江苏省南京市鼓楼区2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学练习卷

2026-2027学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）第一次月数学练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，关于的一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是  (    ) A. B. C. D. 3.已知的半径为，点在外，则的长可能是(    ) A. B. C. D. 4.下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有(    )三点确定一圆相等的圆心角所对的弧相等平分弦的直径平分弦所对的两条弧三角形的外心到三个顶点的距离相等 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.若点，，在反比例函数图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示图象在第二象限，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若，则          ． 10.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：成反比例函数关系，它的图象如图所示当电流从增加到时，电阻小了        11.如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为        ． 12.如图，在中，，则的度数为        ． 13.如图，内切于四边形，且，，则四边形的周长        ． 14.如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为        ． 15.已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 16.如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是        ． 17.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 18.如图，是的直径，弦半径于点，为直径上一动点，若为的中点，，则的最小值是        ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 19.如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地，边的长不超过墙的长度，在边上开设宽为的门门不需要消耗篱笆设的长为，的长为 若围成矩形劳动基地三边的篱笆总长为，求和的长度 若和的长都是整数单位：，且围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于，请直接写出所有满足条件的围建方案 四、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 解下列方程： 21.本小题分 如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； 若方程的两根一正一负，求的取值范围． 23.本小题分 内接于，且点，，，均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图 在图中找一个格点点不与点重合，画出，使 在图中的圆上找一点，使得平分 24.本小题分 已知一根铁丝的长度为． 将它围成一个面积为的矩形，求矩形的长与宽 这根铁丝能围成面积为的矩形吗？通过计算说明理由 25.本小题分 已知直线与双曲线相交于点，求反比例函数的解析式． 26.本小题分 如图，是的直径，与交于点，的平分线交于点，，垂足为，， 求证：是的切线 求的半径 连接，则的长为        27.本小题分 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 直接写出方程的衍生点的坐标为______； 已知关于的方程． 求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； 求该方程衍生点的坐标； 已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求，的值． 28.本小题分 今年五一黄金周，我市大纵湖旅游景区东晋水城吸引了众多游客晓晓同学看见了一个圆形小池塘，她站在小池塘的外部思考一个问题，你能帮她解决吗？ 如图，已知是外一点用两种不同的方法过点作一条直线与相交于、两点，使得要求： 用无刻度的直尺和圆规作图； 保留作图痕迹． 游览来到城墙边，晓晓看见有两个工人在交流施工方案，询问后才发现工人师傅遇到了一个困难，在城墙的同侧有，两个建筑物，施工单位在城墙边缘确定点，铺设两条直路与，要求这两条路的长度之和最短，因施工单位测量工具的限制只能在城墙的一侧规划线路与施工你能帮工人师傅解决吗？请用无刻度的直尺和圆规画出点，并简要说明点的位置是如何找到的． 路过一个正方形小菜园，晓晓突发奇想，只有一把无刻度的直尺，还能帮助我们解决问题吗？如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上，在如图所示的网格中，是边上任意一点，以为中心，取旋转角等于，把点顺时针旋转，点的对应点为，当最短时，请仅用无刻度的直尺，画出点，并说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：整理得，符合一元二次方程定义；是分式方程，不符合；未明确，不符合；为一元一次方程，不符合。故选A。 2.【答案】  3.【答案】  【解析】设点与圆心的距离，已知点在圆外，则． 解：当点是外一点时，，、、均不符． 故选D    4.【答案】  【解析】解：不在同一直线上的三点确定一圆，故符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故符合题意； 平分弦不是直径的直径平分弦所对的两条弧，故符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故不符合题意； 故选：． 根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、三角形外接圆的性质一一判断即可 本题考查了三角形外接圆和外心，确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5.【答案】  【解析】因为反比例函数中，所以图像位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大。点中，在第二象限，故；点、中，在第四象限，所以，。在第四象限内，因为，且随的增大而增大，所以。综上，。 6.【答案】  【解析】解：如图， 根据题意得，在上，，， ， ， ， 在中，， ， 负值已舍， ， 故选：． 根据勾股定理和垂径定理求解． 本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：由条件可知，即， ， 又图象在第二象限， ， ． 故选：． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，据此解答即可． 本题考查反比例函数中的几何意义即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，正确理解的几何意义是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：过作轴于，轴于，    ，  四边形是矩形，  ，  ，，  ，  又四边形是正方形，  ，  ≌，  ，，  四边形是正方形，  设正方形的边长为，则，，  ，  解得，  点的坐标为，  ，  ，  故选：． 过作轴于，轴于，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为，则，，然后根据即可求解． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法、非负数的性质，先利用直接开平方法求得，然后得到或，最后由，，得出，即可得． 【解答】 解：由， 直接开平方，得， 或， ，， ， ， 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：设，把代入， 得， 反比例函数的解析式为：． 当时，，当时，． 当电流从增加到时，电阻小了：， 答：当电流从增加到时，求电阻减小了． 故答案为：． 依据题意，先由待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质进行计算可以得解． 本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 11.【答案】  【解析】解：如图，作的垂直平分线、的垂直平分线交于点，连接、、， ， 点是的外接圆的圆心，是该圆的半径， 设的垂直平分线交于点，则， ，，， ，， ， 的外接圆的半径为， 故答案为：． 作的垂直平分线、的垂直平分线交于点，则点是的外接圆的圆心，是该圆的半径，设的垂直平分线交于点，由，，，得，，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查坐标与图形性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， ． 故答案为：． 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此即可计算． 本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理． 13.【答案】  【解析】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点， 由条件可知，，，是的切线， ，，，， ，， ． 故答案为：． 利用切线长定理进行求解． 本题考查了切线长定理，熟练掌握该知识点是关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，内接于，点是的中点，，，连接， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 故答案为：． 连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 本题主要考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、含度角的直角三角形、圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：根据题意得，， 所以． 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：直线交轴于点，如图， 把代入得， 解得， ， 当时，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当直线与相切时，切点为，如图，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 当直线与相切且与轴正半轴相交，则； 当直线与相切且与轴负半轴相交，则； 直线与有公共点， 点在与之间， 的取值范围是． 故答案为：． 直线交轴于点，如图，先把代入得，则，于是可判断为等腰直角三角形，所以，当直线与相切时，切点为，如图，连接，构建切线的性质得到，则是等腰直角三角形，所以，从而得到当直线与相切且与轴正半轴相交，则，当直线与相切且与轴负半轴相交，则，利用圆与直线的位置关系得到点在与之间，所以的取值范围是． 本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 17.【答案】且  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式根据题意知道有两个不相等的实数根，所以，且二次项系数不为， 列式可得到结果． 【解答】 解：根据题意得： ，且， 解得：且． 18.【答案】  【解析】解：是的直径，弦半径于点，为直径上一动点， ， ， 点为的中点， ， ，， ， ， ， ， 过点作，并延长，交于点，如图所示： ， 点与点关于对称， ， ， 点、、三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点与点重合时，如图，即最小值为， ， 即为的中点，时，的最小值为； 故答案为：． 由题意易得则有，，然后可得，过点作，并延长，交于点，则有当点与点重合时，有最小值，进而问题可求解． 本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含度直角三角形的性质是解题的关键． 19.【答案】【小题】根据题意得：，即， 代入得：， 整理得：，即， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 则， 【小题】根据题意得：，即， ，为整数，即，为整数，且，， 当时，；时，， 则满足条件的围建方案为：，或，   【解析】根据题意得：，即， 代入得：， 整理得：，即， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 则，； 根据题意得：，即， ，为整数，即，为整数，且，， 当时，；时，， 则满足条件的围建方案为：，或，． 根据篱笆总长和门的长表示出与，列出方程求出即可； 根据围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于列出不等式，再由与为整数且，确定出满足题意的围建方案即可． 此题考查了一元二次方程的应用，以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键． 20.【答案】【小题】， ，，， ， ， ， 【小题】， ， ， ， 或， ，   【解析】， ，，， ， ， ，； ， ， ， ， 或， ，． 利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答； 利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 21.【答案】证明：连接，如图， ， ，， ， ， ， ， ．  【解析】连接，如图，根据平行线的性质得，，加上，则，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到，则． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了平行线的性质． 22.【答案】证明： ， ， 无论为何值，该一元二次方程总有实数根    【解析】证明： ， ， 无论为何值，该一元二次方程总有实数根； 解：两根之积， 方程的两根一正一负， 两根之积， 即， 解得：． 根据根的判别式证明即可； 根据根与系数的关系得到两根之积，进而根据“两根一正一负”作答即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练计算是解题的关键． 23.【答案】【小题】如图所示，即为所求； 【小题】如图所示，点即为所求：   【解析】 如图所示，即为所求；  如图所示，点即为所求： 24.【答案】【小题】设矩形的长为，则宽为：，根据题意得出： ， 解得：，． 答：矩形的长为，宽为 【小题】不能围成面积为的矩形． 理由：设矩形的长为，则宽为：，根据题意得出： ， 整理得出：， ， 此方程无实数根， 故不能围成面积为的矩形   【解析】设矩形的长为，则宽为：，根据题意得出： ， 解得：，． 答：矩形的长为，宽为； 不能围成面积为的矩形． 理由：设矩形的长为，则宽为：，根据题意得出： ， 整理得出：， ， 此方程无实数根， 故不能围成面积为的矩形． 设矩形的长为，则宽为：，利用长乘宽矩形面积，进而求出即可； 设矩形的长为，则宽为：，利用长乘宽矩形面积，结合的符号进而求出即可 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和二次函数最值求法，得出矩形面积与长乘宽的关系是解题关键． 25.【答案】解：由题意，由条件可知， 则点的坐标为， 将点代入反比例函数得：， 所以反比例函数的解析式为．  【解析】先根据一次函数的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 26.【答案】【小题】 证明：连接，则， 的平分线交于点， ， ， ， ，垂足为， ， ， 是的半径，且于点， 是的切线 【小题】 解：作于点，则， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 解得， 的半径是长为 【小题】   【解析】证明：连接，则， 的平分线交于点， ， ， ， ，垂足为， ， ， 是的半径，且于点， 是的切线． 解：作于点，则， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 解得， 的半径是长为． 解：是的直径，， ，， ，，， ， ， 故答案为：． 连接，则，由的平分线交于点，得，所以，则，由，垂足为，得，求得，即可证明是的切线． 作于点，则四边形是矩形，所以，由，，得，由勾股定理得，求得，则的半径是长为． 由是的直径，得，，而，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 27.【答案】；   证明：， 所以不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ；，  【解析】由条件可知方程的两个根为，， 根据题意衍生点的定义，为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为． 故答案为：． 证明：， 所以不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 解得：，， 所以方程的衍生点为； ， 所以直线过定点， 所以方程的两个实数根为，， 所以，， 解得：，． 根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出点坐标． 利用根的判别式即可证明；根据衍生点的定义即可写出点坐标；根据题意将直线转化为，求出定点坐标，再利用根与系数的关系公式即可解出答案． 本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算． 28.【答案】解：方法一：如图所示，作关于的对称点，以为圆心，以的直径为半径作弧交于点，连接交于点，则， 理由如下：延长交于点，连接，， 是，的中点， ，， 又， ≌， ，， ， 是直径， ， 在和中， ≌， ， ； 如图所示，过点，作的垂线，，，交于点，在上截取，连接交于点，以为半径作弧交于点，则点即为所求； 理由如下：如图所示，作交于点，连接，， 根据作图可得，，， ，， ≌， ， 又垂直平分， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又点在上， 的最小值为， 点即为所求； 如图所示，延长至，延长至小正方形的重心， ，，，， ， 又， ∽， ， 又，， ， 依题意，则点在直线上， 当时，最短， 取的中点，连接并延长交于点，则即为所求， ，，， ， 是直角三角形， 是的中点， ， ， ，，， ， 即， 即为所求．  【解析】方法一：作关于的对称点，以为圆心，以的直径为半径作弧交于点，连接交于点，则； 过点，作的垂线，，，交于点，在上截取，连接交于点，以为半径作弧交于点，则点即为所求； 延长至，延长至小正方形的重心构造∽得出，勾股定理求得，则点在直线上，当时，最短，取的中点，连接并延长交于点，则即为所求， 本题考查了圆的综合应用，主要考查相似三角形的性质与判定，圆周角定理，平行四边形的性质与判定，勾股定理与网格问题，掌握作图的方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $