河南省部分高中2026-2027学年高二上学期9月联考数学试题

参照秘密级管理★启用前 参考答案类型：A 2026年河南省普通高中高二秋期9月联考 数学参考答案 1．B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 2．D 【详解】取中点，连接，，过点作，由条件可得三棱锥是正三棱锥， 所以为三棱锥的高，且为的中心，则， 所以，则． 3．C 【详解】用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4， 正四棱锥下底面为正方形，用平行于底面的平面截出的截面为正方形，剩下的几何体为正四棱台． 可得上截面的边长为2，侧面为四个全等的等腰梯形， 如图，, ,,, 侧面高为， 则棱台侧面积为. 4．C 【详解】圆台有内切球， 母线长， 求圆台的高， 圆台的体积公式， 代入，，， 即. 5．B 【分析】建立空间直角坐标系，写出点坐标，得到直线的方向向量，由向量的数量积求得平面的法向量，然后由数量积求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在直四棱柱中，， 所以如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 由题意可知， 所以，则， 平面中， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为，则. 6．A 【分析】根据斜二测画法的作图方法，先过点作轴的平行线，得到变换后原图形边上的高，再利用解三角形求得此时长度，即可得到原长． 【详解】过点作轴的平行线，交于点，再过点作轴的垂线，交于点，如图： 在直观图中，，底角为，． 在中，． 在中，． 利用斜二测画法还原出原图，作，垂足为点，如图： 由斜二测画法知． 7．D 【分析】本题考查利用坐标法求线面距，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算，从而得出平面，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用点面距的公式计算得出答案 【详解】在直三棱柱中，平面， 又， 以为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 ，即，令，， 所以平面的法向量为， ，， 又平面，平面 设直线到平面的距离为，则 . 8．D 【分析】对于A：借助线面平行判定定理与性质定理可得，再利用正方体性质及线面垂直性质定理可得，即可得；对于B：借助线面垂直性质定理与勾股定理计算即可得点轨迹，即可得其轨迹长度；对于C：将平面与平面沿展开至同一平面后，结合与形状，计算即可得；对于D：举出反例即可得. 【详解】对于A：因为平面，平面，则平面， 又因为平面平面，平面，则， 由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则有，故A正确； 对于B：由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则， 则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆位于正方形内的部分， 故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C：将平面与平面沿展开至同一平面，如下图：    则，当且仅当在线段上时，取等， ，故为正三角形， 又为等腰直角三角形，故为中点， 则，故C正确.    对于D：因为，则异面直线与所成角与直线与所成角相等， 当点与重合时，此时，故D错误. 9．ABD 【分析】由题意转化为由条件能否推出即可，各选项逐一分析可得结论. 【详解】，，即垂直内任意直线，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； ，，则可能在内，也可能与斜交，不能推出，故C错误； 因为，，则存在，，又，，所以，所以，故D正确. 10．ACD 【详解】对于A，设，即①， 是空间的一个基底，故①式无解，所以也是空间的一个基底，A正确； B选项，在三棱锥中，，B错误； C选项，异面直线所成夹角范围为， ，则异面直线与所成角的余弦值为，C正确； D选项，若空间向量与的夹角为锐角， 则且不同向共线， 其中，解得， 令，即， 故，方程组无解，所以不同向共线， 综上，实数的取值范围是，D正确 11．ABD 【分析】通过线面垂直的性质、点在面上的投影、外接球的性质以及解三角形来对选项进行求解. 【详解】因为为的中点，，所以，又有是的中点，所以， 由，可得，又，平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 由题可知，是直线与所成的角或其补角， 由平面，可得平面平面， 则点在平面上的投影在直线上，且， 当点在平面上的投影为点时，取得，故B正确； 当时，即，又，，平面， 所以平面，建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴， 则各点坐标为：， 因为是中点，，所以， 设外接球球心为，由得， 所以球心，恰好是点，外接球半径，外接球表面积 ，故C不正确； 三棱锥 的体积 , 以 为底面，点到平面 （即平面 的距离为高 )， 高 ， 在 中，分别是 的中点，所以 ，相似比为 ， 所以 ， 体积 .D正确. 12． 【详解】 13． 【详解】 如图所示，设正六棱锥外接球球心为，底面外接圆圆心为， 因为正六边形边长为，则外接圆半径， 因为正六棱锥的高为3，所以, 可得，即，解得， 则该正六棱锥的外接球的体积为. 14． 【分析】先得到四边形为等腰梯形或平行四边形，结合余弦定理可得方程，求出答案 【详解】因为，平面，平面平面， 所以，同理可得，故，， 又，，所以≌，所以， 又可能相等，也可能不等，所以四边形为等腰梯形或平行四边形， 因为，所以， 设，则， 在中，由余弦定理得， 故四边形的周长为， 所以，解得， 故 15．(1)解法1：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，，   则，，，   因为，所以，，   设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为，   可得，   又因为平面，所以平面． 解法2：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以，   由题意可知，，所以，所以，   又因为平面，平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系求坐标，计算平面法向量，证明垂直于法向量，可得线面平行；解法2：利用线段比例，证明，由线面平行判定定理证明. （2）求与平面法向量，利用公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为为的中点，所以，，   设平面的法向量为， 则令，得，，所以，   设直线与平面所成角为， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． 16．(1)证明：因为点在以为直径的半圆上（不与、两点重合），故， 又因底面，平面，有． 因为，、平面，所以平面. (2) 【分析】（1）证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知二面角的平面角为，可求出、的长，然后以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 又因为，所以二面角的平面角为，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，， 又因为，所以。 以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则、、、、、， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 17．(1)由题意知，， 因为， 则， 所以 ， 所以即. (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量基本定理用来表示，利用向量的数量积公式证明，即可证明； （2）利用模长公式计算即可求出答案. （3）利用向量的夹角公式求出，即可得答案. 【详解】（1）略. （2）由（1）知， 所以 ， 所以. （3）因为， 所以 . 又 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 18．(1)证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. (2)平面与平面的夹角为. (3)存在，. 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【详解】（1）略. （2）， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. .     平面与平面的夹角为. （3），设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 【点睛】（1）先利用长度关系证明底面，建立空间直角坐标系，线面平行证向量与平面法向量垂直； （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 19．(1) (2) (3)16 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． （2）不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； （3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． 数学参考答案　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 试题卷类型：A 2026年河南省普通高中高二秋期9月联考 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点M在z轴上，且点M到点A(1，0，2)与到点B(1，−3，1)的距离相等，则点M的坐标为 A． B． C． D． 2．在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是 A． B． C． D． 3．用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为 A．32 B．72 C． D． 4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为 A． B． C． D． 5．在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 6．由斜二测画法得到的一个水平放置的的直观图是如图所示的等腰三角形，其中，底角为，则在水平放置图中，的边上的高为 A． B． C． D． 7．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 A． B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体中，上底面内（含边界）有一动点，下列说法错误的是 A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若是上一动点，则的最小值为 D．若异面直线与所成角为，则的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，和平面，，能使的充分条件是 A．， B．， C．， D．，，， 10．下列说法正确的有 A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．在三棱锥中， C．若，则异面直线与所成角的余弦值为 D．若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11．将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，，的中点分别为，．记二面角的平面角为，下列结论正确的是 A． B．存在使得直线与所成的角为 C．当时，三棱锥的外接球表面积为 D．当时，三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则＿＿＿． 13．已知正六棱锥的底面边长为，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为＿＿＿． 14．如图，在棱长为3的正四面体中，M是棱上一点，且，过点M作平面，，且平面分别交，，于点N，G，H.若四边形的周长为7，则＿＿＿． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）如图，底面由矩形与以为直径的半圆拼接而成，已知底面，且，．点为半圆弧上的动点（不与、两点重合）． （1）证明：平面； （2）若二面角的夹角为，求平面与平面所成夹角的余弦值． 17．（15分）如图，在平行六面体中，，，，． （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19．（17分）空间直角坐标系O－xyz中，任何一个平面的方程都能表示成（其中A，B，C，D∈R，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $