精品解析：河南洛阳理工学院附属高级中学2026-2027学年高二上学期9月月练数学试卷

洛阳理工学院附属高级中学2028届高二年级9月月练 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 3. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 8. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（ ） ． A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 10. 异面直线所成的角构成集合，直线与平面所成的角构成集合，二面角的平面角构成集合，平面与平面的夹角构成集合，直线的倾斜角构成集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A. 存在点与直线，使得 B. 存在点与直线，使得平面 C. 若，，其中，，则的最小值是 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 __． 13. 如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 14. 在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，点是内的一个动点（含边界），且满足，则点所形成的轨迹长度是__． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 16. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 17. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，． （1）用分别表示，． （2）若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点. （1）求证平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳理工学院附属高级中学2028届高二年级9月月练 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：. 故选：B. 2. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 3. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 5. 已知，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求解函数单调性，即可求解. 【详解】设，则， 令，则，则当时，，故在单调递增， 当时，，故，故在单调递增， 由于，则，即. 6. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体  中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 7. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 8. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（ ） ． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体侧面积公式求得结论. 【详解】由已知得，所以， 即存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是， 所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 故由构成的空间几何体的侧面积为. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 10. 异面直线所成的角构成集合，直线与平面所成的角构成集合，二面角的平面角构成集合，平面与平面的夹角构成集合，直线的倾斜角构成集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】依题意得，，，，， 选项 A，，，显然 ；和范围均为 ，故成立；，，显然，因此A正确； 选项 B，、同上，均成立；，，故，因此B正确； 选项 C， 成立；，，故 成立；，，故，因此C正确； 选项 D，， ，因此不成立，因此D错误. 11. 如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A. 存在点与直线，使得 B. 存在点与直线，使得平面 C. 若，，其中，，则的最小值是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A通过展开向量数量积，利用正四面体侧棱夹角为的余弦值为正，直接判定两数量积之和恒正；选项B通过构造且S为PC三等分点的特例，用余弦定理推导线线垂直，结合线面垂直判定定理证明存在性；选项C利用重心向量分解与三点共线系数和为 1 建立 的关系，但用基本不等式求 最小值时计算结果有误；选项 D借助正四面体重心的向量表达式，通过共线向量代换与共面向量定理的系数和性质，推导出长度倒数的等量关系. 【详解】对于选项A，，A正确； 对于选项B，当直线平行于直线，点为线段上靠近点的三等分点，即 时，平面 ，证明如下： 在正四面体中，设各棱长为，，，，均为等边三角形． 点为的中心，，由等边三角形的性质，易得 ， 在 中， ， ，， 由余弦定理，得 ， ， ．同理， ． 又 ，平面 ，平面 ，平面 ，存在点与直线，使得平面 ,B正确； 对于选项C，，则 ，即，同理，则， 根据，，三点共线有，，当且仅当时等号成立． C错误； 对于选项D，设为的中点，则 ， ，，三点共线， ，同理，，． 设 ， ， ，则， ，，，四点共面， ， 又 ，， ，即 ，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入解得即可得出． 【详解】解：当直线经过原点时，直线方程为：． 当直线不经过原点时，设直线方程为：， 把点代入，解得． 直线方程为． 综上可得直线方程为：或， 故答案是：或． 13. 如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由是正方形，，，且，， 则在中，，， 则边上的高为，所以， 又是的中点，则，所以， 又，，且，平面，则平面， 则点到平面的距离， 又，即， 所以． 14. 在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，点是内的一个动点（含边界），且满足，则点所形成的轨迹长度是__． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出的轨迹，利用转化思想，求解距离即可． 【详解】根据题意，连接，，两直线交于点，取上一点，连接，，如图： 若满足题意，又，故平面，则点只要在平面与平面的交线上即可， 假设如图所示，平面与平面是同一个平面， 则点的轨迹就是线段， 根据假设，此时直线平面，则， 又三角形是等腰直角三角形，设N为AC的中点， 三角形是等边三角形，所以，所以平面， 所以，又因为，故，故三角形为直角三角形， 故， 在三角形中，，，， 由余弦定理可得：， 在菱形中，，故在直角三角形中，， 在三角形中，，故， 故得． 故答案为： 【点睛】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【小问1详解】 设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． 【小问2详解】 设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 16. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1） 证明：∵， ∴直线过定点. （2） （3）最小值为4，直线方程为. 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【小问1详解】 ∵， ∴直线过定点. 【小问2详解】 ∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. 【小问3详解】 由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 17. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，． （1）用分别表示，． （2）若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）14；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【小问1详解】 连接，取中点为，连接． 因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． 【小问2详解】 由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 【答案】（1） 法1：因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 法2：因为为正三角形，点为BC中点，， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为， 所以，则， 因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， 所以， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证法1：由等腰三角形的性质得，由线面垂直的性质得，则得平面，再证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；证法2：在中求出，在中求出，从而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可证得结论； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴，然后利用空间向量求解即可； （3）法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，设，由表示出，从而可表示出，进而可求出其最小值；法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为，可得点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，从而可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴， 则 ， 设平面PAC的法向量为，则 ，令，则法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面PAC与平面ACF夹角为， 则， 即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为； 【小问3详解】 法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，则， 设 ， ， 令 则， 在上单调递减，上单调递增 当时，， 法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为， 且平面， 点的轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧， 由（1）可知，，相交圆半径， 点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，解题的关键是根据题意合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点. （1）求证平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接，，， 在中，，分别为和的中点， 所以且长为的一半， 又因为底面为平行四边形，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，可得， 又面，面，所以平面. （2） （3） 存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据平行关系可得，进而可证线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，再求平面的法向量，进而可得线面夹角； （3）设，根据面面夹角可得，设，结合线面平行运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，由，则， 分别以，所在直线为轴和轴，以过垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以为平面的一个法向量， 又，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面，平面平面，平面， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为，由， 则， 令，则，，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，由（2）可知平面的法向量， 由题意可得， 令，则，得，所以， 当时，（舍去），所以当时，，此时， 设，则， 又因为平面的法向量， 则，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $