精品解析：北京市第一七一中学2026-2027学年度第一学期阶段考试高一数学试题

北京市第一七一中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高一数学 考试时间：120分钟　总分150分 一、单项选择题（本题有10道小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，则. 2. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，若，由不等式可得；B、C可举出反例；D选项，两边平方得. 【详解】A选项，若，，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，，则，，B错误； C选项，设，满足，则，，C错误； D选项，两边平方得，D正确. 故选：D 4. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 5 B. 8 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】必含元素，剩余可选元素为，每个元素可选或不选，共种. 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 6. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 7. 已知集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得集合P，由得即可求出a的范围. 【详解】解不等式得，即， 而，，于是得，则， 所以a的取值范围是. 故选：C 8. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由条件推出是的子集，所以中元素只能等于或，解方程后，利用集合元素互异性检验，舍去造成重复的，得到最终取值． 【详解】由，都有成立，得， 当时，解得或， 若，则，，符合题意； 若，则，，符合题意； 当时，解得，此时，显然不满足集合元素的互异性， 综上，的取值为或． 9. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，解得， 又，故， 因为，即中所有大于等于的元素， 若恰有个元素，只能是最大的三个， 包含，则，不包含，则，故， 所以实数的取值范围是. 10. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 二、填空题（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 11. 设命题：，，则命题的否定为_________． 【答案】 ， 【解析】 【详解】因为命题：，，则命题的否定为，. 12. 设，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，则，， 可得，所以的取值范围是. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】应用基本不等式即可得出最小值. 【详解】因为且, 所以, 当且仅当，即时取等最小值. 故答案为： 14. 不等式的解集是_____. 【答案】{或}. 【解析】 【分析】整理可得，化分式为整式并结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为，整理可得， 等价于，解得或， 所以不等式的解集是{或}. 故答案为：{或} 15. 对于非空数集, 定义表示该集合中所有元素之和. 给定集合=, 定义集合，则集合中的元素个数为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】 因为，所以的最小值为2，最大值是中所有元素之和为14，再将不可能的取值剔除即可 【详解】解：因为，所以的最小值为2，的最大值是中所有元素之和为14，但是，，也就是无法取到13，所以中的元素有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14，共12个 故答案为：． 三、解答题（本题有5小题，每题15分，共75分） 16. 已知集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集与补集的概念计算即可； （2）根据交集的概念分类讨论即可. 【小问1详解】 解不等式得，即， 当时，， 所以； 【小问2详解】 若，即时显然符合题意； 若，此时， 要满足题意需或，即或； 综上所述实数m的取值范围为：. 17. （1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（i），； （ii）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据不等式的解集得出对应方程的解，由根与系数的关系求出a、b的值；（ii）不等式可化为，讨论c与2的大小，即可求出不等式的解集； (2讨论和，即可求出不等式恒成立时a的取值范围． 【详解】（1）（i）不等式的解集为， 所以1和b是方程的解，且, 即得，解得，； （ii）不等式可化为，即， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2）当时，不等式化为，对任意实数x恒成立； 当时，应满足，解得， 综上，a的取值范围是 18. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）， （2）所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 19. 已知关于，的方程组，其中. （1）当时，求该方程组的解集； （2）证明：无论为何值，该方程组至少有一组实数解； （3）记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2） 已知，其中，消去得，整理得. 当，即时，，即， 解得，则该方程组有一组实数解； 当，即时，， 则方程有两个不同实数解，因此该方程组有两组不同实数解. 综上，无论为何值，该方程组至少有一组实数解. （3） 是定值，理由如下. 由已知该方程组的两组不同的解，即一元二次方程有两个不同的解. 所以，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）消去求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解集. （2）消去，分类讨论所对应的一元二次方程的解的情况，再结合判别式判断方程解的情况即可. （3）利用韦达定理得到，进而得到，再代入即可求得代数式的值. 【小问1详解】 当时，方程组为，消去得，整理得，即， 解得，所以， 故方程组的解集为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． （1）若集合，直接写出所有满足条件的集合； （2）已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 【答案】（1），，，； （2）（ⅰ）又，，，， 由①知，，， 由②知，， （ⅱ）因为中至少有个元素，， 不妨设，其中，互不相等的整数， 则，且， 所以中至少存在两个正整数， 不妨设，，，又， 由①知，，，， 由②知，，， 故由，，，，可推出， 同理由可推出，， 由，可推出， ， 所以对于大于等于的正整数，都属于， 因为， 由（ⅰ），，，， 所以任意的正整数都属于， 所以. 【解析】 【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（ⅰ）由条件先证明，再证明， （ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明. 【小问1详解】 因为，又，且，总有， 所以，即， 设，由，且，总有， 可得， 所以或或， 但， 所以满足条件的集合有，，，； 【小问2详解】 略 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高一数学 考试时间：120分钟　总分150分 一、单项选择题（本题有10道小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 5 B. 8 C. 6 D. 7 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 7. 已知集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 9. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 二、填空题（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 11. 设命题：，，则命题的否定为_________． 12. 设，，则的取值范围是_________． 13. 已知，，且，则的最小值为______. 14. 不等式的解集是_____. 15. 对于非空数集, 定义表示该集合中所有元素之和. 给定集合=, 定义集合，则集合中的元素个数为__________. 三、解答题（本题有5小题，每题15分，共75分） 16. 已知集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围. 17. （1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 18. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 19. 已知关于，的方程组，其中. （1）当时，求该方程组的解集； （2）证明：无论为何值，该方程组至少有一组实数解； （3）记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 20. 已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． （1）若集合，直接写出所有满足条件的集合； （2）已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $