第二章 直线和圆的方程 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学第二章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 2．过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 6．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 7．若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 8．若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 10．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 11．已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 三、填空题 12．直线与直线之间的距离为_______. 13．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 14．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 四、解答题 15．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 16．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 17．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线：（）与圆相交于，两点，且，求． 18．已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学第二章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所以直线的斜率， 因，则直线的倾斜角． 2．过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 3．若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 【答案】D 【详解】∵平面内两条直线平行， ∴，解得或2． 时的方程为，的方程为，两条直线重合． 时的方程为，的方程为，两条直线平行． 因此． 4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 5．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 6．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 7．若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】将代数式转化为单位圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合圆心到直线的距离公式列方程求解斜率最大值. 【详解】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图象可知的最大值为. 故选：D 8．若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【详解】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】应用点线距离公式求点线距离判断A，将点代入直线方程确定等式是否成立判断B，先求出坐标轴上的截距，进而求出围成的三角形的面积判断C，应用两点式求斜率，结合直线方程判断两直线是否垂直判定D. 【详解】A：由题设，原点到直线的距离为，对， B：由， 所以任意，点在直线上，对， C：令，则， 令，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对， D：由原点与点所成直线的斜率为， 而直线的斜率为，显然其不与直线垂直， 所以原点与点不关于直线对称，错. 故选：ABC 10．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BCD 【分析】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【详解】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 11．已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 三、填空题 12．直线与直线之间的距离为_______. 【答案】 【分析】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 13．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 14．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 四、解答题 15．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 【答案】(1) (2)，圆心为，半径为． 【分析】（1）先求出的中点的坐标，进而利用两点斜率公式求得中线的斜率，最后利用点斜式直线方程求解即可； （2）设出圆的方程，将点的坐标代入求解圆的方程，然后化为圆的标准方程，即可求得圆心和半径. 【详解】（1）由题意得的中点为，， 所以边上的中线所在的直线方程为，即． （2）设所求圆的方程为， 则 解得，，， 所以该圆的方程为， 又化为标准方程为， 所以该圆的圆心为，半径为． 16．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或； (2)相交； 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 17．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线：（）与圆相交于，两点，且，求． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据点在圆上，点到圆心的距离相等建立关于的方程并求解即可； （2）根据点到直线的距离公式和弦心距建立关于的方程，求解即可. 【详解】（1）设，因为圆心在直线上，所以．① 因为圆经过点和，所以圆心到点，的距离相等， 所以，展开并化简得．② 联立①②，解得，，所以圆心． 因为圆心和点均在直线上， 所以半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到的距离为， 则，即，得． 由点到直线的距离公式得． 所以，两边平方，整理得， 解得或． 18．已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． (2)或 (3)的最小值为16，此时直线的方程为 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. （3）由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 19．已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 试卷第1页（共3页） / 学科网（北京）股份有限公司 $