精品解析：河南省周口市、开封市部分校2026-2027学年高二上学期学情检测（一）数学试题

绝密★启用前 高二上期学情检测（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以或. 5. 若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵与共面， ∴A，B，D不正确，C正确. 6. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 7. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，设，根据两点间距离公式分析求解． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，    可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2 D. 若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 10. 如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，及线性运算即可判断A；根据空间向量数量积的运算性质，及模长公式求解即可判断B，C；根据投影向量的定义求解即可判断D． 【详解】对于A，由点，分别是边和的中点，则，， 又，且点在线段上，则，则， 所以，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，即，且，，两两的夹角都为， 则， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D正确． 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AC选项，建立空间直角坐标系，利用相关公式判断AC；B选项，当与重合时，四点共面；D选项，得到平面截正方体的截面图形，并计算出面积. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 则，则， 则，，A正确； B选项，因为，所以四点共面， 故当与重合时，四点共面，故存在点，使得四点共面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 由于，故不是定值，C错误； D选项，当点运动至中点时，取的中点，连接， 则且，所以四边形为平行四边形， 平面截正方体的截面图形为平行四边形，且， 面积为，D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理，结合空间向量坐标的运算即可求解. 【详解】显然不共线， 因为向量，，共面， 所以，使得， 因为，，， 所以， 则，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 16. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 【答案】（1）， （2） 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 在中，根据空间向量的减法运算可得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 18. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，，，， 又，，. 因此，，. 【小问2详解】 ，. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在上的投影向量为. 19. 在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在梯形中，，为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 因为线段与交于点，所以为线段的中点， 所以中， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. （3）设，求得及平面的一个法向量的坐标，根据与平面所成角的余弦值列方程，求得，进而求得正确答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 平行四边形中，， 所以四边形是菱形，，垂足为， 所以， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为平面平面， 所以，即. 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在图1菱形中，， 所以， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则取，得， 平面的一个法向量为， 由图得二面角为锐角，设二面角为， 故， 【小问3详解】 假设线段上存在点使得与平面所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值为. 设， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 则取，得， ， 所以， 因为，所以， 故线段上存在点，且，使得与平面所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高二上期学情检测（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在三棱锥中，（　　） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 5. 若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2 D. 若与轴垂直，则，应满足 10. 如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 14. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 16. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 18. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 19. 在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $