第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（二）--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（二） 满分 150 分　考试时间 120 分钟 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点 、，则直线 的倾斜角为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2．已知直线 过点 ，且它在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为（　　） A．　　　　 B．　　　　 C． 或 　　　　 D． 或 3．已知点 、，直线 过点 ，且点 、 到直线 的距离相等，则直线 的方程为（　　） A．　　　　 B．　　　　 C． 或 　　　　 D． 或 4．若方程 表示一个圆，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A．　　　　 B．　　　　 C． 或 　　　　 D． 或 或 6．已知圆 与圆 ，则两圆的公共弦长为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7．已知圆 ，直线 ，点 为直线 上的动点，过点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8．已知圆 与两点 、，点 为圆 上的动点，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．如图 1，已知直线 与 交于点 ，则下列结论正确的是（　　） A．　　　　 B．点 的坐标为 　　　　 C．坐标原点 到直线 的距离为 　　　　 D．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 图 1 10．已知圆 ，点 ，直线 过点 且与圆 交于两点，则下列结论正确的是（　　） A．点 在圆 内　　　　 B．直线 与圆 恒有两个公共点　　　　 C．直线 被圆 截得的弦长的最大值为 　　　　 D．直线 被圆 截得的弦长的最小值为 11．已知点 ，圆 ，点 为圆 上的动点，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 　　　　 B． 的最大值为 　　　　 C．过点 作圆 的切线，切线长为 　　　　 D．过点 作圆 的切线有且只有两条 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知直线 与 交于点 ，则点 关于直线 的对称点的坐标为＿＿＿＿＿． 13．已知圆 的圆心在直线 上，且圆 与 轴相切于点 ，则圆 的方程为＿＿＿＿＿． 14．已知直线 与圆 交于 、 两点，若 ，则实数 的值为＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）如图 2，已知点 、，点 在 轴上，且 。 图 2 （1）求线段 的垂直平分线的方程。 （2）求点 的坐标。 （3）求 的面积。 16．（15 分）已知圆 ，直线 （）。 （1）证明：无论 取何实数，直线 恒过定点，并求出该定点的坐标。 （2）求直线 被圆 截得的弦长的最大值，并求此时直线 的方程。 （3）若直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程。 17．（15 分）如图 3，已知圆 ，点 ，过点 的直线与圆 交于 、 两点。 图 3 （1）判断点 与圆 的位置关系。 （2）求过点 的圆 的切线方程。 （3）求 面积的最大值。 18．（17 分）如图 4，已知圆 ，点 ，过点 的直线 与圆 交于 、 两点， 为弦 的中点。 图 4 （1）求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。 （2）求 的最小值及此时直线 的方程。 （3）求 的值。 19．（17 分）如图 5，已知圆 ，点 。 图 5 （1）求过点 的圆 的切线方程。 （2）若过点 的直线与圆 交于 、 两点，求 的最大值及此时直线的方程。 （3）点 为圆 上的动点，求 面积的最大值。 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．【答案】B　【解析】由 、 得直线 的斜率 设直线 的倾斜角为 （），则 ，所以 。 2．【答案】C　【解析】分两种情况。 （ⅰ）当直线 在两坐标轴上的截距都为 ，即 过原点时，设 ，代入 得 ，此时 。 （ⅱ）当直线 在两坐标轴上的截距相等且都不为 时，设 （），代入 得 ，即 ，此时 。 所以直线 的方程为 或 。 3．【答案】C　【解析】由 。点 、 到直线 的距离相等，有两种情形。 （ⅰ）：此时 ，又 过点 ，故 ，即 。检验：、 到 的距离分别为 、，相等。 （ⅱ） 过线段 的中点： 的中点为 ，它与 的横坐标相同，故 。检验：、 到 的距离都是 ，相等。 所以直线 的方程为 或 。 4．【答案】A　【解析】将方程配方得 。 方程表示圆，需 ，即 ，所以实数 的取值范围是 。 5．【答案】C　【解析】圆 的圆心为 ，半径 。 （ⅰ）当切线的斜率不存在时，设切线为 。因为它过点 ，所以 ；而圆心 到 的距离为 ，故 是切线。 （ⅱ）当切线的斜率存在时，设切线为 ，即 ，则 两边平方得 ，即 ，解得 ，此时切线为 ，即 。 所以切线的方程为 或 。 6．【答案】B　【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 。 两圆的圆心距 ，满足 ，所以两圆相交。 将两圆方程相减：，得 ，即公共弦所在直线的方程为 。 圆心 到该直线的距离 ， 所以公共弦长 。 7．【答案】B　【解析】设 （ 为圆心），因为 与圆相切，所以 ，当 最小时 最小。 的最小值等于圆心 到直线 的距离，即 。 所以 。 8．【答案】B　【解析】设 。因为 、 的中点是原点 ，所以 要使 最小，只需 最小。而点 在圆 上，，所以 。 于是 的最小值为 。 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9．【答案】ACD　【解析】 A： 的斜率 ， 的斜率 ，因为 ，所以 ，正确。 B：由 解得 ，，即 ，错误。 C：原点 到直线 的距离 ，正确。 D：直线 在两坐标轴上的截距都是 ，与两坐标轴围成的三角形面积为 ，正确。 10．【答案】ABC　【解析】 A：，所以点 在圆 内，正确。 B：过圆内一点的直线必与圆相交于两点（此时圆心到直线的距离小于半径），正确。 C：当过点 的直线经过圆心 时，截得的弦长为直径 ，为最大值，正确。 D：设圆心 到直线 的距离为 ，则弦长 。由 B 知 在圆内，故 ，弦长的最小值为 ，错误。 11．【答案】ABD　 【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，且 ，所以点 在圆外。 A：，正确。 B：，正确。 C：过点 的切线的切线长为 ，错误。 D：点 在圆外，过点 的切线有且只有两条，正确。 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．【答案】　 【解析】由 解得 ，，即 。 设点 关于直线 的对称点为 。因为线段 的中点在直线 上，且 与该直线垂直（该直线的斜率为 ，故 ），所以 即 ，解得 ，。 所以点 关于直线 的对称点的坐标为 。 13．【答案】　 【解析】设圆心为 。 因为圆 与 轴相切于点 ，所以圆心 在过点 且垂直于 轴的直线 上，即 ，且半径 。 又圆心在直线 上，所以 ，。 所以圆 的方程为 。 14．【答案】　 【解析】直线 的方程可化为 ，圆 的圆心为 ，半径 。 设圆心 到直线 的距离为 ，由 ，得 ， 即 。 又 ，所以 ，即 ，解得 。 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分） （1）因为 ，所以线段 的垂直平分线的斜率为 。又线段 的中点为 ，所以垂直平分线的方程为 ，即 。……（4 分） （2）点 在 轴上且 ，所以点 是直线 与 轴的交点。令 ，得 ，所以 。……（4 分） （3）因为 ， 直线 的方程为 ，即 ， 点 到直线 的距离 ， 所以 的面积 。……（5 分） 16．（15 分） （1）将直线 的方程按 整理得 。 令 ，解得 ，。 因为当 ， 时， 对任意实数 都成立，所以直线 恒过定点 。……（5 分） （2）圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 。 由（1）知直线 恒过定点 ，且 ，所以点 在圆 内，直线 与圆 恒有两个交点。 设圆心 到直线 的距离为 ，则弦长 ，当 最小时弦长最大，且 ，此时直线 经过圆心 ，弦长为直径 。 由 ，得此时直线 的方程为 ，即 。……（5 分） （3）由 得 ，即 。 又 所以 ，即 ，解得 或 。 当 时，，即 ；当 时，，即 。 所以直线 的方程为 或 。……（5 分） 17．（15 分） （1）圆 的圆心为 ，半径 。因为 ，所以点 在圆 外。……（3 分） （2）因为点 在圆 外，所以过点 的圆 的切线有两条。 （ⅰ）当切线的斜率不存在时，设切线为 。因为它过点 ，所以 ；而圆心 到 的距离为 ，故 是切线。 （ⅱ）当切线的斜率存在时，设切线为 ，即 ，则 即 ，两边平方得 ，解得 ，此时切线为 。 所以过点 的圆 的切线方程为 或 。……（6 分） （3）设圆心 到直线 的距离为 （），则 ，于是 当且仅当 ，即 时取等号（因为 且 ，所以这样的直线 存在）。 所以 面积的最大值为 。……（6 分） 18．（17 分） （1）因为 为弦 的中点，所以 。又点 在直线 上，所以 ，即 ，于是点 在以 为直径的圆上。 以 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，所以 反之，设点 是该圆上任意一点。当 时，取直线 ，它被圆 截得的弦是直径，中点为 ，符合要求；当 时，因为 ，所以过点 且与 垂直的直线必经过点 ，又 ，故该直线与圆 相交于两点，且 为该弦的中点。 所以点 的轨迹是以 为直径的圆，其方程为 。……（6 分） （2）设 ，则 ，当 最大时 最小。 因为 （当且仅当 与 重合，即 时取等号），所以 。 此时 ，所以 ，直线 的方程为 ，即 。……（5 分） （3）因为 ，所以点 在圆 内，从而点 在线段 上。 设 ，则 ，且在 中 ，故 。 于是 。 所以 的值为 。……（6 分） 19．（17 分） （1）圆 的圆心为 ，半径 。因为 ，所以点 在圆 外，过点 的圆 的切线有两条。 （ⅰ）当切线的斜率不存在时，设切线为 。因为它过点 ，所以 ；而圆心 到 的距离为 ，故 是切线。 （ⅱ）当切线的斜率存在时，设切线为 ，即 ，则 即 ，两边平方得 ，解得 ，此时切线为 ，即 。 所以过点 的圆 的切线方程为 或 。……（6 分） （2）当过点 的直线经过圆心 时，截得的弦 最长，最大值为直径 。 此时直线即为直线 ，由 ，得直线方程为 ，即 。……（5 分） （3）因为直线 经过圆心 ，所以点 到直线 的距离 ，当且仅当 时取等号。 又 ，所以 所以 面积的最大值为 。……（6 分） 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（二） 满分 150 分　考试时间 120 分钟 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知点 、，则直线 的倾斜角为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2．已知直线 过点 ，且它在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为（　　） A．　　　　 B．　　　　 C． 或 　　　　 D． 或 3．已知点 、，直线 过点 ，且点 、 到直线 的距离相等，则直线 的方程为（　　） A．　　　　 B．　　　　 C． 或 　　　　 D． 或 4．若方程 表示一个圆，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5．过点 作圆 的切线，则切线的方程为（　　） A．　　　　 B．　　　　 C． 或 　　　　 D． 或 或 6．已知圆 与圆 ，则两圆的公共弦长为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7．已知圆 ，直线 ，点 为直线 上的动点，过点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8．已知圆 与两点 、，点 为圆 上的动点，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．如图 1，已知直线 与 交于点 ，则下列结论正确的是（　　） A．　　　　 B．点 的坐标为 　　　　 C．坐标原点 到直线 的距离为 　　　　 D．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 图 1 10．已知圆 ，点 ，直线 过点 且与圆 交于两点，则下列结论正确的是（　　） A．点 在圆 内　　　　 B．直线 与圆 恒有两个公共点　　　　 C．直线 被圆 截得的弦长的最大值为 　　　　 D．直线 被圆 截得的弦长的最小值为 11．已知点 ，圆 ，点 为圆 上的动点，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 　　　　 B． 的最大值为 　　　　 C．过点 作圆 的切线，切线长为 　　　　 D．过点 作圆 的切线有且只有两条 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知直线 与 交于点 ，则点 关于直线 的对称点的坐标为＿＿＿＿＿． 13．已知圆 的圆心在直线 上，且圆 与 轴相切于点 ，则圆 的方程为＿＿＿＿＿． 14．已知直线 与圆 交于 、 两点，若 ，则实数 的值为＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）如图 2，已知点 、，点 在 轴上，且 。 图 2 （1）求线段 的垂直平分线的方程。 （2）求点 的坐标。 （3）求 的面积。 16．（15 分）已知圆 ，直线 （）。 （1）证明：无论 取何实数，直线 恒过定点，并求出该定点的坐标。 （2）求直线 被圆 截得的弦长的最大值，并求此时直线 的方程。 （3）若直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程。 17．（15 分）如图 3，已知圆 ，点 ，过点 的直线与圆 交于 、 两点。 图 3 （1）判断点 与圆 的位置关系。 （2）求过点 的圆 的切线方程。 （3）求 面积的最大值。 18．（17 分）如图 4，已知圆 ，点 ，过点 的直线 与圆 交于 、 两点， 为弦 的中点。 图 4 （1）求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。 （2）求 的最小值及此时直线 的方程。 （3）求 的值。 19．（17 分）如图 5，已知圆 ，点 。 图 5 （1）求过点 的圆 的切线方程。 （2）若过点 的直线与圆 交于 、 两点，求 的最大值及此时直线的方程。 （3）点 为圆 上的动点，求 面积的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $