2.7 探索勾股定理 同步讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

2.7 探索勾股定理 内 容 导 航 题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明 题型3 勾股定理的逆定理 题型4 勾股数 题型5 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【典例1】在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 【答案】A 【解答】解：A、S△ABC＝4×43×41×22×4＝5，本选项结论错误，符合题意； B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意； C、∵AB2＝20， ∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意； D、设点A到直线BC的距离为h， 则25×h， 解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1】如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB， ∴AC＝AB， ∴OC＝AC﹣OA1， ∴点C表示的数为1． 故选C． 【变式2】如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 【答案】D 【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100， 故选：D． 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 【答案】D 【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得， AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2 ＝AD2+BC2 ＝22+72 ＝53， 故选：D． 题型2 勾股定理的证明 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【典例1】如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的直角边为m、n（m＞n），小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解答】解：∵小正方形面积为5，直角三角形的直角边为m、n（m＞n）， ∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝5①， ∵（m+n）2＝m2+2mn+n2＝21②， ∴由①+②可得：2m2+2n2＝26， ∴m2+n2＝13， ∴若直角三角形的直角边为m、n（m＞n），小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为13． 故选：B． 【变式1】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意； B、梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， ∴化简得，a2+b2＝c2，不符合题意； C、不能证明勾股定理，本选项符合题意； D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（a2+b2＝c2）．如图2，连结HK，GK，HG，记四边形DHKG与正方形DHIE的面积分别为S1，S2.若HD＝HG，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：（1）过点H作HM⊥CD于点M， ∵HD＝HG，四边形ABCD是正方形， ∴MD＝MG，四边形AHMD是矩形， ∴MD＝AH， ∵HD＝HG， ∴DM＝GM， ∵四边形ABCD，四边形DHIE，四边形EFGC都是正方形， ∴DA＝DC＝AB＝BC，DH＝DE＝HI＝IE，FG＝GC＝CE＝EF， ∠DAH＝∠DCE＝∠DEI＝90°， 在Rt△DAH和Rt△DCE中， ， ∴Rt△DAH≌Rt△DCE（HL）， ∴CE＝AH， ∴CE＝AH＝CG＝DM＝MG， ∴CD＝CG+DM+MG＝3CG＝3CE， 设CE＝AH＝CG＝DM＝MG＝x，则DA＝DC＝AB＝BC＝3x，BH＝2x， ∵∠DCE＝∠EKI＝∠DEI＝90°， ∴∠DEC+∠IEK＝90°，∠EIK+∠IEK＝90°， ∴∠DEC＝∠EIK， 又∵DE＝EI， ∴△DCE≌△EKI（AAS）， ∴KE＝DC＝3x， ∴BH＝CK＝2x，BK＝CE＝x， ∴四边形DHKG的面积S1（2x+3x）×3x2x×x2x×xx2， 正方形DHIE的面积S2＝DE2＝CD2+CE2＝（3x）2+x2＝10x2， ∴ 故选：D． 【变式3】勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连结GI、EF、DH，若AC＝1，AB＝2，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．14 B．13 C．16 D．15 【答案】A 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝1， ∴，BC2＝AC2+AB2＝5， ∴S正方形BCDE＝S正方形ACHI+S正方形ABFG＝5， ∵四边形ABFG，ACHI是正方形， ∴AB＝AG，∠GAI＝∠BAC＝90°，AC＝AI， ∴△ABC≌△AGI（SAS）， ∴S△AGI＝S△ABC＝1； 过点F作FJ⊥EB交EB的延长线于点J，过点A作AK⊥BC于点K，过点H作HL⊥DC交DC的延长线于点L，如图， ∵∠FBJ+∠ABJ＝∠ABJ+∠ABK＝90°， ∴∠FBJ＝∠ABK， 又∵BF＝BA，∠FJB＝∠AKB＝90°， ∴△BFJ≌△BAK（AAS）， ∴FJ＝AK， ∴， 同理可得S△DCH＝1， ∴六边形EDHIGF的面积＝5×2+1×4＝14， 故选：A． 题型3 勾股定理的逆定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【典例1】已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意； B、∵62+82＝102， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意； C、∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意， D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【变式1】以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形； B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形； C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形； D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 【变式2】△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 【答案】B 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝5α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3α+4α+5α＝180°， 解得：α＝15°， ∴∠C＝5α＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC为直角三角形， 故C不合题意； D、∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形， 故D不合题意； 故选：B． 【变式3】如图，五根小棒的长度分别是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵72+242＝625＝252，152+202＝625＝252， ∴7，24是一个直角三角形的两个直角边，15，20是另一个直角三角形的两个直角边，25cm为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 题型4 勾股数 解｜题｜知｜识 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【典例1】下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【答案】C 【解答】解：A、∵32+72≠92，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意； B、∵22+32≠42，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意； C、∵122+162＝202，∴这一组数是勾股数，故本选项符合题意； D、∵42+52≠62，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【解答】解：A、∵0.3，0.4，0.5都不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； B、∵，，都不是正整数， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C、∵72+242＝252， ∴正整数7，24，25是勾股数，符合题意； D、∵，，都不是正整数， ∴，，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③32，42，52；④，，．其中是勾股数的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【解答】解：①0.6，0.8，1，不都是正整数，不是勾股数； ②52+122＝132， 则5，12，13是勾股数； ③（32）2+（42）2≠（52）2， 则32，42，52不是勾股数； ④，，，不都是正整数，不是勾股数； 故选：A． 【变式3】如果正整数x，y，z满足方程x2+y2＝z2，且x，y互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若m，n，40为一组“本原勾股数”，则m+n＝　50或800　 ． 【答案】50或800． 【解答】解：由题意可得：x，y必为一奇一偶， ∴z为奇数， ∵m，n，40为一组“本原勾股数”，且40为偶数， ∴40必为直角三角形的一条直角边的长， 设直角三角形的斜边长为c，另一条直角边的长为k， 则c2﹣k2＝402， ∴（c﹣k）（c+k）＝1600， ∵40和k互素， ∴c﹣k，c+k均为偶数，且最大公约数为2， ∴设c﹣k＝2a，c+k＝2b， ∴4ab＝1600， ∴ab＝400， ∵400＝2×2×2×2×5×5， ∴满足条件的a，b只有两组：或， ∴或， 解得：或， ∴m+n＝399+401＝800或m+n＝9+41＝50． 题型5 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图1，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端的距离约为1m，小臂到地面的距离约为1.2m，则适合小红的绳长为（　　） A．2.2m B．2.4m C．2.6m D．3.4m 【答案】C 【解答】解：如图，两手握住的绳柄两端的距离约为1m，小臂到地面的距离约为1.2m，过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝1.2m， 由题意可知，AB＝AC，BC＝1m， ∴， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC1.3（m）， ∴适合小红的绳长为：2AC＝2×1.3＝2.6（m）， 故选：C． 【变式1】《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【解答】解：设水深GF长为x尺，则芦苇GE＝AG＝（x+1）尺， ∵GF2+AF2＝AG2， ∴， 解得：x＝12， 则芦苇的长度为x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：C． 【变式2】将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【答案】D 【解答】解：当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h最大＝24﹣8＝16（cm）； 如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，连接AD， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， 由勾股定理得：， 此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm， 故选：D． 【变式3】一艘轮船以8海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以6海里/小时的速度向西南方向航行，离开港口3小时，两艘轮船的距离是（　　） A．30海里 B．20海里 C．10海里 D．40海里 【答案】A 【解答】解：据题意得：OA＝6×3＝18（海里）， OB＝8×3＝24（海里），△AOB是直角三角形， ∴AB为（海里）， ∴经过3小时，这两艘轮船相距30海里． 故选：A． 过 关 验 收 1．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　） A． B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得OA2， OA3， …， ∴OAn， ∴OA82． 故选：D． 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝16cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．256cm2 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， 即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为AB2＝162＝256cm2， 故选：D． 3．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成Rt△ABC（∠ABC＝90°），则S的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【解答】解：用面积分别为1，4和S的三个正方形围成Rt△ABC（∠ABC＝90°），设面积为4、1、S的正方形的边长分别为a、b、c． ∴a2＝4，b2＝1，c2＝S． ∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， 由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2． ∵AB为面积是4的正方形的边长，BC为面积是1的正方形的边长，AC为面积是S的正方形的边长， ∴AB2＝4；BC2＝1；AC2＝S， ∴S＝4+1＝5， 故选：A． 4．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝18，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：由勾股定理得：BC2﹣AC2＝AB2， 即S3﹣S1＝S2， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 【答案】A 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10， 根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP4.8， ∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8， 故选：A． 6．我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：∵一勾股形中勾为9，股为12， ∴弦为：． 故答案为：15． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，则CD的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝3， ∴， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， ∵， ∴BC•AE＝AB•CD， 即， ∴． 故答案为：． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，O为AB的中点，动点D在BC边上，连接OD，当△BOD为等腰三角形时，BD的长为　或或2　 ． 【答案】或或2． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2， ∴AB＝4， ∵O为AB的中点， ∴， 当OD＝OB时，过点O作OH⊥BC，如图所示： ∵OD＝OB，OH⊥BC， ∴， ∵∠B＝30°， ∴， 则OB2＝OH2+HB2， 即4＝1+HB2， 解得（负值已舍去）； ∴； 当OD＝DB时，过点D作DT⊥AB，如图所示： ∵OD＝DB，DT⊥AB， ∴， ∵∠B＝30°， ∴， 则BD2＝DT2+TB2， 即， 解得（负值已舍去）； 当BD＝OB时，如图所示： ∴BD＝OB＝2， 综上所述：BD的长为或或2． 故答案为：或或2． 9．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为14，S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A'F'＝90°，则四边形B'C'E'F'的面积为（　　） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABGF、四边形CDEG是正方形， ∴GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°， ∴∠BGC＝∠FGE＝90°， 在△BGC和△FGE中， ， ∴△BGC≌△FGE（SAS）， 同理可证△BGC≌△B′A′F′≌△E′D′C′， ∴BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c， ∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c， ∵∠DEF＝∠A′F′E′，∠OEF＝∠A′F′B′， ∴∠B′F′E′＝90°， ∴四边形B′C′E′F′是正方形， ∵S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1， ∴设S正方形ABGF＝4m，S正方形CDEG＝1m， ∴FG＝2，EG， ∵六边形ABCDEF的面积为14， ∴4m+m+2214， ∴m＝2， ∴EF， ∴E′F′＝EF， ∴四边形B′C′E′F′的面积＝10． 故选：B． 10．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅如图1所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图2所示的矩形ABCD．若矩形ABCD的周长为24，则大正方形的边长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则中间的小正方形边长为（a﹣b）， 由图2可得，小正方形的边长为b， ∴a﹣b＝b，即a＝2b． ∵矩形ABCD的周长为24， ∴2（2a+b+b）＝24， 解得b＝2， ∴a＝4， ∴大正方形的边长为． 故答案为：2． 11．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则：xy＝　　 ；（x+y）2＝　94　 ． 【答案】，94． 【解答】解：∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图可知，大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，小正方形的边长等于直角三角形较长直角边与较短直角边的差， ∴x2+y2＝72＝49，x﹣y＝2， ∴，， 故答案为：，94． 12．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF并延长，交BC于点M．若S正方形ABCD＝5，E为AF中点，则DF的长为　　 ；BM的长为　　 ． 【答案】，． 【解答】解：∵E为AF中点， ∴EFAF＝AE， 又∵∠AED＝∠FED＝90°，DE＝DE， ∴△AED≌△FED（SAS）， ∴DF＝AD， ∵S正方形ABCD＝5， ∴DF＝AD， ∵DE∥BG， ∴∠EDF＝∠DFG， ∵∠FBM＝∠EDF，∠DFG＝∠BFM， ∴∠FBM＝∠BFM， ∴BM＝FM， ∵DM2＝CM2+CD2， ∴（DF+BM）2＝CD2+（BC﹣BM）2， ∴， ∴BM， 故答案为：，． 13．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　10　 ． 【答案】10 【解答】解：如图2， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴△FNK≌△GHI， ∴FN＝GH＝a， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， ∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a， ∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM ＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM ＝S△GDC+S△BCM ＝ab， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴， 即阴影部分的面积为10， 故答案为：10． 14．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 　48　 ． 【答案】48． 【解答】解：设BD＝x， ∵AC＝6，CD＝2， ∴AB＝x+（6﹣2）＝4+x，BC＝x+2， ∵AB2＝BC2+AC2， ∴（4+x）2＝（x+2）2+62， ∴x＝6， ∴BC＝8， ∴长方形的面积＝6×8＝48， 故答案为：48． 15．勾股定理是证明方法最多的数学定理之一．如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2＝c2． 【答案】根据梯形的面积可得，， 整理得， ∴a2+b2＝c2． 【解答】证明：根据梯形的面积可得，， 整理得， ∴a2+b2＝c2． 16．课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（b＞a＞0），斜边长为c． （1）请利用图1验证勾股定理； 知识应用 （2）在图1中，若c＝15，b＝12，求小正方形的面积； （3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 　cm ． 【答案】（1）见解析；（2）9；（3）． 【解答】（1）证明：∵大正方形的面积＝四个直角三角形的面积+小正方形的面积， ∴ ＝b2﹣2ab+a2+2ab ＝b2+a2， ∴a2+b2＝c2． （2）解：由勾股定理得， ∴小正方形的面积S＝（12﹣9）2＝9． （3）解：∵大正方形的面积为：32+22＝9+4＝13（cm2）， ∴大正方形的边长：． 17．如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若a＝﹣1，求这四个有理数的和． （2）若相对的两片叶片上数字的和相等，求a的值． 【答案】（1）0； （2）﹣5． 【解答】解：（1）若a＝﹣1，这四个有理数的和为﹣1+2+3+（﹣4）＝0． （2）因为相对的两片叶片上数字的和相等，则： 2+（﹣4）＝3+a， 解得a＝﹣5． 18满足下列条件的△ABC，其中不是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c） 【答案】C 【解答】解：A、∵32+42＝52， ∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意； B、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故选项B不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意； D、∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC为直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 19．三角形的三边长分别为m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0），则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解答】解：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝（m2+n2）2， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：A． 20．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　） A．80° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【解答】解：过B作BM∥AC，如图，连接DM， 由勾股定理得：DM，BM，BD，AC， ∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2， ∴△DMB是等腰直角三角形， ∴∠DBM＝45°， ∵AC∥BM， ∴∠APB＝∠DBM＝45°， 故选：C． 21．以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是（　　） A．5、12、13 B． C．1、、1 D． 【答案】B 【解答】解：A．∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴5、12、13能组成直角三角形，不符合题意； B．∵，∴，∴不能组成直角三角形，符合题意； C．∵，∴，∴1、、1能组成直角三角形，不符合题意； D．∵，∴，∴能组成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 22．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　①②③　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 【答案】①②③． 【解答】解：①∠A﹣∠B＝∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C＝180°， 由∠A+∠B+∠A﹣∠B＝180°，解得∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则最大角， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ③（b+c）（b﹣c）＝a2，展开得b2﹣c2＝a2，即b2＝a2+c2， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ④a＝1，，c＝3，∵， ∴a+b＜c， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故答案为：①②③． 23．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积是 　36　 ． 【答案】36 【解答】解：连接BD，则有BD5， ∵52+122＝132，即BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD为直角三角形， ∴四边形的面积＝S△ADB+S△BCD AD•ABBD•CD 3×45×12 ＝36． 答：四边形ABCD的面积为36． 故答案为：36． 24．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　44　 ． 【答案】44 【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2， ∴BC2， ∵AB＝6，AC＝4， ∴AC2+BC2＝42+（2）2＝16+20＝36＝62＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC4×24×2＝44． 故答案为：44． 25．如图，已知△ABC的三边满足AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）．l是过点B的一条直线，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，E是线段BD上一点，且∠BCE＝∠ABD． （1）求证：∠ABC＝90°； （2）取边AC的中点F，求证：FD＝FE． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解． 【解答】证明：（1）∵AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）， ∴AB2+BC2＝（m2﹣n2）2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2， AC2＝（m2+n2）2＝[（m﹣n）2+2mn]2＝（m2+n2﹣2mn+2mn）2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴∠ABC＝90°． （2）如图，延长DF交CE于点G， ∵∠ABD+∠EBC＝90°，∠ABD ＝∠BCE， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∵∠BCE+∠EBC+∠CEB＝180°， ∴∠CEB＝90°，∠CED＝90°， ∵AD⊥l， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CED＝∠ADB， ∴CE∥AD， ∴∠GCF＝∠DAF， 在△GCF和△DAF中， ， ∴△GCF≌△DAF（ASA）， ∴FG＝FD， ∴FD＝FEGD． 26．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数． 应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当n＝1，a（m2﹣1）①，b＝m②，c（m2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5， ∴Ⅰ、当a＝5时，（m2﹣1）＝5，解得：m（舍去）， Ⅱ、当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13， Ⅲ、当c＝5时，（m2+1）＝5，解得：m＝±3， ∵m＞0， ∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3， 综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4． 27．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝n2﹣1　 ，b＝　2n ，c＝n2+1　 ． （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？ （3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数　112+602＝612 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图表可以得出： ∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1， n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1， n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1， … ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1． （2）a、b、c为边的三角形时： ∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1， c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． （3）由分析得出：第5组的式子为：112+602＝612． 故答案为：112+602＝612． 28．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝8，CD＝6，且AC＝AD，记AB长为x，AC长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．x2•y2 D． 【答案】B 【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∴∠AEB＝90°， ∵AC＝AD，AE⊥BC， ∴， ∵BD＝8， ∴BE＝BD+DE＝8+3＝11， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2＝x2﹣121， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2﹣DE2＝y2﹣9， ∴x2﹣121＝y2﹣9， ∴x2﹣y2＝112， ∴当x，y变化时，x2﹣y2值不变， 故选：B． 29．如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距10km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距　　 km． 【答案】． 【解答】解：由题意得，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴A，C两景点相距． 故答案为：． 30．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为　5　 米． 【答案】7.5． 【解答】解：每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，如图， ∴柱身高为6米，底面周长为1.5米， ∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点， ∴AE＝1.5米，（米）， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：（米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为：2.5×3＝7.5（米）， 故答案为：7.5． 31．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到C点，梯子底端B移动到D点，则BD的长为　0.8　 米． 【答案】BD的长度是0.8米． 【解答】解：在Rt△AOB中， OB2＝AB2﹣OA2 ＝2.52﹣2.42 ＝0.49， ∵OB＞0， ∴OB0.7， 在Rt△COD中， OD2＝CD2﹣OC2 ＝2.52﹣（2.4﹣0.4）2 ＝2.252， ∴OD＝1.5， ∴BD＝OD﹣OB， ＝1.5﹣0.7＝0.8（米）， ∴BD的长度是0.8米， 故答案为：0.8． 32．如图2是一扇窗户（图1）打开示意图，AB是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，OA＝12cm．当窗户垂直打开，即OM⊥ON时，有，窗户闭合时，另一端B在ON上滑动，点A，B的对应位置分别记为点A′，B′． （1）滑动支架AB的长为　28　 cm； （2）当A，A′，B′三点在同一直线上时，OB′的长度为　　 cm． 【答案】（1）28； （2）． 【解答】解：（1）一端固定在窗户的点A处，OA＝12cm．当窗户垂直打开，即OM⊥ON时，有，窗户闭合时，另一端B在ON上滑动，点A，B的对应位置分别记为点A′，B′．则： ∵OM⊥ON， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝12cm．， ∴． （2）一端固定在窗户的点A处，OA＝12cm．当窗户垂直打开，即OM⊥ON时，有，窗户闭合时，另一端B在ON上滑动，点A，B的对应位置分别记为点A′，B′．则： 当A，A′，B′三点在同一直线上时，如图， 则OA＝OA′＝12cm，A′B′＝28cm， 过点O作OC⊥AB′， ∴AC＝A′C， 设AC＝A′C＝xcm，OB′＝ycm，则B′C＝（28+x）cm， 在Rt△AOC中，OC2＝OA2﹣AC2＝122﹣x2， 在Rt△B′OC中，OC2＝OB′2﹣B′C2＝y2﹣（28+x）2， ∴122﹣x2＝y2﹣（28﹣x）2， ∴y2＝122+282+56x， 在Rt△B′OA中，OB′2＝y2＝AB′2﹣OA2＝（28+2x）2﹣122， ∴122+282+56x＝（28+2x）2﹣122， 解得x＝4或x＝﹣18（舍去）， ∴y2＝122+282+56×4＝144+784+224＝1152， ∴（舍去负值）， ∴ 33．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝12dm，AB＝5dm，两轮中心的距离BC＝13dm，滚轮半径r＝1dm． （1）判断支架AB与AC的位置关系，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝5dm，AE＝3dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到0.1dm） 【答案】（1）AB⊥AC；理由如下： ∵AB＝5dm，AC＝12dm，BC＝13dm， ∴AB2+AC2＝52+122＝25+144＝169， ∵BC2＝132＝169， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°． ∴AB⊥AC； （2）约为9.6dm． 【解答】解：（1）AB⊥AC；理由如下： ∵AB＝5dm，AC＝12dm，BC＝13dm， ∴AB2+AC2＝52+122＝25+144＝169， ∵BC2＝132＝169， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°． ∴AB⊥AC； （2）如图，过点A作AN⊥BC于点N， 在Rt△ADE中，AD＝5dm，AE＝3dm， 由勾股定理得：（dm）， ∵S△ABC， ∴dm， ∵滚轮半径r＝1dm， ∴左边缘D到地面的距离． 答：购物车上篮子的左边缘D到地面的距离约为9.6dm． 34．为了提升我校学生的身体健康、心理健康以及校园的整体和谐氛围，学校操场里安装了一架秋千．某班的小瑶同学对秋千的高度产生了兴趣，某天她和同学小宁一起带着卷尺到操场测量秋千的高度，她设计了如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端M与地面的距离BM＝0.8m． 步骤二：如图，小瑶握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千的底端离地面的高度CD＝1.1m，再测得小瑶站立时与秋千静止的水平距离BC＝1.5m． （1）若设秋千的高度AB＝xm，则AD＝　（x﹣0.8）　 m（用含x的式子表示）． （2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度AB． 【答案】（1）（x﹣0.8）； （2）4.7m． 【解答】解：（1）AD＝AM＝AB﹣BM＝（x﹣0.8）m， 故答案为：（x﹣0.8）； （2）如图，过点D作DF⊥AB于点F， 则四边形BCDF是矩形， ∴DF＝BC＝1.5m，BF＝CD＝1.1m， ∴AF＝AB﹣BF＝（x﹣1.1）m， 在Rt△ADF中，AD＝（x﹣0.8）m，AF＝（x﹣1.1）m，DF＝1.5m， 由勾股定理得：AD2＝DF2+AF2， 即（x﹣0.8）2＝1.52+（x﹣1.1）2， 解得：x＝4.7． 答：秋千的高度AB为4.7m． 35．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，AB＝AC＝13m，BC＝10m，BD＝6m，CD＝8m，BC＝10m． （1）求证：△BCD是直角三角形． （2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】（1）∵BD＝6m，CD＝8m，BC＝10m， ∴BD2+CD2＝62+82＝100＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． （2）324． 【解答】（1）证明：∵BD＝6m，CD＝8m，BC＝10m， ∴BD2+CD2＝62+82＝100＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． （2）解：过A作AE⊥BC交BC于点E， ∵AB＝AC＝13m，AE⊥BC， ∴E为BC中点，BE＝CE＝5m， ∴， ∴， ∵△BCD是直角三角形， ∴， ∴， 则36×9＝324（元）， 答：购买西红柿苗总共需要324元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7 探索勾股定理 内 容 导 航 题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明 题型3 勾股定理的逆定理 题型4 勾股数 题型5 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【典例1】在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 【变式1】如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（　　） A．45 B．49 C．50 D．53 题型2 勾股定理的证明 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【典例1】如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的直角边为m、n（m＞n），小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（a2+b2＝c2）．如图2，连结HK，GK，HG，记四边形DHKG与正方形DHIE的面积分别为S1，S2.若HD＝HG，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连结GI、EF、DH，若AC＝1，AB＝2，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．14 B．13 C．16 D．15 题型3 勾股定理的逆定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【典例1】已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【变式1】以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【变式2】△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 【变式3】如图，五根小棒的长度分别是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 题型4 勾股数 解｜题｜知｜识 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【典例1】下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【变式1】下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B． C．7，24，25 D． 【变式2】下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③32，42，52；④，，．其中是勾股数的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式3】如果正整数x，y，z满足方程x2+y2＝z2，且x，y互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若m，n，40为一组“本原勾股数”，则m+n＝　 　 ． 题型5 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图1，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端的距离约为1m，小臂到地面的距离约为1.2m，则适合小红的绳长为（　　） A．2.2m B．2.4m C．2.6m D．3.4m 【变式1】《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【变式2】将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【变式3】一艘轮船以8海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以6海里/小时的速度向西南方向航行，离开港口3小时，两艘轮船的距离是（　　） A．30海里 B．20海里 C．10海里 D．40海里 过 关 验 收 1．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（　　） A． B．4 C．3 D．2 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝16cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．256cm2 3．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成Rt△ABC（∠ABC＝90°），则S的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 4．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝18，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．3 D． 5．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 6．我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为　 　 ． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，则CD的长为 ． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，O为AB的中点，动点D在BC边上，连接OD，当△BOD为等腰三角形时，BD的长为 ． 9．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为14，S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A'F'＝90°，则四边形B'C'E'F'的面积为（　　） A．12 B．10 C．6 D．4 10．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅如图1所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图2所示的矩形ABCD．若矩形ABCD的周长为24，则大正方形的边长为 ． 11．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则：xy＝ ；（x+y）2＝　 　 ． 12．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF并延长，交BC于点M．若S正方形ABCD＝5，E为AF中点，则DF的长为　 　 ；BM的长为　 ． 13．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　 ． 14．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC＝6，CD＝2，则长方形的面积为 　 　 ． 15．勾股定理是证明方法最多的数学定理之一．如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2＝c2． 16．课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（b＞a＞0），斜边长为c． （1）请利用图1验证勾股定理； 知识应用 （2）在图1中，若c＝15，b＝12，求小正方形的面积； （3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 ． 17．如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若a＝﹣1，求这四个有理数的和． （2）若相对的两片叶片上数字的和相等，求a的值． 18满足下列条件的△ABC，其中不是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c） 19．三角形的三边长分别为m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0），则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 20．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　） A．80° B．60° C．45° D．30° 21．以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是（　　） A．5、12、13 B． C．1、、1 D． 22．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　 　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 23．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积是 　 　 ． 24．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为 ． 25．如图，已知△ABC的三边满足AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）．l是过点B的一条直线，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，E是线段BD上一点，且∠BCE＝∠ABD． （1）求证：∠ABC＝90°； （2）取边AC的中点F，求证：FD＝FE． 26．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数． 应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长． 27．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ 　 ，b＝　 ，c＝ 　 ． （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？ （3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数　 ． 28．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝8，CD＝6，且AC＝AD，记AB长为x，AC长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．x2•y2 D． 29．如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距10km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距 　 km． 30．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为　 　 米． 31．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到C点，梯子底端B移动到D点，则BD的长为　 米． 32．如图2是一扇窗户（图1）打开示意图，AB是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，OA＝12cm．当窗户垂直打开，即OM⊥ON时，有，窗户闭合时，另一端B在ON上滑动，点A，B的对应位置分别记为点A′，B′． （1）滑动支架AB的长为　 　 cm； （2）当A，A′，B′三点在同一直线上时，OB′的长度为 cm． 33．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝12dm，AB＝5dm，两轮中心的距离BC＝13dm，滚轮半径r＝1dm． （1）判断支架AB与AC的位置关系，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝5dm，AE＝3dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到0.1dm） 34．为了提升我校学生的身体健康、心理健康以及校园的整体和谐氛围，学校操场里安装了一架秋千．某班的小瑶同学对秋千的高度产生了兴趣，某天她和同学小宁一起带着卷尺到操场测量秋千的高度，她设计了如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端M与地面的距离BM＝0.8m． 步骤二：如图，小瑶握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千的底端离地面的高度CD＝1.1m，再测得小瑶站立时与秋千静止的水平距离BC＝1.5m． （1）若设秋千的高度AB＝xm，则AD＝　 　 m（用含x的式子表示）． （2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度AB． 35．如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，AB＝AC＝13m，BC＝10m，BD＝6m，CD＝8m，BC＝10m． （1）求证：△BCD是直角三角形． （2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 学科网（北京）股份有限公司 $