2.7 角的和与差（课件）2026-2027学年冀教版数学七年级上册

# 冀教版数学七年级上册2.7 角的和与差 专项练习（1212字） ## 知识点梳理 1. 角的和与差：在同一顶点处，若射线$OC$在$\(∠AOB\)$内部，则$\(∠AOB\)=\(∠AOC\)+\(∠COB\)$，$\(\(∠AOC\)=\)\(∠AOB\)−\(∠COB\)$，$\(\(∠COB\)=\)\(∠AOB\)−\(∠AOC\)$。若射线$OC$在$\(∠AOB\)$外部，则两角相加得到更大的角。 2. 角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。若$OC$平分$\(∠AOB\)$，则$\(\(∠AOC\)=\)\(\(∠COB\)=\)\dfrac12\(∠AOB\)$，$\(∠AOB\)=2\(\(∠AOC\)=\)2\(∠COB\)$。 3. 互余、互补概念：两个角的和等于$90^\circ$，称这两个角**互余**，简称互余，其中一个角是另一个角的余角；两个角的和等于$180^\circ$，称这两个角**互补**，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 4. 重要性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。互余、互补只看角度数量关系，和两角位置无关。 5. 度分秒加减运算：60进制，相加满60进1；相减不够减时，借1当60。 6. 易错提醒：角平分线射线必须在角内部；互余两角都是锐角，互补可以是两个直角、一锐一钝；不能说“一个角是余角”，必须是两个角互余；无图题目要分类讨论射线位置，射线可能在角内也可能在角外，容易漏解。 ## 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 射线$OC$在$\(∠AOB\)$内部，则$\(∠AOB\)=\(∠AOC\)+$________。 2. 若$OC$平分$\(∠AOB\)$，$\(∠AOB\)=80^\circ$，则$\(\(∠AOC\)=\)$____$^\circ$，$\(\(∠COB\)=\)$____$^\circ$。 3. 两个角相加等于$90^\circ$，两角互____；相加等于$180^\circ$，两角互____。 4. $35^\circ$的余角是____$^\circ$；$125^\circ$的补角是____$^\circ$。 5. 同角的余角____；同角的补角____。 6. 计算：$28^\circ35'+42^\circ45'=$________；$70^\circ10'-32^\circ20'=$________。 7. 已知$\(∠AOB\)=60^\circ$，射线$OC$在$\(∠AOB\)$外部，$∠BOC=20^\circ$，则$\(\(∠AOC\)=\)$____$^\circ$。 8. 一个角是它余角的2倍，则这个角的度数为____$^\circ$。 9. 若$\(∠1\)+∠2=180^\circ$，$∠2+\(∠3\)=180^\circ$，则$\(∠1\)$____$\(∠3\)$。 ## 二、选择题（每题4分，共20分） 1. $OC$是$\(∠AOB\)$平分线，下列等式错误的是（） A.$\(\(∠AOC\)=\)\dfrac12\(∠AOB\)$ B.$\(∠AOB\)=2∠BOC$ C.$\(\(∠AOC\)=\)∠BOC$ D.$\(∠AOC\)+\(∠AOB\)=∠BOC$ 2. 已知$∠\alpha=42^\circ$，则它的余角为（） A.$48^\circ$ B.$58^\circ$ C.$138^\circ$ D.$148^\circ$ 3. 下面说法正确的是（） A.若$\(∠1\)+∠2=180^\circ$，则$\(∠1\)$是补角 B.相等的角一定互余 C.同角的补角相等 D.钝角的补角是钝角 4. 已知$\(∠AOB\)=70^\circ$，$∠BOC=30^\circ$，无图，则$\(∠AOC\)$的度数是（） A.$40^\circ$ B.$100^\circ$ C.$40^\circ$或$100^\circ$ D.$70^\circ$或$30^\circ$ 5. 两个锐角的和（） A.一定是锐角 B.一定是直角 C.一定是钝角 D.可能锐角、直角、钝角 ## 三、判断题（每题3分，共15分） 1. 角平分线把角分成两个相等的角。（） 2. $90^\circ$的角叫做余角。（） 3. 若两个角互补，一定一个锐角一个钝角。（） 4. 度分秒加法，满60进1。（） 5. 若$\(\(∠AOC\)=\)\(∠COB\)$，则$OC$一定是$\(∠AOB\)$平分线。（） ## 四、解答题（共35分） 1. 角度计算（15分） （1）已知$\(∠AOB\)=104^\circ$，$OC$平分$\(∠AOB\)$，求$\(∠AOC\)$的度数。 （2）计算：$46^\circ32'+27^\circ48'$；$90^\circ−36^\circ24'$。 2. 综合应用题（20分） （1）已知一个角的补角比它的余角大多少度？写出推导过程。 （2）已知$\(∠AOB\)=80^\circ$，射线$OC$在平面内，$∠BOC=30^\circ$，求$\(∠AOC\)$的度数。 ## 参考答案 一、填空题 1.$\(∠COB\)$ 2.40，40 3.余，补 4.55，55 5.相等，相等 6.$71^\circ20'$，$37^\circ50'$ 7.80 8.60 9.＝ 二、选择题 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 三、判断题 1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 四、解答题 1.（1）解：$\(\(∠AOC\)=\)\frac12\(∠AOB\)=\frac12\times104^\circ=52^\circ$。 （2）$46^\circ32'+27^\circ48'=73^\circ80'=74^\circ20'$； $90^\circ−36^\circ24'=89^\circ60'-36^\circ24'=53^\circ36'$。 2.（1）解：设这个角为$x^\circ$，补角：$180^\circ-x^\circ$，余角：$90^\circ-x^\circ$， $(180-x)-(90-x)=90^\circ$，答：大$90^\circ$。 （2）分两种情况：①OC在$\(∠AOB\)$内部：$\(\(∠AOC\)=\)80^\circ-30^\circ=50^\circ$； ②OC在$\(∠AOB\)$外部：$\(\(∠AOC\)=\)80^\circ+30^\circ=110^\circ$。 ## 练习小结 角的和与差是本章重点，融合角平分线、互余互补、度分秒运算，也是期末高频考点。本节难点有两处：一是**无图分类讨论**，射线可在角内或角外，不分类就会丢分；二是互余互补的概念辨析，很多同学会错误表述“一个角是余角”，互余、互补描述的是两角之间关系，不能单独说某角是余角或补角。记住核心性质：同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，几何证明经常用到。度分秒加减为60进制，加法满60进一度，减法不够减向前借1当作60分。角平分线必须满足射线在角内部，如果$\(\(∠AOC\)=\)\(∠COB\)$，但OC在角外面，就不是角平分线，这是选择题常见陷阱。互余要求两角之和$90^\circ$，所以两个角都只能是锐角；互补两角可以是两个直角，不一定一锐一钝。本节和线段中点题型思路高度相似，可以对比学习，线段中点是等分线段，角平分线等分角。做题时，没有图形的题目，一定要自己画出两种草图，防止漏解。角度计算题书写要规范，度分秒分步计算，不要跳步。学好本节，掌握角度计算与几何推理，为后面相交线、对顶角学习打好基础，训练几何简单推理能力，减少概念理解、漏解、单位换算等类型失分。 下一节：**2.8 平面图形的旋转**，同规格1212字专项练习，继续生成吗？ 冀教版（新教材）数学七年级上册 2.7 角的和与差 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 几何图形的初步认识 学习目标 学习目标 1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义，并会进行角的和差运算； 2.了解角的平分线，通过实际操作，进一步理解角平分线的意义； 3.了解两角互余和两角互补的意义；通过探究，了解“同角（等角）的余角相等“同角（等角）的补角相等”； 4.体会简单推理。 一张彩纸有四个角，把其中一个角的两边对折，展开以后你会发现折痕把角分成了两个小角，这两个小角有什么关系呢？它们和原来的角又有着怎样的关系呢？ 角平分线 大家谈谈 以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 角平分线的定义 几何语言 O B A C 新知探究 小练习 D C A O B D ′ 典例分析 1.如图， 等于( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 （第2题） 2.一副三角板按如图所示的方式摆放，则 的度数 是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 3.如图，已知点是直线 上一点， ， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 1、余角的定义 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角，简称互余，即其中的一个角是另外一个角的余角. 如果∠1=30°，∠2=60°，我们可以说∠1与∠2互余，或者可以说∠1是∠2的余角，还可以说 90° ∠2是∠1的余角 2、补角的定义 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角，简称互补，即其中的一个角是另外一个角的补角. 如果∠1=45°，∠2=135°，我们可以说∠1与∠2互补，或者可以说∠1是∠2的补角，还可以说 ∠2是∠1的补角 180° 思 考 ∠1和∠2，∠3都互为余角，那么∠2和∠3的大小有什么关系？ ∠1+∠2=90° ∠1+∠3=90° ∠2=90°-∠1 ∠3=90°-∠1 所以∠2=∠3 所以，∠1的余角∠2和∠3相等 同角（等角）的余角相等 余角的性质： 思 考 ∠1和∠2，∠3都互为补角，那么∠2和∠3的大小有什么关系？ ∠1+∠2=180° ∠1+∠3=180° ∠2=180°-∠1 ∠3=180°-∠1 所以∠2=∠3 所以，∠1的补角∠2和∠3相等 同角（等角）的补角相等 补角的性质： 4.按图填空： （1） _______； （2） _______； （3） _______； （4） _______. 返回 举一反三 17 5.如图，是 的平分线，下列结论不正确的 是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 18 6．如图，OD是∠AOB的平分线，若∠AOC＝90°，∠AOD＝20°， 则∠BOC的度数是(　　) C A．60° B．40° C．50° D．30° 返回 举一反三 19 7.如图，平分，则 等于 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 20 8.［邯郸期末］如图，已知 ，平分， 平分 ，若 ，求 的度数. 解：因为平分， ，所以 ，所以 . 因为 ， 所以 . 因为平分，所以 . 返回 举一反三 21 9.［教材习题 变式］计算： ________； ______. 返回 举一反三 22 10.如图，将三角尺的直角顶点放在直线 上， 若，则 ( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 23 11. 在同一平面内，已知 ， ，则 等于( ) C A. B. C. 或 D. 返回 举一反三 24 返回 12．邢台期中如图，把一张长方形纸片沿着EF折叠，点C，D分别落在M，N的位置，且∠MFB∶∠MFE＝1∶2, 则∠MFB＝(　　) A．30° B．36° C．45° D．72° B 举一反三 25 返回 13．如图，O是直线CD上的一点，∠AOB是直角，OE平分∠AOC，若∠BOD＝68°20′，则∠AOE的度数为(　　) A．79°10′ B．55°50′ C．68°20′ D．78°10′ A 举一反三 26 返回 14．唐山期中如图，点O为直线AB上一点，以O为顶点的直角∠COD绕点O在直线AB上方旋转，作射线OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD. (1)当∠AOE＝28°时，∠DOF的度数为________； (2)在旋转过程中，∠EOF的度数始终为________． 17°　 135° 举一反三 27 14.［沧州期末］如图，点 是直线 上一点，以点为端点分别作射线 、射线 、射线、射线，若射线平分 ， 且 ， . （1）求 的度数； 解：因为平分，且 ， 所以 . 因为 ，所以 . 返回 举一反三 28 （2）若，求 的度数. 解：因为 ， ， 所以 . 因为，且 ， 所以 ， 所以 . 返回 举一反三 29 课堂小结 谢谢观看 THANKS $