27.2 反比例函数的图象和性质 自习检测2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.2 反比例函数的图象和性质 自习检测2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，随的增大而减小的是（      ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．图象在第二、四象限内 B．在每个象限内，y随x的增大而增大 C．当时， D．当时， 4．若双曲线y＝的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k＜1 5．反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 6．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 8．已知反比例函数，当时，，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，且，点A在y轴上，以为边的菱形的对角线交于点M，反比例函数的图象过点M．若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若点在关于的函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 12．观察表格，如果x与y成正比例，那么m的值为 ___________________；如果x与y成反比例，那么m的值为 _____． x 4 m y 6 8 13．如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为4，则反比例函数的解析式是______． 14．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为______． 15．点在反比例函数的图象上，那么_______，该反比例函数的图象位于第_______象限． 三、解答题 16．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点. (1)求的值，并在图中画出函数的图象； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积. 17．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)过点作轴，垂足为，连接，求点的坐标，并直接写出的面积． 18．某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． (1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 19．在直角坐标系内，反比例函数的图象过点． (1)若，求证：． (2)若，，，求该函数的表达式． 20．数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B B B A D D D 1．【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据反比例函数图象的特点，以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，因为，即可得出结论． 【详解】∵是反比例函数，其中， ∴函数图象是双曲线，位于第一、第三象限， 只有B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象特点，正确掌握图象的特点是解题的关键． 2．【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】此题考查了一次函数及反比例函数的增减性，根据k的值判断一次函数及反比例函数的增减性即可得到答案，正确理解一次函数及反比例函数的增减性与k的值的关系是解题的关键． 【详解】解：A．∵， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．∵， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； C．∵， ∴y随x的增大而减小，符合题意； D．∵， ∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】根据确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质即可找出错误的结论． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，， 当或时，，当时，不能判断，故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据确定比例系数的符号． 4．【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据题意，可得，进而即可求得k的取值范围． 【详解】若双曲线y＝的图象的一支位于第三象限， ， 解得． 故选B 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大． 5．【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求出的值，再判断函数图象所在象限．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 【详解】解：将点代入得，， 可知函数图象位于一、三象限． 故选：B． 6．【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 7．【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据二次函数图象确定系数a， c的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题． 【详解】解：解：二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴， ，， 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项A图象符合， 故选：A． 8．【答案】D 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的增减性．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由当时，，可知随着的增大而减小，则，可求，然后判断作答即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随着的增大而减小， ∴， 解得，， ∴的值可以是4， 故选：D． 9．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，菱形的性质，勾股定理．过点M作轴于点N，根据菱形的性质以及，可得，从而得到，再由， 即，可得，从而得到，可求出m的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作轴于点N， ∵点M的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴点M的坐标为， 把点代入得：． 故选：D． 10．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的其他综合应用、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明与都是等腰直角三角形，证明、可证明，由此判断①；由与都是等腰直角三角形，得到，继而得到，，从而得到可判断②；由可得，可判断③；设，则，，由结论③可得，即，可判断④． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 一次函数中， 令，得， 令，得， ， ， ∴， 与都是等腰直角三角形， ， 同理可得， ； 故①正确； 与都是等腰直角三角形， 故②正确； 故③正确； 设， 则，， 由结论③可得：， ∴， ∴， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数综合等知识，理解题意，结合图象，综合运用各个知识点是解题关键． 11．【答案】＞ 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，判断反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质，判断当时，y随x的增大而减小，通过比较x值大小判断y值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点在关于的函数图象上，此时， ∴， 故答案为：＞． 12．【答案】 3 【知识点】正比例函数的定义、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，运用它们的定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：当x与y成正比例时，设， 得， 解得， ， ， 解得：； 当x与y成反比例，设， 得， 解得， ， ， 解得：， 故答案为：；3． 13．【答案】/ 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：由图象上的点所构成的矩形PEOF的面积为4可知， S=|k|=4，k=±4． 又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0， 则k=-4，所以反比例函数的解析式为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 14．【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是， 故答案为： 15．【答案】 二、四 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数上点的坐标特征求解即可，根据，反比例函数图像位于一、三象限，，反比例函数图像位于二、四象限，可得结论． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴反比例函数的图象位于二、四象限， 故答案为：；二、四． 【点睛】本题考查了反比例函数点的坐标特征，根据反比例函数解析式判断其所在象限，熟知反比例函数的性质是解本题的关键． 16．【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点代入一次函数得出点的坐标为，代入反比例函数求得反比例函数解析式； （2）根据函数图象以及交点的横坐标即可求解． （3）根据题意求得点的坐标，根据反比例函数图象的性质求得点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴ ∴点的坐标为. 把点代入反比例函数得，解得. ∴反比例函数的解析式为 ∴反比例函数的图象如下图， （2）由，，根据函数图象可得： 不等式的解集为：或 （3）将点代入反比例函数得，； ∵点C是点B关于原点的对称点， ∴点C的坐标为； ∴的面积 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 17．【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用． （1）把A的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出其解析式； （2）把B的坐标代入一次函数的解析式，求出B的坐标，根据求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：把代入和得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）解：把代入得， ∵轴，垂足为， ∴， ∴． 18．【答案】(1) (2)每小时平均排水量是． 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可． 【详解】（1）解：依题意可设， 当排水总时间为时，每小时平均排水量为，则有 （2）当时 答：每小时平均排水量是 19．【答案】(1)0 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）根据题意得出，，然后由，即可证得． （2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值． 【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点． ，， ， ． （2）解：，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数的表达式为． 20．【答案】(1) (2)1； (3)如图， (4)①减小；②或 【知识点】求自变量的取值范围、用描点法画函数图象、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $