专题6.4 等差数列及其前n项和（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦等差数列核心考点，通过10类题型系统覆盖基础计算、性质应用及综合问题，分层训练实现从基础到真题实战的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|10类题型（40题）|涵盖基本量计算、判定证明、性质应用、实际应用等，包含选择、填空、解答题|从定义出发，经通项公式、前n项和公式推导，到性质应用及综合问题，形成“概念-性质-应用”完整逻辑链| |分层突破|A/B/C三组|基础跟踪练夯实运算能力，培优提升练强化推理意识，真题演练对接高考应用意识|由易到难，逐步深化对等差数列本质的理解，培养数学思维与表达能力|

专题6.4 等差数列及其前n项和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1 【题型2 等差数列的判定与证明】 3 【题型3 等差数列的性质及应用】 5 【题型4 等差数列的通项公式】 6 【题型5 等差数列前n项和的性质】 8 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 10 【题型7 等差数列的实际应用及数学文化】 11 【题型8 等差数列的奇偶项问题】 14 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 16 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 18 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1．（2026·湖南永州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量. 【解答过程】设公差为，则，解得. 故选：B. 2．（2026·四川德阳·一模）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．7 D．-7 【答案】B 【解题思路】根据等差数列通项公式和前项和公式，代入题目等式条件中，求出结果即可. 【解答过程】根据等差数列性质，可知，即， 化简得，可知. 故选：B. 3．（2026·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】由等差数列的性质结合可得，然后再求得后可得公差． 【解答过程】因为，所以，解得， 又，所以， 所以公差为. 故选：A． 4．（2026·湖南郴州·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【解题思路】设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式和前项和公式可得，，解方程求，，再求可得结论. 【解答过程】设等差数列的公差为，则，， 所以，，， 因为，， 所以，， 化简可得，， 所以，， 所以， 故选：A. 【题型2 等差数列的判定与证明】 5．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【解答过程】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 6．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据充分条件和必要条件的概念，结合等差数列的通项公式可得答案. 【解答过程】当成立时，对任意的正整数，对任意的，，都有，则， 所以当时，，对任意的，都成立，所以是等差数列，故. 当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为， 则，，， ∴， 即恒成立， ∴. 综上得，是的充要条件. 故选：C. 7．（2026·福建厦门·二模）记数列的前项和为，已知． (1)证明是等差数列，并求； (2)记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用，结合等差数列的定义即可求解； （2）使用等差数列前项和公式求得，再使用裂项相消结合的取值范围即可得证. 【解答过程】（1）证明：当时，， 则， 即， 由于，所以， ，解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，得证， ； （2）证明：由（1）知，， 所以， 则 即， 又因为，所以，故得证. 8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）令，结合条件化简计算得，即可证明； （2）利用裂项相消法求和. 【解答过程】（1）证明：根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 【题型3 等差数列的性质及应用】 9．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用数列的性质得到，进而求出公差，即可求解. 【解答过程】因为，则，所以， 又，所以数列的公差为，所以， 则， 故选：B. 10．（2026·广东·模拟预测）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】D 【解题思路】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案. 【解答过程】在等差数列中，， 则. 故选：D. 11．（2026·重庆·二模）已知等差数列的前4项为，，2，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】根据等差中项可得，即可求解公差，进而利用等差数列的性质求解. 【解答过程】由题意可知，2，成等差，故，解得， 故公差， 故， 故选：A. 12．（2026·山东日照·一模）已知等差数列中，，则（    ） A．15 B．9 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，利用已知条件求出的值，进而求出所要求的式子的值. 【解答过程】在等差数列中，已知，所以，即，那么. 同样根据等差数列性质，所以. 则. 把代入可得. 故选：B. 【题型4 等差数列的通项公式】 13．（2026·北京房山·一模）已知是等差数列，且 ，则的通项公式__________. 【答案】 【解题思路】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算求出，代入通项即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由， 因代入解得， 故. 故答案为：. 14．（2026·广东湛江·一模）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解题思路】设出公差，根据，求出，得到公差，利用通项公式求出答案. 【解答过程】设的公差为， 因为， 所以， 又，故，解得，所以， 又，所以． 故答案为：. 15．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比中项列方程，求出公差，再根据等差数列通项公式求解； （2）求出的表达式，证明数列为等比数列，再根据等比数列的前项和公式求解. 【解答过程】（1）设公差为， 因为成等比数列，所以，即， 解得（舍去）， 所以； （2）由（1）可知， 所以， ，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 16．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列式求，进而可得通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以数列的通项公式. （2）因为， 则. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 17．（2026·广东深圳·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出． 【解答过程】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列， ， ，解得． 故选：C. 18．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的性质来计算求得正确答案. 【解答过程】依题意，和是等差数列， 而，故可设， 其中，所以， ， . 故选：D. 19．（2026·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得. 【解答过程】由等差数列的片段和性质知，成等差数列， 由，得该数列首项为4，公差为2， 所以. 故选：B. 20．（2026·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【解答过程】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B. 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【解答过程】由，得， 又，则， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最大. 故选：B. 22．（2026·山西临汾·二模）记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【解题思路】由题意可得数列前项全为负，从开始为正，可得结论. 【解答过程】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故. 故选：C. 23．（2026·云南大理·模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可. 【解答过程】，且公差，所以，， 所以，则，， 所以等差数列中，前10项为负数，后面都为正数， 所以前项和取得最小值时的值为10， 故选：C. 24．（2026·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【解题思路】根据等差数列前n项和公式求基本量，进而确定且，讨论n判断的值，即可得答案. 【解答过程】令数列公差为，则，即，作差可得， 所以，则，故， 当得，当得，当得， 显然，当时，时，所以有最小值， 且，当或4时，有最大值. 故选：D. 【题型7 等差数列的实际应用及数学文化】 25．（2026·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解题思路】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【解答过程】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 26．（2026·河南·二模）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废.则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先设使用年后，这台设备的价值为万元，再根据条件列出通项公式，结合题意，列出不等式，即可求解. 【解答过程】设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列. 由已知条件，得. 由于是与无关的常数，∴数列是一个公差为的等差数列. ∵购进设备的价值为220万元，∴， 于是. 根据题意，得，即， 解这个不等式组，得. ∴的取值范围为. 故选：B. 27．（2026·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 【答案】11 【解题思路】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【解答过程】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11. 28．（2026·陕西·二模）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为__________． 【答案】 【解题思路】先分析每段圆弧的圆心角都是相同的特殊角，再找出半径的规律（每次增加一个单位长度），然后利用数列的求和方法求和. 【解答过程】由题意可得每段圆弧所对的圆心角均为， 题中依次所得的圆弧其所在圆的半径成公差为1的等差数列，且第一段圆弧所在圆的半径为1， 设该等差数列为，则，等差数列通项公式为， 所以第n段圆弧所在圆的半径为， 所以恰好有7段圆弧所制作的“蚊香”的长度为. 故答案为：. 【题型8 等差数列的奇偶项问题】 29．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【解答过程】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 30．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【解答过程】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 31．（25-26高一上·江西·期中）已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求，. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】设数列的通项公式为：,根据与的关系及 （1）求解出和,即可得的通项公式； （2）分奇偶对和进行讨论，再根据 求解,. 【解答过程】（1）设数列的首项为，公差为，则. ， 由，故. 因为，所以 解得，，故. （2）当，时， , 所以. 当，时，， ， 所以 由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数. 当为奇数，为偶数时，则， 所以，，； 当为偶数，为奇数时，则，所以，，. 因为，所以，. 32．（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【解题思路】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 33．（2026高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【解题思路】利用等差数列前n项和及其性质求基本量，进而得到，再确定的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，最后由的前12项和求结果. 【解答过程】由，可得， 所以，故数列的公差，且， 所以，令，， 所以的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，且， 所以的前12项和. 故选：D. 34．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出数列的通项公式，化简的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【解答过程】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 35．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列的前项和，则的前12项和为（   ） A．48 B．112 C．80 D．144 【答案】C 【解题思路】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【解答过程】因为．所以当时，． 当时， ， 等差数列中． 为递减数列，可知 所以 ． 故选：C. 36．（25-26高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【解题思路】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 【解答过程】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C. 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 37．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 38．（25-26高二下·浙江·期中）已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知得，进而有的公差，则，应用裂项相消法求，最后由不等式恒成立求参数最小值. 【解答过程】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为. 故选：B. 39．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. 【解答过程】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 40．（2026·安徽合肥·三模）已知等差数列的前n项和为，其中，数列的前n项积为，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设为数列的前n项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设数列的公差为，列出方程组，求得，得到，，根据题意，得到，结合， 即可求解； （2）由（1），得到，转化为对任意恒成立，分n为偶数和n为奇数，两种情况讨论，即可求得实数的取值范围． 【解答过程】（1）解：设数列的公差为，则， 故，则，， 依题意，， 当时，； 当时，，可得， 综上所述，，. （2）解：由（1），可得， 故对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当n为偶数时，原式化为，即， 因为，当时，可得，所以； 当n为奇数时，原式化为，即， 因为，所以时，取值最小，故，故， 综上可得，，即实数的取值范围为． 一、单选题 1．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知为等差数列，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由等差数列的前n项和公式，可求得；由，可得，从而求得，再由等差数列的通项公式求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 所以； 又因为， 即，解得， 所以等差数列的公差， 所以. 故选；A. 2．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由题意，得，解得， 所以. 故选：A. 3．（2026·四川资阳·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 【答案】A 【解题思路】根据等差数列基本量的计算得，再根据求和公式计算即可. 【解答过程】解：设等差数列的公差为，， 所以，解得， 所以，由等差数列前项和公式得 故选：A. 4．（2026·广西·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的性质和通项公式、前项和公式进行求解即可. 【解答过程】由题意得， . 两式相减得， 解得. 因为，化简得 因为，所以由方程②可得，代入方程①可得， 因为，化简得， 解得. 故选：D. 5．（2026·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【解题思路】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【解答过程】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 6．（2026·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的求和公式可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【解答过程】由，即， 又，，成等比数列，则， 即，得， ，. , . 故选：. 7．（2026·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 【答案】C 【解题思路】由正一品的俸粮表示其他官员的俸粮，由给定和列式求出即可得解. 【解答过程】依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为， 则，解得，， 又组成新的等差数列，得，解得a=. 故选：C. 8．（2026·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】利用基本量先计算公差和，进而得和，由解得的范围，进而求解. 【解答过程】设等差数列的公差为，又，所以， 由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得， 所以， 所以， 由有，即， 解得， 所以使成立的的最大值是， 故选：C. 二、填空题 9．（2026·四川成都·一模）记为等差数列的前项和，若，，则_____________. 【答案】25 【解题思路】利用等差数列前项和公式及等差数列性质计算得解. 【解答过程】在等差数列中，由，，得. 故答案为：25. 10．（2026·河北·模拟预测）已知数列为等差数列，为的前项和，若，则_____________． 【答案】2027 【解题思路】利用等差数列性质得到，再利用求和公式 化简求值. 【解答过程】由等差数列性质知， 则． 故答案为：2027. 11．（2026·上海普陀·一模）设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 【答案】2 【解题思路】设出基本量，根据已知条件列方程组即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由得， 即，解得. 故答案为：2. 12．（2026·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为_____________. 【答案】6 【解题思路】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 所以等差数列的前项和为， 则， ，， 所以数列是等差数列，公差为. 因为，所以数列单调递减， 所以，即，所以等差数列单调递减. 因为数列单调递减，所以， 因为， ，所以. 因为等差数列单调递减，且，所以， 所以当时，取最大值. 故答案为：6. 一、单选题 1．（2026·上海闵行·一模）从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 【答案】B 【解题思路】由题意得到的通项公式，即可求解. 【解答过程】由题知：， 则，， 所以的最后一项是990， 故选：B. 2．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 【答案】B 【解题思路】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值. 【解答过程】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：B. 二、填空题 3．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第___________项． 【答案】257 【解题思路】先设公差为，再结合已知代入求解得出，进而计算公共项的通项公式计算求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由题意，当时，有，即， 所以，又， 所以， 设，得， 则，所以 ，则，得， 所以的第9项是的第257项． 故答案为：257. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，求得，再由恒成立的不等式建立不等式组求解. 【解答过程】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得 . 所以公差d的取值范围为． 故答案为：. 三、解答题 5．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列性质得出，再结合等比中项求出公差即可写出通项； （2）先化简，推导出，26项可凑成13对即可求和. 【解答过程】（1）由题知，，得， 设等差数列的公差为， 则，解得（舍去）， 所以； （2）由题知，， 所以， 所以． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)100 (3) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解即可； （2）根据等差数列的性质求最值即可； （3）利用裂项相消法求和即可． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以； （2）令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为； （3）由题知. 所以. ． 7．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 【答案】(1)， (2)8 【解题思路】（1）先求出，再得出，再利用条件得出数列的首项和公差即可； （2）利用错位相减法求出，再结合解不等式求出答案. 【解答过程】（1）因为， 所以， 当时，，两项相除得， 当时，，所以，满足式， 综上所述，， 所以，， 设数列的公差为， 则，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，所以单调递增， 因为①， ②， ①－②得， 所以， 因为，，所以， 故满足的最大正整数为8. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由； (2)若是“组差数列”，且为定值，证明：； (3)记的前项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数，使得恒成立． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这四项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【解答过程】（1）是，理由如下： 当时，， 当时，，， 所以， 所以数列是以为公差的等差数列，且， 所以是“组差数列”； （2）证明：因为是“组差数列”， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得： ， 所以，即； （3）证明：因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 对于任意正整数，均存在非负整数和整数，使得， 此时，， 设这四项中的最小值为， 因为，所以， 从而， ， 令，由对任意的实数均成立，则. 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【解答过程】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【解题思路】设该数列为，由题可得，其中 为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【解答过程】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C. 3．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解题思路】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【解答过程】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【解答过程】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D. 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D. 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D. 二、填空题 6．（2026·北京·高考真题）已知公差为的等差数列的前项和为．若，则___________，使得对所有都成立的一个的取值为___________． 【答案】；（答案不唯一，满足即可） 【解题思路】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【解答过程】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 故答案为：；（答案不唯一，满足即可） 7．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 【答案】24 【解题思路】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【解答过程】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 故答案为：. 8．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【解答过程】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 故答案为：. 9．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【解题思路】直接根据等差数列求和公式求解. 【解答过程】根据等差数列的求和公式，. 故答案为：. 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则___________. 【答案】95 【解题思路】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【解答过程】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 三、解答题 11．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【解题思路】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以. 12．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 等差数列及其前n项和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1 【题型2 等差数列的判定与证明】 2 【题型3 等差数列的性质及应用】 3 【题型4 等差数列的通项公式】 3 【题型5 等差数列前n项和的性质】 4 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 4 【题型7 等差数列的实际应用及数学文化】 4 【题型8 等差数列的奇偶项问题】 5 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 6 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 7 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 等差数列的基本量计算】 1．（2026·湖南永州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·四川德阳·一模）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．7 D．-7 3．（2026·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·湖南郴州·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 【题型2 等差数列的判定与证明】 5．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·福建厦门·二模）记数列的前项和为，已知． (1)证明是等差数列，并求； (2)记数列的前项和为，证明：． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【题型3 等差数列的性质及应用】 9．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东·模拟预测）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．18 B．15 C．12 D．9 11．（2026·重庆·二模）已知等差数列的前4项为，，2，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（2026·山东日照·一模）已知等差数列中，，则（    ） A．15 B．9 C． D． 【题型4 等差数列的通项公式】 13．（2026·北京房山·一模）已知是等差数列，且 ，则的通项公式__________. 14．（2026·广东湛江·一模）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________． 15．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求． 16．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【题型5 等差数列前n项和的性质】 17．（2026·广东深圳·二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．0 B． C． D． 18．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 19．（2026·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 20．（2026·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型6 等差数列的前n项和的最值】 21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·山西临汾·二模）记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 23．（2026·云南大理·模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最小值时的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 24．（2026·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【题型7 等差数列的实际应用及数学文化】 25．（2026·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 26．（2026·河南·二模）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废.则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（2026·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 28．（2026·陕西·二模）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为__________． 【题型8 等差数列的奇偶项问题】 29．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 31．（25-26高一上·江西·期中）已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求，. 32．（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【题型9 含绝对值的等差数列问题】 33．（2026高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 34．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列的前项和，则的前12项和为（   ） A．48 B．112 C．80 D．144 36．（25-26高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【题型10 等差数列中的恒成立问题】 37．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·浙江·期中）已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 39．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 40．（2026·安徽合肥·三模）已知等差数列的前n项和为，其中，数列的前n项积为，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设为数列的前n项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知为等差数列，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 3．（2026·四川资阳·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 4．（2026·广西·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2026·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 6．（2026·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 7．（2026·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 8．（2026·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．（2026·四川成都·一模）记为等差数列的前项和，若，，则_____________. 10．（2026·河北·模拟预测）已知数列为等差数列，为的前项和，若，则_____________． 11．（2026·上海普陀·一模）设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 12．（2026·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为_____________. 一、单选题 1．（2026·上海闵行·一模）从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 2．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 二、填空题 3．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第___________项． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为___________． 三、解答题 5．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 7．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由； (2)若是“组差数列”，且为定值，证明：； (3)记的前项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数，使得恒成立． 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 3．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 6．（2026·北京·高考真题）已知公差为的等差数列的前项和为．若，则___________，使得对所有都成立的一个的取值为___________． 7．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 8．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 9．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则___________. 三、解答题 11．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 12．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $