精品解析：河南省实验中学2025-2026学年八年级上学期1月质量检测数学试卷

2025-2026学年八年级上学期1月质量检测数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数，0，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个），，中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在下面四个描述中，小佳能准确找到剧场具体位置的是（ ） A. 西长安街 B. 人民广场北偏西方向 C. 北纬，东经 D. 距离音乐厅处 3. 下列图象可能是一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别是，边上的点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形中，、、的对边分别是，下列条件一定不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 年月日，贵阳某中学八年级班男生参加篮球运球绕杆考试，现将考试成绩制作成箱线图（如图），由图不能确定的数据是（ ）. A. 上四分位数 B. 平均数 C. 中位数 D. 最大值 7. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ） A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法 10. 某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（ ）元． A. 2048元 B. 2040元 C. 1759元 D. 1751元 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 实数4的算术平方根为_____． 12. 智能机器人可以从识别能力、决策能力、运动能力和交互能力四个维度来进行测评，如果满分分，某款机器人以上四个维度的测评分数分别为分，分，分，分，若四项得分依次按，，，的比例计算测评成绩，则该机器人测评成绩为_______． 13. 阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 14. 曲线围成的图形面积为_____． 15. 在长方形纸片中，，，如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在、边上移动，则面积的最大值为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是． （1）若点A在y轴上，求a的值． （2）若点A在第二象限，且a为整数，求点A的坐标． 18. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中从水面垂直最深处，求截面中有水部分的面积． 19. 为了激发学生的学习兴趣，某校七年级开展“数学文化史”读书活动．为了了解学生的阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查． （1）下面的抽取方法中，合理的是（ ） A．从七年级随机抽取一个班的50名学生 B．从七年级男生中随机抽取50名学生 C．按考试成绩抽取七年级的前50名学生 D．从七年级所有学生中随机抽取50名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列尚不完整的统计图表： a．每天读书时间的统计表 阅读时间/min 人数 5 17 3 合计 50 b．每天读书时间的频数分布直方图 c．每天读书时间在（单位：）这一组的是 40 41 41 42 43 43 44 45 45 45 46 47 48 48 48 49 49 根据以上信息，回答下列问题： ①统计表中的值为__________，补全频数分布直方图； ②若该校将对读书时间较长的前的学生进行表扬，需确定一个时间标准（对每天读书时间不低于的学生进行表扬），则的值为__________； ③若该校七年级共有1200名学生，估计七年级学生每天读书时间不低于的学生人数． 20. 如图，在中，． （1）（尺规作图）作的垂直平分线交于点N，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，的周长是，求的长． 21. 某校组织七年级学生到青少年实践活动基地研学旅行，已知用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若该校七年级共有300名学生，请直接写出每辆车都坐满的租车方案． 22. 一次函数 （1）若函数图象经过原点，求的值； （2）若函数图象平行于直线，求该函数的解析式； （3）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移3个单位，直接写出平移后的直线解析式． 23. 如果点M、N分别在角的两边上，且到该角平分线上的点P的距离相等，就称点M、N是关于点P的“制衡点”，而叫点P的“制衡三角形”，已知，如图，，G为平分线上一点，，交于点E，，垂足为H，． （1）求的长； （2）如果点E、D是关于点G的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点D，并求出点G的“制衡三角形”的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期1月质量检测数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数，0，，，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个），，中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求算术平方根和立方根，掌握无理数的常见形式是解答本题的关键，即①开方开不尽的数，②形如：（相邻两个2之间的0的个数依次增加1个）的无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义即可解答． 【详解】解：，， 则实数，0，，，（相邻两个1间的0的个数依次增加1个），，中，，0，，，有理数，（相邻两个1之间的0的个数依次增加1个），是无理数， 故无理数有2个， 故选：B． 2. 在下面四个描述中，小佳能准确找到剧场具体位置的是（ ） A. 西长安街 B. 人民广场北偏西方向 C. 北纬，东经 D. 距离音乐厅处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定位置的方法，确定一个点的具体位置的方法是确定点所在的方向和距离，或用有序数对，根据确定一个点的具体位置的方法判断即可． 【详解】解：A. 西长安街不能确定一个点的具体位置，故该选项错误； B. 人民广场北偏西方向不能确定一个点的具体位置，缺少距离，故该选项错误； C. 北纬，东经可以确定一个点的具体位置，故该选项正确； D. 距离音乐厅处不能确定一个点的具体位置，缺少方向，故该选项错误， 故选：C． 3. 下列图象可能是一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 4. 如图，在中，，分别是，边上的点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，结合，，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 5. 在三角形中，、、的对边分别是，下列条件一定不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义，实数的非负性即可求解． 【详解】解：、能判定三角形是直角三角形，不符合题意； 、， ∵， ∴，化简得，， ∴， ∴能判定三角形是直角三角形，不符合题意； 、， ∵， ∴，，，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； 、 根据非负性可得，， ∵， ∴能判定三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的定义，实数的非负性，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 6. 年月日，贵阳某中学八年级班男生参加篮球运球绕杆考试，现将考试成绩制作成箱线图（如图），由图不能确定的数据是（ ）. A. 上四分位数 B. 平均数 C. 中位数 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查箱线图的意义与数据特征的识别．熟悉箱线图的构成与“五数概括”：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，是解题的关键． 根据箱线图的核心作用是展示数据的五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，无法直接得到平均数，对选项进行判断即可． 【详解】解：上四分位数 (选项)：箱子的右边界对应的值； 中位数 (选项)：箱子内部的横线对应的值； 最大值 (选项)：右侧须线的端点对应的值； 平均数 (选项) ：需要所有数据的总和除以数据个数，箱线图仅展示分位数和极值，未提供每个数据的具体值，因此无法确定平均数． 故选：． 7. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数且未知数的最高次数为1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，是二元一次方程，符合题意； B．方程只含一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C．方程中项次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D．方程只含一个未知数且最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 8. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的定义和性质得，则选项B不符合题意；再证明，得，则选项C不符合题意；然后在中，由勾股定理求出，则，选项D不符合题意；进而证明不是等腰直角三角形，得，则选项A符合题意；即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ∴，故选项D不符合题意； ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 9. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ） A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法 【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答． 【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于． 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾． 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 以上步骤符合反证法的步骤． 故推理使用的证明方法是反证法． 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 10. 某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（ ）元． A. 2048元 B. 2040元 C. 1759元 D. 1751元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数最值问题．设售价为x元（），则销售量为，每个利润为，总利润，化为二次函数，因顶点不在范围内，且函数在上递增，故最大值在处． 【详解】解：设售价x元（）， ∴销售量， 每个利润， ∴总利润． ∵，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但，不在范围内， 又∵当时，函数递增， ∴在时P最大， （元）． 故选：B． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 12. 智能机器人可以从识别能力、决策能力、运动能力和交互能力四个维度来进行测评，如果满分分，某款机器人以上四个维度的测评分数分别为分，分，分，分，若四项得分依次按，，，的比例计算测评成绩，则该机器人测评成绩为_______． 【答案】86.5分 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．根据加权平均数的计算公式，计算求解即可． 【详解】解：机器人测评成绩为分， 故答案为：86.5分． 13. 阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 【答案】350 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出方程组是解题的关键． 设单人票售出x张，双人票售出y张，根据总票数和总票款列方程组，求解即可． 【详解】解：设单人票售出x张，双人票售出y张， 由题意可得：， 解得：． 所以，单人票售出350张． 故答案为：350． 14. 曲线围成的图形面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查圆的面积计算及图形的图像，理解题意，作出相应图像是解题关键． 根据题意得出图形为以点为圆心，半径为的半圆与相应三角形的组合图形，作出图形，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴图形为以点为圆心，半径为的半圆与相应三角形的组合图形，如图所示： ∴的面积为：，的面积为：， ∴第一象限的面积为：， 同理，在坐标系中围成的图形如下： ∴曲线围成的图形面积为， 故答案为：． 15. 在长方形纸片中，，，如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在、边上移动，则面积的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，轴对称的性质，勾股定理． 根据翻折的性质并结合勾股定理可求出的长度范围，因为Q在上，所以的高是定值，因此面积取最大值时，最大，即可得到． 【详解】解：∵长方形纸片中，，， ①当Q与D重合时，如图，由折叠得： ∴在中，， ②当与B重合时，如图， 由折叠得：， ∴ 综上，，即的最大值为4， ∵， ∴当取最大值4时，面积最大，为． 故答案为：6 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 【答案】（1） 3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则和消元法解方程组是解题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得，， 得，， 解得， 代入到①得，， 解得， 方程组的解为． 17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是． （1）若点A在y轴上，求a的值． （2）若点A在第二象限，且a为整数，求点A的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，求不等式组的解集，熟练掌握坐标系中点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上的点横坐标为0，列出关于a的方程，即可求出a的值； （2）根据第二象限上的点横坐标为负，纵坐标为正，列出关于a的不等式组，求出a的范围，再结合a为整数，求出a的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在y轴上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵点在第二象限， ∴， 解得， ∵a为整数， ∴或， 当时，，，此时点A的坐标为； 当时，，，此时点A的坐标为； 综上，点A的坐标是或． 18. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中从水面垂直最深处，求截面中有水部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、等边三角形的判定和性质、扇形面积公式等知识，连接，作弦，垂足为D，延长交于点C，连接，求出，证明是等边三角形，得到，则根据有水部分的面积即可求出答案． 【详解】解：连接，作弦，垂足为D，延长交于点C，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴是线段的垂直平分线 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴有水部分的面积 19. 为了激发学生的学习兴趣，某校七年级开展“数学文化史”读书活动．为了了解学生的阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查． （1）下面的抽取方法中，合理的是（ ） A．从七年级随机抽取一个班的50名学生 B．从七年级男生中随机抽取50名学生 C．按考试成绩抽取七年级的前50名学生 D．从七年级所有学生中随机抽取50名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列尚不完整的统计图表： a．每天读书时间的统计表 阅读时间/min 人数 5 17 3 合计 50 b．每天读书时间的频数分布直方图 c．每天读书时间在（单位：）这一组的是 40 41 41 42 43 43 44 45 45 45 46 47 48 48 48 49 49 根据以上信息，回答下列问题： ①统计表中的值为__________，补全频数分布直方图； ②若该校将对读书时间较长的前的学生进行表扬，需确定一个时间标准（对每天读书时间不低于的学生进行表扬），则的值为__________； ③若该校七年级共有1200名学生，估计七年级学生每天读书时间不低于的学生人数． 【答案】（1）D （2）①25， 补全频数分布直方图如下， ②46； ③七年级学生每天读书时间不低于的学生人数为人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据抽样调查的意义进行判断即可； （2）①根据总人数为50人进行求解即可；②求出前的学生人数，进而确定出t的值即可；③利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抽样调查需具有代表性和广泛性， 由题意得，A、只抽一个班，有局限性，不符合题意； B、只抽男生，有局限性，不符合题意； C、只抽成绩前50名，有局限性，不符合题意； D、从所有学生中随机抽 50 名合理，符合题意； 故选D； 【小问2详解】 解：①∵总人数为50， ∴， 故答案为：25； ②由题意得前的学生数为人， ∴读书时间较长的组是“”：17人，“”：3人，总共有20人，需要从这20人中选读书时间最长的10人， ∴将“”的具体数据从大到小排列为 49、49、48、48、48、47、46、45、45、45、44、43、43、42、41、41、40 ，结合“”的3人， ∴第10个数据为46， ∴， 故答案为：46； ③∵样本中“不低于”的人数为， ∴占总人数的比例为． ∵七年级共1200名学生， ∴估计人数为人． 20. 如图，在中，． （1）（尺规作图）作的垂直平分线交于点N，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，的周长是，求的长． 【答案】（1） 如图，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线、垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴． 21. 某校组织七年级学生到青少年实践活动基地研学旅行，已知用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若该校七年级共有300名学生，请直接写出每辆车都坐满的租车方案． 【答案】（1）每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 （2）方案1：15辆小客车；方案2：6辆小客车和4辆大客车 【解析】 【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，列出方程组进行求解即可； （2）设租用小客车辆，大客车辆，列出二元一次方程，求出非负整数解即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生， 依题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生． 【小问2详解】 设租用小客车辆，大客车辆，由题意，得：，且均为非负整数， ∴； ∴有两种方案：方案1：15辆小客车；方案2：6辆小客车和4辆大客车． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出二元一次方程和方程组． 22. 一次函数 （1）若函数图象经过原点，求的值； （2）若函数图象平行于直线，求该函数的解析式； （3）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移3个单位，直接写出平移后的直线解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数定义得出，又因为一次函数经过原点，把原点坐标代入，由此即可求解； （2）因为两条直线，则比例系数相等，由此即可求解； （3）根据函数图象平移规律“上加下减”，即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数图象经过原点， ∴把代入一次函数中得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的值为； 【小问2详解】 解：∵函数图象平行于直线， ∴， ∴， ∴， ∴该函数的解析式为； 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，， ∴原函数解析式为：， ∵将函数的图象向下平移3个单位， ∴平移后的直线解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，两条直线平行，一次函数的性质和平移规律等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 如果点M、N分别在角的两边上，且到该角平分线上的点P的距离相等，就称点M、N是关于点P的“制衡点”，而叫点P的“制衡三角形”，已知，如图，，G为平分线上一点，，交于点E，，垂足为H，． （1）求的长； （2）如果点E、D是关于点G的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点D，并求出点G的“制衡三角形”的周长． 【答案】（1） （2） 解：如图，在上截取，而， ∴，而， ∴， ∴点D，即为所求． 连接． 由题意，点E、D是关于点G的“制衡点”， ∵，而， ∴是等边三角形， ∴的周长为6； 当时， 同理：为等边三角形，而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 综上所述，点G的“制衡三角形”的周长为6或． 【解析】 【分析】（1）在上取一点D，使得．利用全等三角形的性质证明即可； （2）分两种情形：D在线段或在的延长线上两种情形分别求解． 【小问1详解】 解：在上取一点D，使得． ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $