精品解析：江苏泰州市姜堰区第一教研站四校联考2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

九年级数学独立作业 一．选择题（共18分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是整理后形如其中的整式方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 4. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵ ， ∴ ； ∵ ，，且 ， ∴ ，，且 ； 又 ∵ ，， ∴ ． 故选：D． 5. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 二、填空题（30分） 7. 如果是方程的一个根，那么c的值是________． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解求参数，理解一元二次方程解的定义是解题的关键．将代入方程求解 c 的值． 【详解】解： 是方程的一个根， ∴ 代入方程得：，即 ， 解得 ． 故答案为 ：3． 8. 若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 9. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】已知,是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ,是方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ∴ ． 10. 若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】需满足两个条件：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是有实数根要求根的判别式大于等于0，分别求解后取交集即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵原方程有实数根， ∴， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况：当圆周角所对的弧是劣弧时，当圆周角所对的弧是优弧时，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：当圆周角所对的弧是劣弧时， 则这条弦所对的圆周角为：， 当圆周角所对的弧是优弧时， 则这条弦所对的圆周角为：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角，分类讨论思想解决问题是解题的关键． 14. 如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 15. 如图，正方形的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点B的坐标，过点A作轴于点，点C作轴于点，构造全等三角形，得到，再证明，设，则,得到，根据反比例函数的值相等列方程求解即可. 【详解】解：在中，令，则，令，则， ∴，直线与轴交点为， ∴， 过点A作轴于点，过点C作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∴， ∴， ∵点A，点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数解析式是． 16. 如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接，利用勾股定理求出和的长，当点在的延长线上时，的长度最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，连接， 的半径为4， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 当点在的延长线上时，的长度最小，最小值， 故答案为：． 三、解答题（102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握基本解法是解题的关键． （1）开平方法求解； （2）公式法求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得或， ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴， ∴或， ∴原方程的解为：，． 18. 已知y是的反比例函数，当时，． （1）求出这个反比例函数的表达式． （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义，设，进而代值求解即可； （2）将代入中求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设， 将，代入，得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 20. 如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； （2） 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质． （1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 21. 如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． （1）如图1，若，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1）5 （2）证明：如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先证明，再在中由勾股定理解得，可得的长度，即可获得答案； （2）过点作于点，证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴在中，可得，即， ∵，且， ∴， 解得，即的半径为5； 【小问2详解】 略 23. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 24. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为； （2）恒温系统设定恒温为20°C； （3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【解析】 【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式； （2）观察图象可得； （3）代入临界值y=10即可． 【小问1详解】 解：设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（2，14）， 代入得， 解得， ∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）． ∵B在线段AB上当x=5时，y=20， ∴B坐标为（5，20）， ∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）， 设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）， ∵C（10，20）， ∴k2=200． ∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）， ∴y关于x的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C； 【小问3详解】 解：把y=10代入y=中，解得x=20， ∴20-10=10． 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标． （3）已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的函数表达式为 （2）点的坐标为 （3）点的坐标为、、 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数解析式求解、一次函数解析式求解、最短路径问题、平行四边形的判定等知识． （1）用反比例函数图象上点的坐标特征求反比例函数解析式后求的坐标，然后设一次函数解析式，代入坐标解方程组，得到直线的表达式； （2）作关于轴的对称点，求直线与轴的交点，即为点； （3）求的坐标，设的坐标，分“为对角线、为对角线、为对角线”三种情况，利用平行四边形“对角线中点重合”的性质列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点， ∴代入得，即反比例函数为． ∵点在上且纵坐标为4， ∴把代入，得，即． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在轴上，要使最小， ∴如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，，即直线为． ∵点在轴上， ∴把代入，得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵关于轴的对称点为， ∴； ∵关于轴的对称点为， ∴． 设，，分三种情况： ①以为对角线 ∵平行四边形对角线中点重合，中点为，中点为， ∴，，解得，此时； ②为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时； ③为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时． 综上所述，点的坐标为、、． 26. 问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． （1）请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： （2）若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： （3）将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）推导过程如下： ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴在中，可得，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3），理由如下： 如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，同理可得：点在上， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，进而可得为等腰直角三角形，由勾股定理可得，进而可知，然后结合，，即可证明结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，易得，进而可得；证明为等腰直角三角形，可得，结合，即可获得答案； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，结合旋转的性质以及翻折的性质，易得，进而由勾股定理可得，进一步可得；证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径，为的中点， ∴，， 如下图，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴在上， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学独立作业 一．选择题（共18分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（30分） 7. 如果是方程的一个根，那么c的值是________． 8. 若是反比例函数，则的值为_________． 9. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是____． 10. 若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 13. 一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角为______． 14. 如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____ ． 15. 如图，正方形的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为______． 16. 如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为________． 三、解答题（102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知y是的反比例函数，当时，． （1）求出这个反比例函数的表达式． （2）当时，求y的值． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 20. 如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 21. 如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． （1）如图1，若，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 23. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 24. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标． （3）已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． （1）请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： （2）若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： （3）将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $