27.2 反比例函数的图象和性质 小节要点验收2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.2 反比例函数的图象和性质 小节要点验收 2026-2027学年人教版九年级数学上册 一、单选题 1．下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（    ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 4．当时，函数的图象在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．如图，点，分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点作的垂线交轴于点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 6．如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与边交于点 D，则 的值是（     ） A． B． C． D． 7．若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（    ） A．点位于第二或四象限 B．图象一定经过 C．在每个象限内，随的增大而减小 D．图象一定经过 9．若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 12．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为为中点．若，则该反比例函数的表达式为________． 13．小林在用实验探究电功率跟电阻的关系时，记录了如下表所示的数据，请你分析表中的数据，归纳出电功率与电阻的关系式为：______． 4 6 8 10 12 15 9 6 4.5 3.6 3 2.4 14．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_______． 15．已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于第________象限． 三、解答题 16．已知A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点． (1)求出m的值； (2)写出反比例函数的表达式，并画出图象． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且，求点坐标． 18．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 19．已知二次函数（是常数，且） (1)证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； (3)若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，（其中），是关于的函数．且，当时，求的取值范围． 20．探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点H坐标为，点G，K分别在x轴和y轴上． ①求线段的值； ②若反比例函数图象经过上的点P，且，求k的值； 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，直接写的值．    试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D A A C C A D 1．【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可得，据此逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 、∵， ∴点在反比例函数的图象上，该选项符合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， 点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 故选：． 2．【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质．根据一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质判断选择即可．对于一次函数，当时，y的值随x的增大而增大．当时，y的值随x的增大而减小；对于反比例函数，当时，y的值随x的增大而减小．当时，y的值随x的增大而增大；对于二次函数，当时，图象开口向上，在对称轴左侧，y的值随x的增大而减小．在对称轴右侧，y的值随x的增大而增大．当时，图象开口向下，在对称轴左侧，y的值随x的增大而增大．在对称轴右侧，y的值随x的增大而减小． 【详解】①，其中，故y的值随x的增大而减小，不符合题意； ②，其中，故y的值随x的增大而增大，符合题意； ③，其中，故当时，y的值随x的增大而增大，符合题意； ④，其中，即其图象开口向上，对称轴为y轴，故当时，y的值随x的增大而减小，不符合题意． 综上可知y的值随x的增大而增大的函数为②③． 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的系数， ∴图象两个分支分别位于第一、三象限． ∴当时，图象位于第一象限． 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定；过点B作轴于E，设交x轴于点F，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：过点B作轴于E，设交x轴于点F，如图， ∵点，分别是反比例函数与的图象上，且轴， ∴，四边形是矩形， ∴； 故选：A． 6．【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平移的性质求解 【分析】设，，则对角线交点的坐标为，，反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为，分别将，点的坐标代入上面解析式，即可求出，的代数式，再将的坐标代入即可求出点的横坐标，最后代入即可得出答案． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用字母表示出各个点的坐标． 【详解】解：设，， 则对角线交点的坐标为，， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 由已知得， ， 解得：， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 设， 则， ， ，， ． 故选：A 7．【答案】C 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质．观察抛物线的图象可得，，从而得到一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限，即可求解． 【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限， ∴一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是 故选：C 8．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】根据反比例函数的性质判断对错进行选择即可． 【详解】解：， ， 该反比例函数图象在第二或四象限，故A选项结论正确， 图象经过点， ， ， B和D选项结论正确， 该反比例函数图象在第二或四象限， 在每个象限内，随的增大而增大，故C选项结论不正确， 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握系数和图象、坐标的关系是解题的关键． 9．【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，解得，由第三象限内的点坐标特点可知，即，，可求，进而可得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴a的取值范围是． 故选：A. 10．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的其他综合应用、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明与都是等腰直角三角形，证明、可证明，由此判断①；由与都是等腰直角三角形，得到，继而得到，，从而得到可判断②；由可得，可判断③；设，则，，由结论③可得，即，可判断④． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 一次函数中， 令，得， 令，得， ， ， ∴， 与都是等腰直角三角形， ， 同理可得， ； 故①正确； 与都是等腰直角三角形， 故②正确； 故③正确； 设， 则，， 由结论③可得：， ∴， ∴， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数综合等知识，理解题意，结合图象，综合运用各个知识点是解题关键． 11．【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分别把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故答案为． 12．【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】由点为的中点，可以求得的面积，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：为中点，且， ， ∵图象在第三象限， ， 故该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是正确的运用面积求的值． 13．【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数关系式．分别计算出在电流一定时每组中电功率与电阻的比值，将结果进行对比，然后推广到一般，得到电功率与电阻的对应关系． 【详解】分析表格中数据可以发现，电功率和电阻的乘积为定值是，可得：． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．由此可解答． 【详解】解：∵另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴另一交点的坐标为． 故答案为：． 15．【答案】一、三/三、一 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键． 根据在第一或第三象限，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，在第一或第三象限， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限， 故答案为：一、三． 16．【答案】(1)-6 (2)y＝﹣，图见解析 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）由反比例函数图象上点的特征可得到2（m+3）＝m，可求得m的值； （2）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式，列表、连线可画出图象． 【详解】（1）解：∵A（m+3，2）和B（3，）是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴2（m+3）=m， 解得m=﹣6； ∴m的值为-6； （2）解：由（1）知：m=﹣6， ∴B（3，-2）， 设反比例函数的表达式为：， 把B（3，-2）代入得：k=﹣6， ∴反比例函数的表达式为：， 列表： x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 y 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1 描点，连线，反比例函数的图象如图所示． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，函数图形的作图，关键在于掌握各项基本知识． 17．【答案】(1)，； (2)或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为， 将代入，得， ． 将，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）由可知， ， ， 或． 18．【答案】(1) (2)立方米 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【详解】（1）解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 19．【答案】(1) 证明：在二次函数中， ∵， ∴不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数与轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键． （1）根据二次函数与轴交点的判定方法进行判定即可； （2）当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出的值，代入即可求解； （3）分别用含的式子表示出，再代入，得到是关于的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点， ∴当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点， ∴二次函数对称轴为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （3）解：令，则， ∵， ∴， ∵， 解得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，， 解得，， ∴当时，或． 20．【答案】 （1）证明：如图，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①32；②6 （3） 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，得到，即，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）过点作轴于，作轴于F，过点作轴于， 作轴于，证得，得到，再根据求解即可； （3）连接交于G，根据菱形的性质得到，则根据相似三角形的性质得到，结合三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作轴于，作轴于F，过点作轴于， 作轴于，则，    ①∵ ， ∴ ∴ ∴， 即， ， ∴ ∴； ②∵轴，轴， ∴， ∴ 同理 ∵， ∴； （3）如图，连接交于G，    ∵四边形是菱形， ∴ ， ∵， ， 在中，， ，即， ， 由(1)知， ∴， ， ∵， ， ， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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