精品解析：河南省周口市项城市第二高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷B卷

2025-2026学年度高二12月月考（B卷） 数学试题 考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共8小题） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在三棱锥中，是的中点，点在棱上，且，则（　　） A. B. C. D. 3. 等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 二.（多选） 9. 已知直线，以下结论正确的有（ ） A. 无论为何值，与都互相垂直 B. 无论为何值，与都关于直线对称 C. 与分别经过定点和 D. 存在实数，使得与的交点在轴上 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. MN与AD所成夹角为 B. C. D. 点C到平面ABM的距离为 11. 已知抛物线是抛物线上一点，是经过抛物线焦点的弦，则以下结论正确的有（ ） A. 的最小值是1 B. 当轴时，弦长最短 C. 线段的中点到轴的距离是 D. 的最小值是4 三.填空题（共3小题） 12. 若点在过点，的直线上，则________． 13. 等差数列中，，则该数列的公差为______. 14. 已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 四.解答题（共5小题） 15. 已知数列的前n项和为. （1）求，； （2）求数列的通项公式. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 18. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段CD的长； （3）求的值． 19. 如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱CF上一点，平面与棱BC交于点. （1）求证：； （2）求证：； （3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二12月月考（B卷） 数学试题 考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共8小题） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 2. 在三棱锥中，是的中点，点在棱上，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为是的中点，所以． 因为，所以． 所以． 故选:C． 3. 等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 4. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线距离来判断直线与圆的位置关系. 【详解】由，得，， 圆心到的距离，即， 所以与圆的位置关系是相离. 故选：C 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 7. 已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点是线段AB的中点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】设，，因为A，B两点在曲线上， 所以有，用（1）式减去（2）式可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得，即，． 代入，可得， 而就是直线l的斜率k，所以直线l的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D． 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 二.（多选） 9. 已知直线，以下结论正确的有（ ） A. 无论为何值，与都互相垂直 B. 无论为何值，与都关于直线对称 C. 与分别经过定点和 D. 存在实数，使得与的交点在轴上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据恒成立判断；对于B，任取直线上的点，求其关于直线对称的点为代入的方程检验判断；对于C，根据直线的斜截式方程直接判断；对于D，根据直线与轴交点为代入求解判断D. 【详解】对于A，由恒成立，故无论为何值，与都互相垂直，正确； 对于B，任取直线上的点，其关于直线对称的点为，代入得显然不恒成立，故错误； 对于C，由题知，进而直线与分别经过定点和，故正确； 对于D，令，代入得，即直线与轴交点为，代入得，故存在实数，使得与的交点在轴上，正确. 故选：ACD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. MN与AD所成夹角为 B. C. D. 点C到平面ABM的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由M，N都为中点，得出，将“MN与AD所成夹角”转化为“BD与AD所成夹角”，从而得解；对于B，利用线面垂直证明线线垂直，即可得证；对于C，利用平行证明线线垂直即可得证；对于D，等体积法即可求得点到平面的距离. 【详解】 对于A，如图，由于N是的中点，所以，N，D三点共线，则N是的中点， 由于M是的中点，所以，故异面直线MN与AD所成夹角为， ∵，，∴，即异面直线MN与AD所成夹角为，A选项正确； 对于B，由于平面ABCD，所以，又由A选项知，，所以，B选项正确； 对于C，由于，又由A选项知，，所以，C选项正确； 对于D，∵，M是的中点，， 根据正方体性质有：∵平面，平面，∴. 设点C到平面ABM的距离为h， ∴， 解得，故D错误， 故选：ABC. 11. 已知抛物线是抛物线上一点，是经过抛物线焦点的弦，则以下结论正确的有（ ） A. 的最小值是1 B. 当轴时，弦长最短 C. 线段的中点到轴的距离是 D. 的最小值是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据判断；对于B，设方程为，，进而联立方程，结合韦达定理得判断；对于C，根据中点坐标为与弦长判断C；对于D，转化为到点的距离与点的距离的和，再根据抛物线的定义转化求解判断D. 【详解】由题知抛物线的准线方程为，焦点为，的横坐标. 对于A，根据抛物线的定义，，当且仅当时等号成立，故正确； 对于B，由题知斜率不为，设方程为，， 则得，故， 所以， 所以弦长，当且仅当时等号成立， 此时方程为，满足轴，故正确； 对于C，结合B选项得中点坐标为，其到轴的距离是， 不满足，故错误； 对于D，， 表示到点的距离与点的距离的和， 过点作，垂足为，点作，垂足为， 进而根据抛物线的定义知，当且仅当、、三点共线时等号成立， 所以的最小值是4，故正确； 故选：ABD 三.填空题（共3小题） 12. 若点在过点，的直线上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 13. 等差数列中，，则该数列的公差为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 14. 已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设与直线l平行的直线为，与椭圆联立，根据判别式，可得t值，结合两平行线间距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值， 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为， 联立，得， 判别式，解得， 当时，切线为，与直线l的距离， 当时，切线为，与直线l的距离. 所以的最小值为. 故答案为： 四.解答题（共5小题） 15. 已知数列的前n项和为. （1）求，； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）赋值法求得，再根据求解即可； （2）利用和关系求解通项公式即可. 【小问1详解】 令得，令得，所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 经检验满足上式，所以. 16. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 17. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得：，即则， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意设， 联立，消去得：， 则， 则， 可得， 设直线与轴的交点为，且，则， 故，解得. 18. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段CD的长； （3）求的值． 【答案】（1） （2）8 （3）1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的方程； （2）求得直线l的方程，与椭圆方程联立，可得，，利用弦长公式求解即可； （3）利用焦半径公式，结合（2）求解即可. 【小问1详解】 设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此，抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； ； 【小问3详解】 由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 . 19. 如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱CF上一点，平面与棱BC交于点. （1）求证：； （2）求证：； （3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 因为， 所以，， 又因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以； （2） 因为，，， 所以是平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）据题意有，，即可证明平面，进而证明； （2）利用条件先证明是平行四边形，即可证明平面，根据线面平行性质可证； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，设，分别求得平面与平面的法向量，根据夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示：设， 则， 依题意有，，， ，，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取则，，则， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 平面与平面所成锐二面角为， 则， 解得，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $