1.5\(x=\)100$ B.$\(2(x+1.5x)=100\)$ C.$x+1.5\(x=\)50$ D.$1.5x-\(x=\)100$ ## 三、判断题（每题3分，共15分） 1. 利润=售价−进价。（） 2. 打九折，就是原价乘以0.9。（） 3. 行程相遇问题，等量关系：两人路程差等于总路程。（） 4. 工程问题，总工作量一般看作单位1。（） 5. 应用题解出来的数值只要满足方程，就一定符合实际。（） ## 四、解答题（共35分） 1. 基础应用题（15分） （1）和差倍分：一个数的3倍加上10等于这个数的5倍减去8，求这个数。 （2）几何问题：长方形周长48cm，长是宽的2倍，求长方形的长和宽。 2. 综合应用题（20分） （1）行程相遇问题：A、B两地相距180千米，甲车从A地出发，速度40km/h，乙车从B地出发，速度50km/h，两车同时相向出发，经过几小时相遇？ （2）销售问题：一件商品标价200元，打八折出售后，仍然盈利40元，这件商品进价多少元？ ## 参考答案 一、填空题 1.设，验 2.40，96 3.$10x$ 4.$\dfrac{1}{10}$，$\dfrac{1}{10}x$ 5.$\(x+4\)$，$2[x+(\(x+4\))]=32$ 6.$x+2\(x=\)45$ 7.$5x-12=3x$，$6$ 8.$6+1.5(x-3)$ 9.$0.75\(x=\)90$ 10.$7t-5t=20$ 二、选择题 1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 三、判断题 1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 四、解答题 1.（1）解：设这个数为$x$ $3x+10=5x-8$ 移项：$3x-5\(x=\)-8-10$，$-2\(x=\)-18$，$\(x=\)9$。答：这个数是9。 （2）解：设宽为$x\mathrm{cm}$，长$2x\mathrm{cm}$ $\(2(x+2x)=48\)$，$6\(x=\)48$，$\(x=\)8$，长$=16\mathrm{cm}$。 答：宽8cm，长16cm。 2.（1）解：设经过$x$小时相遇。 $40x+50\(x=\)180$，$90\(x=\)180$，$\(x=\)2$。 答：经过2小时两车相遇。 （2）解：设进价$x$元。 $200\times0.8-\(x=\)40$，$160-\(x=\)40$，$\(x=\)120$。 答：这件商品进价120元。 ## 练习小结 一元一次方程的应用是本章重难点，也是期末考试大题必考内容，重点训练从文字描述提取等量关系，规范完整书写应用题解题格式。高频题型：和差倍分、几何周长面积、行程相遇、工程、销售利润。高频易错点：等量关系找反；单位没有统一；忘记检验结果是否符合现实；打折计算错误；设未知数不带单位，答句缺少单位；解方程过程符号出错。解题核心技巧：圈画题干关键词，找出表示相等的句子，翻译成等式。工程问题默认总工作量为1；相遇问题路程相加等于总路程；追及问题路程差等于初始距离。做题必须完整写六步，不要只写方程和答案。这一节是初中数学应用题的入门，后续二元一次方程、分式方程应用题都建立在此基础之上。练习时重点训练审题能力，找准等量关系式，规范书写步骤，减少审题失误丢分。 下一节：**6.1 几何图形**，同规格1212字专项练习，继续生成吗？ 冀教版（新教材）数学七年级上册 5.4 一元一次方程的应用 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 一元一次方程 学习目标 知1－讲 知识点 建立一元一次方程模型解决实际问题 1 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1) 审题，设未知数； (2) 找相等关系，列方程； (3) 解方程； (4) 检验； (5) 写出答案 . 感悟新知 2. 常见的两种相等关系 (1) 总量与分量关系问题： 总量 = 各分量的和； (2) 余缺问题： 表示同一个量的两个不同的式子相等 . 知1－讲 知1－讲 特别提醒  列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点： 1.恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一； 2. 题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择； 3.求出方程的解后要检验所求出的解是否符合实际意义 . 知1－练 某校七年级 200 名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观， 其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2 倍少 10，求到乙纪念馆参观的学生有多少名 . 例1 知1－练 解题秘方：根据分量的和等于总量列出方程，解决问题 . 甲纪念馆参观人数+乙纪念馆 参观人数 = 参观学生总数 . 知1－练 解：设到乙纪念馆参观的学生有 x 名， 则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名 . 根据题意，得 2x－10+x=200. 移项，得 2x+x=200+10. 合并同类项，得 3x=210. 系数化为 1，得 x=70. 答：到乙纪念馆参观的学生有 70 名 . 知1－练 1-1.学校从七、八、九三个年级选取学生100人担任志愿者，七年级选取了25人，九年级选取的人数是八年级选取的人数的两倍． (1) 求八年级选取的人数； 解：设八年级选取x人，则九年级选取2x人， 由题意，得25＋x＋2x＝100，解得x＝25. 答：八年级选取25人． 知1－练 (2)如果下一次学校选取志愿者，七年级的人数至少要30人，则七年级志愿者人数至少要增加百分之几？ 解：(30－25)÷25＝20%. 答：七年级志愿者人数至少要增加20%. 知1－练 一个三角形的三边长之比为 2∶ 4∶ 5，周长为 22 cm，求该三角形最长边的长 . 例2 解题秘方：未知的量若以比例的形式出现，则解决问题的关键是求出单位量，通过设单位量表示相关的量列方程 . 知1－练 解：依题意， 设三角形的三边长分别为 2x cm， 4x cm，5x cm. 根据题意，得 2x+4x+5x=22， 合并同类项，得 11x=22. 系数化为 1，得 x=2. 所以 5x=10. 答：该三角形最长边的长是 10 cm. 遇到比例问题时，一般先设每份为未知数，再用含未知数的式子表示相关的量 . 知1－练 2-1.如图，它是淇淇用44根相同的木棒拼成的一个横放的“目”字图 形，已 知AB∶ AC=5∶ 3，每根木棒的长度为3 cm，求这个图形的面积． 知1－练 解：设AB由5x根木棒组成，则AC由3x根木棒组成， 由题意，得2×5x＋4×3x＝44，解得x＝2. 所以AB＝5×2×3＝30(cm)，AC＝3×2×3＝18(cm)， 则30×18＝540(cm2)． 答：这个图形的面积为540 cm2. 知1－练 某新能源汽车生产车间有两条生产线，第一条生产线有20 人，第二条生产线有 28 人，根据市场需求情况，要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半，问应从第二条生产线调多少人到第一条生产线？ 例3 知1－练 解：设应从第二条生产线调 x 人到第一条生产线， 根据题意得 28－x= (20+x)，解得 x=12． 答： 应从第二条生产线调 12 人到第一条生产线． 解题秘方：根据“要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半”列出方程，求解即可． 知1－练 3-1. [期末·上海松江区]甲、乙两个车间工作人员的人数之比是3∶ 4，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的 ，甲车间原有多少人？ 解：设甲车间原有3x人，则乙车间原有4x人， 由题意，得2(3x－12)＝4x＋12， 解得x＝18，所以3x＝54. 答：甲车间原有54人． 知1－练 一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的 2 倍，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数小 36，求原来的两位数 . 例4 知1－练 解：设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为2x. 根据题意，得 10× 2x+x － 36=10x+2x，即 21x － 36=12x. 解得 x=4，所以 2x=8. 答：原来的两位数是 84. 解题秘方：用各数位上的数字表示原数和新数，利用两个数之间的关系列方程 . 知1－练 4-1.若一个两位数，个位与十位上的数字之和是7，其中十位上的数字比个位上的数字的3倍少1，则这个两位数是 ________． 52 知2－讲 知识点 行程问题 2 1. 行程问题中的基本关系式 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度， 速度 = 路程 ÷ 时间 . 感悟新知 知2－讲 2. 行程问题中的相等关系 (1) 相遇问题中的相等关系： ①若甲、乙相向而行，则相遇时，甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程；②若甲、乙同时出发，则相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 . (2) 追及问题中的相等关系： ①当快者追上慢者时，快者走的路程 －慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，当快者追上慢者时，快者用的时间 = 慢者用的时间 . (3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风)速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风)速，逆水(逆风)速度 = 静水(无风)速度 －水(风)速 . 知2－讲 特别提醒  1. 在行程问题的三个量(路程、速度、时间)中，一个量已知，另一个量设元，则第三个量用来列方程 . 2. 在相遇和追及问题中，若两者同时出发，则时间相等，利用两者路程之间的关系列方程. 3. 航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路线相同，路程不变 . 1.［沧州期末］甲、乙共同登同一座山，甲每分钟登高 ，并且 先出发，乙每分钟登高 ，两人同时登上山顶，则山高是 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 23 返回 2．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．乙先骑行2千米后，甲才从A地出发，甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度． 解：设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时． 由题意，得0.5×1.2x＝0.5x＋2， 解得x＝20，则1.2x＝24. 答：甲骑行的速度为24千米/时． 举一反三 24 3.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今 有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？ 译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16 钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？ 举一反三 25 （1）设买鸡的人数为 人，请完成下表： 有关量 每人出9钱 每人出6钱 出钱总数/钱 鸡的价格/钱 _________ _________ (3)若设买鸡的钱数为y钱，则列方程为______________． 返回 (2)根据等量关系，列方程为______________________． 举一反三 知2－练 甲站和乙站相距 1 500 km，一列慢车从甲站开出， 速度为 60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h. (1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距 1 800 km ？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？ 例5 知2－练 解题秘方：根据相遇和追及问题中路程之间的关系列出方程 . 解：设快车开出 x h 后两车相遇 . 由题意，得 60×( x+ )+90x=1 500.解得 x=9.8. 答：快车开出 9.8 h 后两车相遇 . (1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时后两车相遇？ 也可画线段示意图： 知2－练 解： 设 y h 后两车相距 1 800km. 由题意，得 60y+90y+1 500=1 800. 解得 y=2. 答： 2 h 后两车相距 1 800 km. (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1 800 km ？ 也可画线段示意图： 知2－练 解： 设 z h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) . 由题意，得 60z+1 500 － 90z=1 200. 解得 z=10. 答： 10 h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) . (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？ 知2－练 5-1.已知A， B两地相距500 km，甲、乙两车分别从A， B两地同时出发，相向而行．甲车的速度为60 km/h，乙车的速度为40 km/h．请按下列要求列方程解题： (1) 多少小时时甲、乙两车相遇？ 解：设x小时时甲、乙两车相遇． 根据题意，得(60＋40)x＝500，解得x＝5. 答：5小时时甲、乙两车相遇． 知2－练 (2)多少小时时甲、乙两车相距100 km ？ 解：设y小时时甲、乙两车相距100 km. ①相遇前，两车相距100 km时， 根据题意，得(40＋60)y＝500－100，解得y＝4； ②相遇后，两车相距100 km时， 根据题意，得(40＋60)y＝500＋100，解得y＝6. 答：4小时或6小时时甲、乙两车相距100 km. 知2－练 小明和哥哥早晨起来沿长为 400 m 的环形跑道练习跑 步，小明跑 2 圈用的时间和哥哥跑 3 圈用的时间相等 . 两人同时同地同向出发，结果经过 2 min 40 s 第一次相遇 . 若两人同时同地反向出发，则经过多少秒第一次相遇？ 例6 知2－练 解题秘方：可将环形的相遇或追及问题转化为直线形的相遇或追及问题 . 知2－练 解：设小明的速度为 x m/s，则哥哥的速度为 x m/s. 2 min 40 s=160 s. 由题意，得 160x=160× x － 400. 解得 x=5. 则哥哥的速度为 5× =7.5(m/s) . 设经过 y s 第一次相遇 . 由题意，得 5y+7.5y=400. 解得 y=32. 答：经过 32 s 第一次相遇 . 知2－练 6-1.有甲、乙，丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙相背而行，甲每分钟走40 m，乙每分钟走38 m，丙每分钟走35 m．在途中，甲和乙相遇后3 min和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？ 返回 4．某校组织师生外出春游．若单租45座客车若干辆，则刚好坐满；若单租60座的客车，则可以少租一辆，且余15个座位．求参加春游的师生总人数． 举一反三 37 返回 5.［唐山路南区期末］一个长方形的长减少，宽增加 后， 面积保持不变.已知这个长方形的长为 ，则它的宽为( ) D A. B. C. D. 举一反三 38 返回 6.［教材习题变式］一个底面半径为,高为 的圆柱形 大杯中存满了水，把水倒入底面直径为 的圆柱形小杯中，刚好倒 满6杯，则小杯的高为( ) C A. B. C. D. 举一反三 39 返回 7．教材P176练习T2变式有一个长、宽、高分别是15 cm，10 cm，30 cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面是边长为15 cm的正方形的长方体钢锭，求锻压后的长方体钢锭的高．(忽略锻压过程中的损耗) 解：设锻压后的长方体钢锭的高为x cm. 根据题意，得15×10×30＝15×15×x，解得x＝20. 答：锻压后的长方体钢锭的高为20 cm. 举一反三 40 返回 B 举一反三 41 返回 9.如图，根据图中给出的信息解决下面的问题：如果在只有水的杯 （如图②所示）中放入10个体积分别相同的大球、小球，要使水面上升 到 ，应放入大球、小球的个数分别是( ) B A．3、7 B．4、6 C．5、5 D．6、4 举一反三 42 返回 10.［教材习题变式］一艘轮船从地顺水航行到地用了 ，从 地逆水返回地比顺水航行多用 ，已知轮船在静水中的速度是 ，则、两地之间的距离为_____ . 120 举一反三 43 返回 11．运动场的跑道一圈长400 m，小明同学练习骑自行车，平均每分钟骑350 m；小军同学练习跑步，起初平均每分钟跑250 m．若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑30 s后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑150 m，经过多长时间首次相遇？ 举一反三 44 返回 12. 如图，一个瓶子的容积为 ，瓶内装着一 些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为 ； 当瓶子倒放时，瓶内空余部分的高度为 .现把瓶 内的溶液全部倒在一个圆柱形的杯子里，杯内的溶液 高度为 ，求： 举一反三 45 （1）瓶内溶液的体积； 解：设瓶内溶液的体积为，那么瓶内空余部分的体积为 ，依题 意，得 ，解得 . 答：瓶内溶液的体积是 . 举一反三 46 （2）圆柱形杯子的内底面面积. 解：0.8 L＝800 mL＝800 cm3. 800÷10＝80. 答：圆柱形杯子的内底面面积是80 cm2. 返回 举一反三 47 13.如图，为模拟钟面圆心，，， 在一条直线 上，指针，分别从，同时出发，绕点 按顺时针方向转动，的速度为每秒 ， 的 速度为每秒 ，当一根指针与起始位置重合时，转 C A.15 B.12 C.15或30 D.12或30 动停止，设转动的时间为秒，当 时， 的值为( ) 返回 举一反三 48 谢谢观看 THANKS ＝ 解：设这个花圃的周长是x m， 根据题意，得－＝3，解得x＝5 850. 答：这个花圃的周长是5 850 m. 解：设单租45座客车x辆，则参加春游的师生总人数为45x. 根据题意，得45x＝60－15， 解得x＝5，则45x＝225. 答：参加春游的师生总人数为225人． 8．某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可租．若设商店有x架无人机，则可列方程为(　　) A．3＝2x－9 B．3＝2x＋9 C.＋2＝ D.－2＝ 解：设经过x min首次相遇，30 s＝ min.根据题意，得350x－×250－150＝400， 解得x＝2.25. 答：经过2.25 min首次相遇． $