精品解析：河南省实验中学2026-2027学年上学期9月学情自测八年级数学

2026-2027上期阶段评估一 八年级 数学 （时间：100分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数，2.010010001⋯（相邻两个1之间依次增加1个0），，0.16，，0，，，其中无理数的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 3. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某市部分区域平面示意图，若汽车站的坐标为，图书馆的坐标为，则公园的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 8. 下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；④无限小数都是无理数；⑤有限小数都是有理数，其中正确的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ） A. 12尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 10. 在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 比较大小：_____（填“>”“=”“<”） 13. 如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 14. 如图，长方体的长，宽，高分别为6，6，12，点是棱的中点，在长方体下底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为__________． 15. 如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）请求出、、的值： （2）若是的小数部分．求的算术平方根． 18. 每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）在图1中，作一条线段，使． （2）在图2中找一格点，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 19. 在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． （1）当时，__________． （2）若，求的值． 20. 某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 高度 1.6 到风筝的水平距离 16 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 风筝的垂直高度 待测 【问题解决】 （1）图①是同学甲测量的示意图．已知点、、在同一条直线上，于点，于点，于点D．，，．求此时风筝的垂直高度； （2）如图②，若同学甲站在点不动，风筝沿竖直方向从点的位置上升到点的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ 21. 在平面直角坐标系中．三个顶点的位置如图所示． （1）直接写出点、、的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由． 22. 根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． （1）观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ （2）根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． （3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点、分别在轴与轴上．已知点坐标为，点坐标为，且，满足，为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）求点与点的坐标． （2）如图2，把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标． （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027上期阶段评估一 八年级 数学 （时间：100分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数，2.010010001⋯（相邻两个1之间依次增加1个0），，0.16，，0，，，其中无理数的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】先化简可开方的二次根式，再筛选出无理数并计数． 【详解】解：，， 其中无理数为（相邻两个1之间依次增加1个0），，，，共4个． 2. 我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 3. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形． 【详解】解：选项A：∵，∴，∴是直角三角形； 选项B：设，，，∵，，∴，∴是直角三角形； 选项C：∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形； 选项D：设，，，∵，∴，∴，∴最大角，∴不是直角三角形． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，选项A计算正确； ，选项B计算错误； 与不能合并，，选项C计算错误； ，选项D计算错误． 5. 如图是某市部分区域平面示意图，若汽车站的坐标为，图书馆的坐标为，则公园的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，掌握平面内点的坐标特征是解题的关键． 直接利用已知点坐标得出原点位置，建立平面直角坐标系，进而得到公园的坐标． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系： ∴公园的坐标为． 故选：D． 6. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 7. 在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 8. 下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；④无限小数都是无理数；⑤有限小数都是有理数，其中正确的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数与数轴的关系可判断①；根据为有理数可判断②；根据点的坐标与实数的对应关系可判断③；根据无理数的定义可判断④；根据有理数的定义可判断⑤． 【详解】解：①∵实数与数轴上的点一一对应， ∴所有实数都能用数轴上的点表示，原说法正确； ②∵为有理数， ∴带根号的数不一定是无理数，原说法错误； ③坐标平面内的点与有序实数对一一对应，原说法正确； ④∵无限循环小数是有理数， ∴无限小数不一定都是无理数，原说法错误； ⑤有限小数可化为分数，属于有理数，原说法正确； 综上，正确的说法有①③⑤，共3个． 9. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（ ） A. 12尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺和秋千的上端的端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：设绳索有x尺长， 则， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察已知点坐标，发现横坐标等于下标，纵坐标呈现周期性变化规律，根据周期性求解即可． 【详解】解：由，，，，及图形可知， 点的横坐标为， 纵坐标依次为， ∴纵坐标每6个数为一个循环周期， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，即为0， ∴的坐标为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键． 12. 比较大小：_____（填“>”“=”“<”） 【答案】 【解析】 【分析】先统一两个分数的分母，再通过比较分子的大小得到最终结果． 【详解】解：将通分可得，只需比较分子和的大小， ∵，，， ∴，不等式两边同时减得， ∴． 13. 如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（），  图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ，  将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 14. 如图，长方体的长，宽，高分别为6，6，12，点是棱的中点，在长方体下底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短及勾股定理计算不同路径的长度，比较后得出最小值． 【详解】解：将长方体表面展开，从点到点主要有两种路径情况， 第一种情况：将长方体的前面和右侧面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的高，另一条直角边为长方体的长加上的长， ∵是的中点，， ∴， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； 第二种情况：将长方体的前面和上底面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的长，另一条直角边为长方体的高加上的长， 另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； 第三种情况：将长方体的左面和上底面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的高加上长方体上底面的边长， 另一条直角边长， 根据勾股定理，路径长为； ∵， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为． 15. 如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为______． 【答案】3或6##6或3 【解析】 【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图，当时， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得：， ∴． 如图，当时，， ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为3或6． 故答案为：3或6． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）请求出、、的值： （2）若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】（1） ，， （2） 的算术平方根为 【解析】 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． 【小问2详解】 解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 18. 每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）在图1中，作一条线段，使． （2）在图2中找一格点，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 【答案】（1）解：如图： （2）解：如图： 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理计算，再画图即可； （2）根据勾股定理的含义确定的位置，再结合勾股定理的逆定理，进一步作图即可. 【小问1详解】 解：. 画图略 【小问2详解】 解：∵， ，， ，， ， ∴， ， ∴. 画图略 19. 在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． （1）当时，__________． （2）若，求的值． 【答案】（1）3 （2）4或 【解析】 【分析】（1）将代入，求出C、D的坐标，根据“纵轴距”新定义，取横坐标绝对值的最大值即可； （2）根据“纵轴距”定义，分别令两点横坐标的绝对值等于5，求出m，再回代检验，舍去不符合条件的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵点，，， ∴点C的横坐标为，点D的横坐标为， 若，解得或， ∵当时，，， ∴，符合题意； ∵当时，，， ∴，不符合题意； 若，解得或， ∵当时，，， ∴，不符合题意； ∵当时，，， ∴，符合题意； 综上，m的值为4或． 20. 某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 高度 1.6 到风筝的水平距离 16 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 风筝的垂直高度 待测 【问题解决】 （1）图①是同学甲测量的示意图．已知点、、在同一条直线上，于点，于点，于点D．，，．求此时风筝的垂直高度； （2）如图②，若同学甲站在点不动，风筝沿竖直方向从点的位置上升到点的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度是 （2）还需要放出风筝线14米 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出，即可得到答案； （2）勾股定理求出，即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵于点D． 在中，， ∴ ∵， ∴， 即此时风筝的高度是； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴； 则还需要放出风筝线14米． 21. 在平面直角坐标系中．三个顶点的位置如图所示． （1）直接写出点、、的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据图像直接写出坐标即可； （2）先过点、分别作轴于点，轴于点，再根据即可求解； （3）先根据点在轴上，设，过点分别作轴于点，再求出，结合三角形面积公式以及列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图形可知：，，． 【小问2详解】 解：如图，过点、分别作轴于点，轴于点， ∴， ∵，，， ∴． 【小问3详解】 解：由点在轴上，设， ∵， ∴， 如图，过点分别作轴于点， ∵点、点在轴上，且轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为，． 22. 根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． （1）观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且，和， 发现规律：勾为n（，且n为奇数）时有：股，弦，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式？ （2）根据（1）的规律，用n（n为奇数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，写出它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明． （3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． 【答案】（1）7，24，25的股的算式是：，弦的算式是：； （2） 当n 为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：n，，， 猜想它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； （3）股表示为，弦表示为 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【小问1详解】 解：，； ，； ∴7，24，25的股的算式为：；弦的算式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； … ∴m为勾，股表示为：；弦表示为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点、分别在轴与轴上．已知点坐标为，点坐标为，且，满足，为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）求点与点的坐标． （2）如图2，把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标． （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，可得，求得的坐标，再根据长方形的性质可得的坐标，即可解答； （2）当在上时，对折后不会落在上，可得在上，再进一步结合勾股定理求解即可； （3）分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出坐标即可． 【小问1详解】 解：根据，可得， 解得， ， 四边形是长方形， , ； 【小问2详解】 解：当在上时，对折后不会落在上， ∴在上， 结合对折可得：，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴. 【小问3详解】 解：存在， 若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图， ①当， 在中，，， 根据勾股定理得：， ，即； ②当时，此时在的垂直平分线上， ； ③当时，过点作，交于点， 在中，， 根据勾股定理得：， ，即， 综上，满足题意的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $