2.7 勾股定理讲义2026—2027学年浙教版 数学八年级上册

本讲义系统梳理勾股定理核心知识点，包括定理内容（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）、三种证明方法（赵爽弦图等拼图法）、逆定理（三边关系判断直角三角形）及联系区别，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过多样化典例（如折叠问题、最短路径、航海应用）和分层练习，培养学生几何直观、推理能力与应用意识。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学解决实际问题的能力。

勾股定理 知识点梳理 知识点梳理01：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 知识点梳理02：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 典例精讲 【类型1勾股定理】 【例题1】（2026春•合肥校级月考）在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝1，BC＝2，则AC的长为（　　） A． B．2 C． D．2.5 【例题2】（2026春•东莞市校级月考）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，第三边长是（　　） A．5 B． C．7 D．5或 【例题3】（2026春•徐闻县期中）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026春•泸州期末）已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的斜边为（　　） A．5 B．5或 C．4 D．4或5 【变式2】（2026秋•同步）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°． （1）若BC＝6，AC＝8，则AB＝　 　 ； （2）若AB＝25，AC＝15，则BC＝　 　 ； （3）若BC：AC＝3：4，AB＝20，则BC＝　 　 ，AC＝　 　 ． 【变式3】已知，如图∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，AD＝13，则求BD的长度． 【类型2 勾股定理的证明】 【例题1】（2026春•南充校级期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，小正方形的边长为b﹣a，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（△ABC≌△CDE，∠B＝∠D＝90°），使BC和CD在一条直线上，连接AE．请用a，b，c分别表示出梯形ABDE，△ABC，△CDE，△ACE的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：a2+b2＝c2． 【方法迁移】 （2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝6，AC＝7，BC＝8，设CD＝x，求x的值． 【例题2】（2026春•红河州期末）如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方形的面积，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　） A．8 B．4 C．64 D．36 【例题3】（2025秋•新华区期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为b，较短直角边为a，则（a+b）2的值是（　　） A．36 B．25 C．19 D．4 【变式1】（2026春•神木市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（　　） A． B． C．4ab+（b﹣a）2＝c2 D．a2+ab+a×（b﹣a）＝c2 【变式2】（2026春•庐阳区校级期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为（　　） A．5 B．12 C．7 D．9 【变式3】（2026秋•同步）如图所示的图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的面积为121，四边形EFGH的面积为49，用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y）．给出下列结论：①x2+y2＝121；②x﹣y＝7；③（x+y）2＝160；④2xy+49＝121．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③ 【变式3】（2026春•庐江县期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 如图三幅图中均可证明勾股定理，请你选择期中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【类型3 勾股定理的逆定理】 【例题1】（2026春•罗平县期末）若△ABC三边长a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例题2】（2026春•榆阳区期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中∠ABC的度数应为90°．连接AC，现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ACD＝90°．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即∠ABC的度数是否为90°）． 【变式1】（2026春•鼓楼区校级期末）在△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝m+n，． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）是否同时存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 【变式2】（2026春•梅州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD，若BC＝20，CD＝16，BD＝12． （1）判断△BCD的形状，并说明理由； （2）求△ADC的面积． 【类型4 勾股定理的应用】 【例题1】（2026春•凯里市校级月考）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面4米，树的顶端离树根3米，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【例题2】（2026春•阿克陶县期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【例题3】（2026春•北辰区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为　 　 ． 【例题4】（2024春•西华县期中）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为（　　） A． B． C． D．5 【例题5】（2026春•广州校级期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距27km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝24km，CB＝15km，现要在铁路AB上建设一个特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【例题6】（2026春•无为市期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．2 【例题7】（2026春•南充期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏东30°的方向行30海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距40海里的点B处，若A、B两地相距50海里，则渔船从港口O出发的方向为　 　 ． 【例题8】5（2024秋•七星关区校级期中）如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10m，高是15m，一只壁虎在距底面3m的点A处，油罐上底面与点A相对的点C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 【例题9】（2025秋•青浦区校级期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【变式1】（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．16m B．17m C．19m D．20m 【变式2】（2025秋•宿州期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 【变式3】（2026春•北流市期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离A′D为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.4m C．2.7m D．2.8m 【变式4】（2025秋•锡林郭勒盟期末）如图的三角板纸片中，AB＝11cm，BC＝6cm，AC＝8cm，沿过点A的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E处，折痕为AD，则△BED的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式5】（2026春•西和县校级期末）某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，设AE＝xkm，求AE，BE的长． 【变式6】（2026春•界首市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求BC边上的高． 【变式7】（2026春•中山市校级期中）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距10km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距　 　 km． 【变式8】（2026春•牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 【变式9】（2026春•新城区期末）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 课后小练习 1．（2026春•凯里市校级月考）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13 2．（2026春•广安区期末）满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　） A．BC＝2，AC＝3，AB＝4 B．BC＝2，AC＝3，AB＝3 C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 3．（2025秋•临西县期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•阿荣旗期末）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 5．（2026春•江岸区校级月考）如图，Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（　　） A．24 B．10π C． D．48 6．（2026春•奈曼旗期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长MN交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S： 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②． 方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表BC B．②代表c2+ab C．③代表正方形AFDE D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab 7．（2025春•田家庵区期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝8，沿过点A的直线折叠，使点B落在BC边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，则AE的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2024秋•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D为AB上一点，将△BCD沿CD所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在CA的延长线上，则AD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 9．（2025•新华区校级开学）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法，将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则△ADC′的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 10．（2024秋•巴彦县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC边上的一点，AD＝BD，AE⊥BD于点E，若AE＝3，，则线段BD的长为 　 　 ． 11．（2025秋•扬州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ADE沿DE翻折与△BDE重合，若AC＝6，BC＝3．则CD的长为 　 　 ． 12．（2025秋•安宁区校级期末）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 13．（2026秋•同步）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的有　 　 （填序号）． ①∠A：∠B：∠C＝13：5：12； ②a：b：c＝5：4：3； ③a2+b2＝c2； ④∠A＝90°﹣∠B； ⑤∠A+∠B＝∠C． 14．（2026春•宜宾期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝3cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，且AP＝4cm，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为　 　 秒时，△DPQ为直角三角形． 15．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 16．（2026春•福清市期末）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠CBA＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米． （1）求A、C之间的距离． （2）求这块四边形空地的面积． 17．（2026春•荣县月考）勾股定理是证明方法最多的数学定理之一．如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2＝c2． 18．（2026春•雨花区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）若∠A＝44°，求∠DBC的度数； （2）若CD＝1，BC，求BD、AB的长． 19．（2026春•马鞍山期末）如图，点O在△ABC的内部，且∠AOC＝90°，AO＝3，CO＝4，AB＝12，BC＝13． （1）求AC的长． （2）求证：△ABC是直角三角形． 20．（2026春•鲤城区校级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AG是△ABC的高，交BC于点G．已知：DE＝3，AB＝6，BC＝8． （1）求DF的长； （2）求AG的长． 21．（2026春•伊金霍洛旗期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm，高为16cm．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． （1）当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要　 　 cm； （2）如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？ 22．（2026春•牧野区校级月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 23．（2026春•红谷滩区校级期末）教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m． （1）如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少米？求出梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB，货架顶部安装一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通过计算说明． 24．（2026春•荔湾区校级期中）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10cm． （1）图2中CD＝　 　 cm； （2）求钟摆AD的长度． 参考答案 典例精讲 【类型1勾股定理】 【例题1】（2026春•合肥校级月考）在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝1，BC＝2，则AC的长为（　　） B． B．2 C． D．2.5 【解答】解：． 故选：A． 【例题2】（2026春•东莞市校级月考）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，第三边长是（　　） A．5 B． C．7 D．5或 【解答】解：当4是直角边时，第三边长为； 当4是斜边时，第三边长为； 故选：D． 【例题3】（2026春•徐闻县期中）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB， ∴AC＝AB， ∴OC＝AC﹣OA1， ∴点C表示的数为1． 故选C． 【变式1】（2026春•泸州期末）已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的斜边为（　　） A．5 B．5或 C．4 D．4或5 【解答】解：知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足， 依题意得：， 解得：， 当4是直角边时，由勾股定理得：斜边长； 当4是斜边时，其斜边长为4． 综上所述，斜边长为4或5． 故选：D． 【变式2】（2026秋•同步）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°． （1）若BC＝6，AC＝8，则AB＝　 　 ； （2）若AB＝25，AC＝15，则BC＝　 　 ； （3）若BC：AC＝3：4，AB＝20，则BC＝　 　 ，AC＝　 　 ． 【解答】解：（1）AB10， 故答案为：10； （2）BC20， 故答案为：20； （3）设BC＝3k，AC＝4k，则AB＝5k， ∵AB＝20， ∴5k＝20， ∴k＝4， ∴BC＝12，AC＝16． 故答案为：12，16． 【变式3】已知，如图∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，AD＝13，则求BD的长度． 【解答】解：在Rt△ACB中，AB5． 在Rt△ABD中，BD12． 【类型2 勾股定理的证明】 【例题1】（2026春•南充校级期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，小正方形的边长为b﹣a，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（△ABC≌△CDE，∠B＝∠D＝90°），使BC和CD在一条直线上，连接AE．请用a，b，c分别表示出梯形ABDE，△ABC，△CDE，△ACE的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：a2+b2＝c2． 【方法迁移】 （2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝6，AC＝7，BC＝8，设CD＝x，求x的值． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE， ∴∠ECD+∠CED＝90°，∠ACB＝∠CED， ∴∠ECD+∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝180°﹣（∠ECD+∠ACB）＝90°， ∴，，，， 观察图形可知：S梯形ABDE＝S△ABC+S△CDE+S△ACE， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝6，AC＝7，BC＝8，设CD＝x， ∴BD＝BC﹣CD＝8﹣x， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝62﹣（8﹣x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝72﹣x2， ∴62﹣（8﹣x）2＝72﹣x2， ∴， 即x的值为． 【例题2】（2026春•红河州期末）如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方形的面积，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　） A．8 B．4 C．64 D．36 【解答】解：∵图中直角三角形的长直角边的平方为64，斜边的平方为100， 由勾股定理得：该直角三角形的短直角边的平方＝100﹣64＝36， ∴字母A所代表的正方形面积是36， 故选：D． 【例题3】（2025秋•新华区期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为b，较短直角边为a，则（a+b）2的值是（　　） A．36 B．25 C．19 D．4 【解答】解：∵大正方形面积为13， ∴①，a2+b2＝13， ∵小正方形面积为1， ∴（b﹣a）2＝1②， 将②代入①，得13﹣2ab＝1， 解得ab＝6， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝13+2×6＝25， 故选：B． 【变式1】（2026春•神木市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（　　） A． B． C．4ab+（b﹣a）2＝c2 D．a2+ab+a×（b﹣a）＝c2 【解答】解：根据题意，列式可得：， 故选：A． 【变式2】（2026春•庐阳区校级期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为（　　） A．5 B．12 C．7 D．9 【解答】解：如图，正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5， 在Rt△PQR中，由勾股定理得：QR2＝PR2+PQ2， ∴SE＝SA+SB＝3+2＝5， 同理可得，SF＝SC+SD＝7， ∴SG＝SE+SF＝12， 故选：B． 【变式3】（2026秋•同步）如图所示的图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的面积为121，四边形EFGH的面积为49，用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y）．给出下列结论：①x2+y2＝121；②x﹣y＝7；③（x+y）2＝160；④2xy+49＝121．其中正确的结论是（　　） A． ①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③ 【解答】解：∵四边形ABCD的面积为121， ∴AB2＝121， ∵x2+y2＝AB2， ∴x2+y2＝121，故①符合题意， ∵四边形EFGH的面积为49， ∴EF2＝49，即EF＝7， ∵EF＝x﹣y， ∴x﹣y＝7，故②符合题意， ∵S△ABFx×y，S△ABF（121﹣49）＝18， ∴xy＝36， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝193，故③不符合题意， 2xy+49＝72+49＝121，故④符合题意， 故选：C． 【变式3】（2026春•庐江县期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 如图三幅图中均可证明勾股定理，请你选择期中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【解答】选择图2完成证明． 证明：首先观察图2的整体结构：它是边长为a+b的大正方形， 内部由4个全等的直角边为a、b， 斜边为c的直角三角形，和1个边长为c的小正方形拼接组成． 根据正方形面积公式，边长为a+b的大正方形面积为：， 将完全平方展开后可得：， 把大正方形拆分为4个直角三角形和1个小正方形分别计算面积再求和， 单个直角三角形的面积为， 4个直角三角形的总面积为， 中间小正方形的边长为直角三角形的斜边C， 面积为c2， 因此拆分后的总面积为：， 两种方法计算的是同一个大正方形的面积， 因此两个面积表达式相等：a2+2ab+b2＝2ab+c2， 等式两边同时减去公共项2ab， 即可得到：a2+b2＝c2． 【类型3 勾股定理的逆定理】 【例题1】（2026春•罗平县期末）若△ABC三边长a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：∵（a﹣5）2+|b﹣12|0， ∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∵52+122＝132， ∴△ABC是直角三角形， 故选：C． 【例题2】（2026春•榆阳区期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中∠ABC的度数应为90°．连接AC，现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ACD＝90°．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即∠ABC的度数是否为90°）． 【解答】解：该零件符合标准；理由如下： 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝12cm，AD＝13cm， 由勾股定理，得：AC2＝AD2﹣CD2＝132﹣122＝25， 在△ABC中，AB2+BC2＝32+42＝25＝AC2， ∴三角形ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴该零件符合标准． 【变式1】（2026春•鼓楼区校级期末）在△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝m+n，． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）是否同时存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝m+n，c＝2， ∴（m﹣n）2+（2）2＝m2+n2﹣2mn+4mn＝（m+n）2， ∴a2+c2＝b2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）不存在，理由： 由（1）知a2+c2＝b2，即c2＝b2﹣a2， 假设存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab， ∴b2﹣a2＝2ab， ∴a2+2ab﹣b2＝0， ∴ab±b＝（﹣1±）b， ∵b是正整数，﹣1±是无理数， ∴（﹣1±）b是无理数，即a是无理数，与题意不符， ∴不能同时存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab． 【变式2】（2026春•梅州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD，若BC＝20，CD＝16，BD＝12． （1）判断△BCD的形状，并说明理由； （2）求△ADC的面积． 【解答】解：（1）△BCD是直角三角形，理由如下： ∵BC＝20，CD＝16，BD＝12， ∴122+162＝202， 即BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形； （2）∵BC＝20，CD＝16，BD＝12， ∴122+162＝202， 即BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°， 在Rt△ADC中，CD＝16，AC＝AB＝AD+BD， 根据勾股定理得，CD2+AD2＝AC2， 即162+AD2＝（AD+12）2， 解得， 因此， 答：△ADC的面积为． 【类型4 勾股定理的应用】 【例题1】（2026春•凯里市校级月考）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面4米，树的顶端离树根3米，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【解答】解：如图： ∵BC＝4米，AC＝3米， ∵∠C＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴米， ∴这棵树在折断之前的高度是5+4＝9米． 故选：C． 【例题2】（2026春•阿克陶县期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：D． 【例题3】（2026春•北辰区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为　 　 ． 【解答】解：根据上图，进行如下标注： 由题知，∠ABC＝90°，∠EDC＝90°，AB＝24m，BC＝7m，DE＝20m， ∴， ∵梯子长度不变， ∴EC＝AC＝25m， ∴， ∴BD＝BC+CD＝7+15＝22m， 故答案为：22． 【例题4】（2024春•西华县期中）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为（　　） B． B． C． D．5 【解答】解：∵D是BC的中点， ∴CD＝DBBC＝2， 设AF＝DF＝x，则BF＝6﹣x， 在Rt△BFD中，则有x2＝22+（6﹣x）2， 解得x， ∴BF＝6﹣x． 故选：C 【例题5】（2026春•广州校级期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距27km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝24km，CB＝15km，现要在铁路AB上建设一个特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【解答】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴DE＝CE． ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2， ∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（27﹣x）． ∵DA＝24km，CB＝15km， ∴x2+242＝（27﹣x）2+152， 解得：x＝7， ∴AE＝7km． 答：E站应建在离A站7km处． 【例题6】（2026春•无为市期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．2 【解答】解：∵AB2＝22+42＝4+16＝20； AC2＝22+12＝4+1＝5， BC2＝32+42＝9+16＝25， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠BAC＝90°， ∴S△BACAB×AC5， ∵同一三角形面积相等， S△BACBC•AD5×AD＝5， ∴AD＝2． 故选：D． 【例题7】（2026春•南充期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏东30°的方向行30海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距40海里的点B处，若A、B两地相距50海里，则渔船从港口O出发的方向为　 　 ． 【解答】解：∵OA＝30海里，OB＝40海里，AB＝50海里， ∴OA2+OB2＝302+402＝2500＝502＝AB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°． ∵轮船OA方向为北偏东30°，∠AOB＝90°， ∴OB与正南方向的夹角为90°﹣30°＝60°， 因此渔船从港口O出发的方向为南偏东60°， 故答案为：南偏东60°． 【例题8】（2024秋•七星关区校级期中）如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10m，高是15m，一只壁虎在距底面3m的点A处，油罐上底面与点A相对的点C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 【解答】解：一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10m，高是15m，一只壁虎在距底面3m的点A处，作展开图如下： 由题意可得：AD10＝5（m），CD＝15﹣3＝12（m）， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC13（m）， 答：它爬行的最短路线长为13m． 【例题9】（2025秋•青浦区校级期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵AD＝15dm，∠ABD＝90°，AB＝10dm， ∴BD2＝AD2﹣AB2， BD2＝152﹣102 ＝225﹣100 ＝125． 在△BCD中， ∵BC＝5dm，CD＝10dm， ∴BC2+CD2＝25+100＝125．BC2+CD2＝52+102， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 【变式1】（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．16m B．17m C．19m D．20m 【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝6m，AB＝8m， ∴AC（m）， ∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝10+6＝16（m）． 故选：A． 【变式2】（2025秋•宿州期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得： x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：水深12尺， 故选：D． 【变式3】（2026春•北流市期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离A′D为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.4m C．2.7m D．2.8m 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝0.7m，AC＝2.4m， 由勾股定理得：AB2.5（m）， BD2（m）， 则CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7（m）， 故选：C． 【变式4】（2025秋•锡林郭勒盟期末）如图的三角板纸片中，AB＝11cm，BC＝6cm，AC＝8cm，沿过点A的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E处，折痕为AD，则△BED的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解：由折叠得AE＝AC＝8cm，ED＝CD， ∵AB＝11cm，BC＝6cm， ∴BE＝AB﹣AE＝11﹣8＝3（cm），ED+BD＝CD+BD＝BC＝6cm， ∴ED+BD+BE＝6+3＝9（cm）， ∴△BED的周长为9cm， 故选：B． 【变式5】（2026春•西和县校级期末）某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，设AE＝xkm，求AE，BE的长． 【解答】解：∵AE＝xkm， ∴BE＝（100﹣x）km， 由勾股定理得：CE2＝AC2+AE2，DE2＝BD2+BE2， 根据题意得，CE＝DE， ∴AC2+AE2＝BD2+BE2， ∴202+x2＝（100﹣x）2+602， 解得：x＝66， ∴100﹣x＝34， ∴AE＝66km，BE＝34km． 【变式6】（2026春•界首市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求BC边上的高． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB，AC2，BC5， ∴AB2+AC2＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°； （2）如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC， ∴S△ABCAC•ABBC•AD， ∵AB，AC＝2，BC＝5， ∴AD＝2， 即BC边上的高为2． 【变式7】（2026春•中山市校级期中）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距10km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距　 　 km． 【解答】解：由题意得，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴A，C两景点相距． 故答案为：． 【变式8】（2026春•牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝100； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝16+100＝116； （3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8）2＝4+144＝148． 综上所述，最短路径应为图1所示，所以AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm． 【变式9】（2026春•新城区期末）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D． 在直角△ABC中，BC＝400m，AC＝300m，∠ACB＝90°， 则由勾股定理，得， ∵，即， ∴CD＝240m， ∵240m＜250m， ∴公路AB段有危险，需要暂时封锁． 课后小练习 1．（2026春•凯里市校级月考）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13 【解答】解：A、1+2＝3，不满足三角形的三边关系，无法构成三角形，符合题意； B、∵32+42＝25＝52， ∴能构成直角三角形，不符合题意； C、∵62+82＝100＝102， ∴能构成直角三角形，不符合题意； D、∵52+122＝169＝132， ∴能构成直角三角形，不符合题意， 故选：A． 2．（2026春•广安区期末）满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　） A．BC＝2，AC＝3，AB＝4 B．BC＝2，AC＝3，AB＝3 C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【解答】解：A．若BC＝2，AC＝3，AB＝4，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形； B．若BC＝2，AC＝3，AB＝3，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形； C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形； D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＝180°75°＜90°，故△ABC不是直角三角形． 故选：C． 3．（2025秋•临西县期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，3+4＝7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 4．（2026春•阿荣旗期末）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【解答】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，即S正方形A+S正方形B＝S正方形C＝1． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是4×1＝4， …， “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026×1＝2026， 故选：D． 5．（2026春•江岸区校级月考）如图，Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（　　） A．24 B．10π C． D．48 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2， ∴S阴影＝以直径为AC的半圆的面积+以直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣以直径为AB的半圆的面积 π（）2π（）2AC•BCπ（）2 π（AC）2π（BC）2π（AB）2AC•BC π（AC2+BC2﹣AB2）AC•BC AC•BC 8×6 ＝24． 故选：A． 6．（2026春•奈曼旗期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长MN交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S： 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②． 方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表BC B．②代表c2+ab C．③代表正方形AFDE D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab 【解答】解：如图所示，延长MN交BC于G， 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则； 方法二：将五边形ABCDE看成是由正方形ABGM，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，则， 根据面积相等可以得到a2+b2+ab＝c2+ab，即a2+b2＝c2， 故选：C． 7．（2025春•田家庵区期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝8，沿过点A的直线折叠，使点B落在BC边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，则AE的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝8， ∴∠B+∠C＝90°， 由折叠得∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，AD＝AB＝4，DE＝CE， ∴∠ADB+∠EDC＝∠B+∠C＝90°， ∴∠ADE＝180°﹣（∠ADB+∠EDC）＝90°， ∵AD2+DE2＝AE2，DE＝CE＝8﹣AE， ∴42+（8﹣AE）2＝AE2， ∴AE＝5， 故选：B． 8．（2024秋•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D为AB上一点，将△BCD沿CD所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在CA的延长线上，则AD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 【解答】解：在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， 由折叠的性质可知，CE＝BC＝10，BD＝DE， ∴AE＝CE﹣AC＝2， 设AD＝x，则BD＝DE＝6﹣x， 在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2， ∴x2+22＝（6﹣x）2， x2+4＝36+x2﹣12x， 12x＝32， 解得：， 故选：D． 9．（2025•新华区校级开学）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法，将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则△ADC′的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10． 根据折叠的性质，BC＝BC′，CD＝DC′，∠C＝∠AC′D＝90°． ∴AC′＝10﹣6＝4． 在△AC′D中，设DC′＝x，则AD＝8﹣x，根据勾股定理得（8﹣x）2＝x2+42． 解得x＝3． ∴C'D＝3， ∴△ADC′的面积AC'•C'D4×3＝6， 故选：A． 10．（2024秋•巴彦县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC边上的一点，AD＝BD，AE⊥BD于点E，若AE＝3，，则线段BD的长为 　 　 ． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC于点F， ∵AE⊥BD，BF⊥AC， ∴∠AEB＝∠BFA＝90°， ∵AD＝BD， ∴∠ABE＝∠BAF， 在△ABE和△BAF中， ， ∴△ABE≌△BAF（AAS）， ∴BF＝AE＝3， 在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF1， 设AF＝x，则AB＝AC＝AF+1＝x+1， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2+BF2＝AB2， 即x2+32＝（x+1）2， 解得：x＝4， ∴AF＝4， 设BD＝AD＝a，则DF＝AF﹣AD＝4﹣a， 在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BF2＝BD2， 即（4﹣a）2+32＝a2， 解得：a， ∴BD， 故答案为：． 11．（2025秋•扬州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ADE沿DE翻折与△BDE重合，若AC＝6，BC＝3．则CD的长为 　 　 ． 【解答】解：∵将△ADE沿DE翻折与△BDE重合， ∴BD＝AD， ∵AC＝6，BC＝3， ∴BD＝AD＝6﹣CD， ∴∠C＝90°， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴CD2+32＝（6﹣CD）2， 解得CD， ∴CD的长为， 故答案为：． 12．（2025秋•安宁区校级期末）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， 由勾股定理得：AB10（cm）， 设CD＝acm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣a）cm， 由折叠性质得：CE＝CD＝acm，AE＝AC＝6cm，∠ADC＝∠C＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），∠DEB＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝DE2+BE2， ∴（8﹣a）2＝a2+42， 解得：a＝3（cm）， ∴CD＝a＝3cm． 故选：C． 13．（2026秋•同步）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的有　 　 （填序号）． ①∠A：∠B：∠C＝13：5：12； ②a：b：c＝5：4：3； ③a2+b2＝c2； ④∠A＝90°﹣∠B； ⑤∠A+∠B＝∠C． 【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝13：5：12， ∴设∠A＝13x，则∠B＝5x，∠C＝12x， ∴13x+5x+12x＝180°， 解得x＝6°，13x＝13×6＝78°， ∴此三角形是锐角三角形，故不能判断△ABC是直角三角形； ②∵a：b：c＝5：4：3 ∴设a＝5x，b＝4x，c＝3x， ∴b2+c2＝a2， ∴此三角形是直角三角形； ③∵a2+b2＝c2， ∴此三角形是直角三角形； ④∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ⑤∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：②③④⑤． 4．（2026春•宜宾期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝3cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，且AP＝4cm，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为　 　 秒时，△DPQ为直角三角形． 【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°， 如图1，当∠DQP＝90°时， ∵∠ADQ＝∠A＝∠DQP＝90°，AB＝10cm，AD＝3cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，且AP＝4cm， ∴四边形APQD为矩形， ∴DQ＝AP＝4cm， ∴CQ＝CD﹣DQ＝15﹣4＝11（cm）， ∵点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动， ∴此时点Q运动的时间为：11÷1＝11（秒）； 如图2，当∠DPQ＝90°时，过点P作PE⊥CD于点E， ∵∠ADE＝∠A＝∠DEP＝90°， ∴四边形APED为矩形， ∴DE＝AP＝4cm，PE＝AD＝3cm， 设EQ＝xcm，则DQ＝DE+EQ＝（4+x）cm， 在Rt△PDE中，， ∵PQ2＝PE2+EQ2，PQ2＝DQ2﹣DP2， ∴PE2+EQ2＝DQ2﹣DP2， 即32+x2＝（x+4）2﹣52， 解得：， ∴，， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上所述，t为11秒或秒时，△DPQ为直角三角形． 故答案为：11或． 15．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）连接BD， ∵∠A＝90°， ∴ ＝5（m）， 故B、D之间的距离为5m； （2）∵52+122＝132， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD的面积AB•ADBC•BD 4×312×5 ＝36（m2）． 16．（2026春•福清市期末）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠CBA＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米． （1）求A、C之间的距离． （2）求这块四边形空地的面积． 【解答】解：（1）如图，连接AC， ， ∵∠B＝90°， ∴AC2＝AB2+BC2＝122+92＝152， ∴A、C之间的距离＝15米； （2）CD2＝202，AD2＝252， ∵152+202＝252， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 17．（2026春•荣县月考）勾股定理是证明方法最多的数学定理之一．如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2＝c2． 【解答】证明：根据梯形的面积可得，， 整理得， ∴a2+b2＝c2． 18．（2026春•雨花区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）若∠A＝44°，求∠DBC的度数； （2）若CD＝1，BC，求BD、AB的长． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°， ∴， ∵BD⊥AC，即∠ADB＝90°， ∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝22°； （2）∵在Rt△DBC中，， ∴， 设AB＝AC＝x，则AD＝AC﹣CD＝x﹣1， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2， ∴x2＝（x﹣1）2+32， 解得x＝5， ∴AB＝5． 19．（2026春•马鞍山期末）如图，点O在△ABC的内部，且∠AOC＝90°，AO＝3，CO＝4，AB＝12，BC＝13． （1）求AC的长． （2）求证：△ABC是直角三角形． 【解答】（1）解：在Rt△AOC中，AO＝3，CO＝4， 由勾股定理得． （2）证明：∵AC＝5，AB＝12，BC＝13， ∴AC2+AB2＝52+122＝169，BC2＝132＝169， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 20．（2026春•鲤城区校级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AG是△ABC的高，交BC于点G．已知：DE＝3，AB＝6，BC＝8． （1）求DF的长； （2）求AG的长． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BD平分∠ABC，且DE＝3， ∴DF＝DE＝3； （2）∵， ， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝9+12＝21， 又∵AG是△ABC的高， ∴， 即， 解得． 21．（2026春•伊金霍洛旗期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm，高为16cm．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． （1）当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要　 　 cm； （2）如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？ 【解答】解：（1）根据题意可得搅拌棒至少需要16+2＝18（cm）， 故答案为：18； （2）当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长h＝25﹣16＝9（cm）； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为20（cm）， 露在杯子外面的长h＝25﹣20＝5（cm）； ∴如果设其露在杯子外面的长为hcm，则5cm≤h≤9cm． 22．（2026春•牧野区校级月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4米，BC＝3AC＝12米 ∴AB8（米）， 答：B处的游船到岸边AC的距离为8米； （2）∵作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处， ∴CD＝12﹣1×7＝5（米）， 在Rt△ACD中， ∴AD3（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝（83）米． 答：游船向岸边移动的距离为（83）米． 23．（2026春•红谷滩区校级期末）教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m． （1）如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少米？求出梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB，货架顶部安装一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通过计算说明． 【解答】解：（1）由题意可得，AB＝CD＝2.5m，BO＝0.7m， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得： ∵梯子底端沿OB向外移动0.8m， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）． 答：梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度为0.4m； （2）叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点．理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E， 由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m， ∵叉车高2m， ∴BE＝2m， ∴AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m）， ∴ED20（m）， ∵CE＝AE+AC＝15+5＝20（m）， ∴ED′15（m）， ∴DD′＝ED﹣ED′＝20﹣15＝5（m）， ∴叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点． 24．（2026春•荔湾区校级期中）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10cm． （1）图2中CD＝　 　 cm； （2）求钟摆AD的长度． 【解答】解：（1）由题意可知：CE＝BF＝7cm， ∴CD＝CE﹣DE＝7﹣5＝2（cm）， 故答案为：2； （2）设AB＝AD＝xcm，依题意得：BC＝10cm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣2）cm， 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（x﹣2）2+102＝x2， 解得：x＝26， 答：钟摆AD的长为26cm． 1 学科网（北京）股份有限公司 $