2.4 等腰三角形的判定定理 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

2.4 等腰三角形的判定定理 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的判定 题型2 等腰三角形的判定与性质 题型3 等边三角形的判定 题型4 等边三角形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的判定 解｜题｜知｜识 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典例1】在正方形网格中，网格线的交点成为格点．如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形．则符合条件的点C有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【解答】解：如图：AB为腰分情况讨论． ①点C在AB左边时，符合条件的C点有2个； ②点C在AB右边时，符合条件的C点有2个． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：作图如下：一共有4个，AP＝AB，AP＝BP，AB＝BP， 故选：B． 【变式2】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 【答案】A 【解答】解：A、由条件可知∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠C＝∠B， ∴△ABC为等腰三角形； B、根据三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形； C、∵∠A＝20°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣70°＝90°， ∴△ABC为直角三角形； D、∵AB＝1，BC＝4，周长为6， ∴AC＝6﹣AB﹣BC＝6﹣1﹣4＝1， ∵AB+AC＝1+1＝2＜BC ∴不能构成三角形； 故选：A． 【变式3】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．AB＝3，AC＝3，BC＝4 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．AB：AC：BC＝4：5：6 【答案】D 【解答】解：对于选项A， ∵AB＝3，AC＝3，BC＝4 ∴AB＝AC， ∴选项A中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：4， ∴设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α， ∴∠B＝∠C＝4α， ∴选项B中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝50°， ∴∠A＝∠B＝50°， ∴△ABC是等腰三角形， ∴选项C中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵AB：AC：BC＝4：5：6， ∴AB＝4k，AC＝5k，BC＝6k， ∴AB≠AC≠BC， ∴选项D中的条件不能判定△ABC是等腰三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 题型2 等腰三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【典例1】如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【答案】D 【解答】解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动， 当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形； 当Q运动到A的右侧AQAP时，△APQ是直角三角形； 当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形； 当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形． ∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形，∠C＝∠ABC（180°﹣36°）＝72°， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°， ∵∠A＝∠ABD＝36°， ∴△ABD是等腰三角形． ∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C， ∴△BDC是等腰三角形， 即图中等腰三角形的个数有3个， 故选：B． 【变式2】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有5个，则CB的长可能为（　　） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【解答】解：设长方形的边长BC＝a． 以B为原点，BC为x轴建立直角坐标系， 则各点坐标为B（0，0），C（a，0），A（0，3），D（a，3）． ∵点P在直线AD上， ∴可设P点坐标为（x，3）． △PBC是等腰三角形，情况一：PB＝PC， 点P在BC边的垂直平分线上． BC的垂直平分线是直线． 该直线与直线AD（y＝3）只有一个交点． ∴这种情况恒有1个点P． 情况二：PB＝BC， 根据两点间距离公式，PB2＝x2+32． 又BC2＝a2， ∴x2+9＝a2， 即x2＝a2﹣9， 若a＞3， 则a2﹣9＞0， 方程有两个解，对应2个点P． 若a＝3，则x＝0，对应1个点P（即点A）． 若a＜3，则无实数解，对应0个点P． 情况三：PC＝BC， 根据两点间距离公式，PC2＝（x﹣a）2+32． 又BC2＝a2， （x﹣a）2+9＝a2，即（x﹣a）2＝a2﹣9． 若a＞3，则方程有两个解，对应2个点P． 若a＝3，则 x﹣a＝0，x＝a，对应1个点P（即点D）． 若a＜3，则无实数解，对应0个点P． ∵题目要求满足条件的点P共有5个． 情况一恒提供1个点．要使总数为5， 情况二和情况三必须各提供2个点． ∴a＞3． ∴1+2+2＝5个点． 必须确保这5个点不重合．情况一的点是， 情况二的点是， ， 情况三的点是和， 若点重合，例如P1与P3重合， 则， 解得a2＝12展，即． 当时，点P1，P3，P4会重合为一点，总点数变为3个． 因此，要得到5个不同的点P，必须满足条件：a＞3且a， A．a＝3，不满足a＞3． B.，满足a＞3，但不满足a， C.，不满足a＞3． D．a＝4，满足a＞3且a． 所以，CB的长可能为4．正确答案是D． 故选：D． 【变式3】如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 【答案】D 【解答】解：连接AD，CD， 由题意得，CB＝CD，AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AE是∠DAB的角平分线， 又∵AB＝AD， ∴BE＝DE， 故选：D． 题型3 等边三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例1】下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 【答案】B 【解答】解：A、∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， 不能说明△ABC为等边三角形， 故A不符合题意； B、∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， 故B符合题意； C、∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故C不符合题意； D、AB＝AC， △ABC不一定是等边三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【变式1】给出下列三角形：①有两条边相等的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③有两个外角相等的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 【答案】B 【解答】解：①有两条边相等的三角形是等腰三角形，证明不出等边三角形，故错误； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，正确； ③有两个外角相等的三角形不一定是等边三角形，因为两个外角相等，则两个内角相等，只能证明为等腰三角形，故错误； ④由题意得AB＝AC，CD⊥AB，DB＝DA，如图， 则∠CDA＝∠CDB＝90°，而DC＝DC， ∴△ADC≌△BDC（SAS）， ∴CA＝CB， ∴AB＝AC＝BC， 故△ABC为等边三角形， 故④正确， 故选：B． 【变式2】下列推理错误的是（　　） A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 【答案】B 【解答】解：A、三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和定理，那么三个内角的度数都是60°，因此三角形ABC是等边三角形； B、AB＝AC，那么∠B＝∠C，但是无法证明AB＝AC＝BC，因此三角形ABC是等腰三角形，而不一定是等边三角形； C、三角形中有两个角是60°，那么另外的一个一定是60°，三内角相等那么此三角形一定是等边三角形； D、AB＝AC，那么∠B＝∠C＝60°，那么三角形的另一一个内角也一定是60°，因此此三角形一定是等边三角形． 故选：B． 【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． （1）求证：AE垂直平分BC； （2）若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； （3）若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． ∵OB＝OC，点A，O在AE上， ∴AE垂直平分BC； （2）∵∠OED＝∠ODE， ∴OD＝OE． 又∵BD⊥AC，AE⊥BC， 即OD⊥AC，OE⊥BC， ∴CO平分∠ACB； （3）由（1）知AB＝AC． ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． 由（1）知AE垂直平分BC， ∴E是BC的中点， ∴ECBC， ∵BD⊥AC， ∴， ∴EC＝CD， ∴△CDE是等边三角形． 题型4 等边三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【典例1】如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【解答】解：如图，连接AB， 由题意得：OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°， ∵BD⊥OA， ∴∠OBD∠OBA60°＝30°， 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG．则下列四个结论①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④当∠AEF＝15°时，∠BEC＝150°．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AD⊥BC， ∴BD＝DC， 故结论①正确，符合题意； 如图，AD⊥BC，BD＝DC，连接BE， ∴DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠CBE＝∠BCE， ∵CE＝EF， ∴BE＝EF， 在△BCE中，∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°， ∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣2∠CBE， 在△BFE中，∠BEF+∠FBE+∠BFE＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝180°﹣2∠FBE， ∴∠BEC+∠BEF＝180°﹣2∠CBE+180°﹣2∠FBE＝360°﹣2（∠CBE+∠FBE）， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠CBE+∠FBE＝60°， ∴∠BEC+∠BEF＝360°﹣2×60°＝240°， ∵∠CEF＝360°﹣∠BEC﹣∠BEF， ∴∠CEF＝360°﹣（∠BEC+∠BEF）＝360°﹣240°＝120°， 故结论②正确，符合题意； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠CBE＝∠BCE， ∴∠ABC﹣∠CBE＝∠ACB﹣∠BCE，即∠FBE＝∠ACE， ∵∠FBE＝∠BFE， ∴∠ACE＝∠BFE， 故结论③正确，符合题意； 当∠AEF＝15°时，∠EFG＝∠AEF+∠BAD＝15°+30°＝45°， ∵BE＝EF， ∴∠FBE＝∠BFE＝45°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠CBE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BCE＝15°， ∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣15°﹣15°＝150°， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 【变式2】下列说法中，正确的有（　　）个． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①有一个外角为120°的等腰三角形的一个内角是60°，判定这样的等腰三角形是等边三角形，故①符合题意； ②任何等腰三角形的两个底角的外角相等，因此这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故②不符合题意； ③三个外角都相等的三角形，其三个内角相等，判定这样的三角形是等边三角形，故③符合题意； ④等腰三角形底边的高也是这边上的中线，这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故④不符合题意； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么a﹣b＝0或b﹣c＝0或c﹣a＝0，因此a＝b或b＝c或c＝a，则这个三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故⑤不符合题意， ∴说法正确的有2个． 故选：B． 【变式3】已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠C＝60°，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝2； 故选：B． 过 关 验 收 1．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（　　） A．4米，4米 B．4米，10米 C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米 【答案】C 【解答】解：当4米为腰时，另两边为：4米，10米， ∵4+4＜10， ∴不合题意舍去， 当4米为底边时，另两边为：7米，7米， 故选：C． 2．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：A． 3．如图将一张纸条等分成14份．若第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在　②或③　 处剪断．（填所有符合条件的序号） 【答案】②或③． 【解答】解：分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论如下： 当4为腰时，则底为14﹣2×4＝6，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为5，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为2、2、10，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为4、7、3，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 4．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　 ． 【答案】120°或75°或30° 【解答】 解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝30°， ①当E在E1时，OE＝CE， ∵∠AOC＝∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； ②当E在E2点时，OC＝OE， 则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°； ③当E在E3时，OC＝CE， 则∠OEC＝∠AOC＝30°； 故答案为：120°或75°或30°． 5．已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形　 ． 【答案】等腰三角形． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 6．如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想△DOP是 　等腰　 三角形． （2）证明你的猜想，写出解答过程． 【答案】（1）等腰；（2）证明见解答过程． 【解答】解：（1）△DOP是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP＝∠BOP， ∵DN∥EM， ∴∠DPO＝∠BOP， ∴∠DOP＝∠DPO， ∴OD＝PD， ∴△DOP是等腰三角形． 7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）cm （用t的代数式表示） （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，出发 　11秒或12　 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）cm； （2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 8．如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC．求证：△BDE是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴DB＝DE， ∴△BDE是等腰三角形． 9．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，点P的坐标不可能为（　　） A．（4，0） B． C． D．（6，0） 【答案】D 【解答】解：设点P的坐标为（a，0）， ∵点A（2，3），点O（0，0）， ∴AP2＝（2﹣a）2+32＝（2﹣a）2+9， AO2＝22+32＝13， OP2＝a2， 分三种情况： 当AP＝AO时，即（2﹣a）2+9＝13， 解得：a1＝4，a2＝0（舍去）； 当AP＝OP时，即（2﹣a）2+9＝a2， 解得：a； 当AO＝OP时，即a2＝13， 解得：a1，a2； 综上所述：△AOP等腰三角形，点P的坐标为（4，0）或（，0）或（，0）或（，0）， 故选：D． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若BC＝10，AD＝6，则图中阴影部分的面积是（　　） A．60 B．30 C．20 D．15 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AD右阴影部分三角形可填补至AD左边空白部分， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 11．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝70°，则∠C＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵BM⊥AC， ∴∠AMB＝90°， ∵∠A＝70°， ∴∠ABM＝90°﹣∠A＝20°， ∵AM＝MN， ∴BM是AN的垂直平分线， ∴BA＝BN， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣∠A＝20°， ∵MN＝ND，NM⊥BM，ND⊥BC， ∴BN平分∠MBD， ∴∠NBM＝∠NBD＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠NBM﹣∠NBD＝50°， 故选：B． 12．如图，△ABC中，BC＝10，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，则△OEF的周长为 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠ABO＝∠EBO，∠ACO＝∠FCO， ∵OE∥AB，OF∥AC， ∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF， ∴∠EBO＝∠BOE，∠FCO＝∠COF， ∴BE＝OE，OF＝FC， ∴BC＝BE+EF+FC＝OF+OE+EF， ∵BC＝10， ∴OF+OE+EF＝10， ∴△OEF的周长＝OF+OE+EF＝10， 故答案为：10． 13．如图，一个直角三角板的一条直角边经过∠AOB的顶点O，一把直尺经过三角板的直角顶点E并且与这条直角边垂直，直尺与∠AOB的两边分别交于C、D，当CE＝DE时，∠AOE与∠AOB的数量关系为：　∠AOB＝2∠AOE ． 【答案】∠AOB＝2∠AOE． 【解答】解：∵OE⊥CD，DE＝CE， ∴OE是CD的垂直平分线， ∴OC＝OD， ∴∠AOB＝2∠AOE， 故答案为：∠AOB＝2∠AOE． 14．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠3＝31°． 【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CDA＝28°， ∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝28°+90°＝118°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣118°＝62°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2∠ABD62°＝31°， ∵∠1＝∠3， ∴∠3＝31°． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 16．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 17．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请判断△ACD与△CBD　是　 （填“是”或“否”）为“等角三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”． 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）是； （2）∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ACD＝∠A， ∴CD＝AD， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B， ∴△ABC与△CBD是“等角三角形”， ∴CD为△ABC的“巧等线”； （3）∠B的度数为30°或60°或（）°或（）°． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴△ACD与△CBD是“等角三角形”， 故答案为：是； （2）∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ACD＝∠A， ∴CD＝AD， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B， ∴△ABC与△CBD是“等角三角形”， ∴CD为△ABC的“巧等线”； （3）∠B的度数为30°或60°或（）°或（）°，理由如下： 根据题意可知，存在以下四种情况： ①当△ACD是等腰三角形，AC＝AD时，∠ADC＝∠ACD＝70°，∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACD﹣∠BCD＝30°； ②当△ACD是等腰三角形，CD＝AD时，∠BCD＝∠A＝∠ACD＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACD﹣∠BCD＝60°； ③当△BCD是等腰三角形，CD＝BD时，∠ACD＝∠B＝∠BCD， ∴∠B（）°； ④当△BCD是等腰三角形，BC＝BD时，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠BDC＝∠A+∠ACD＝40°+∠B， ∴在△BCD中，40°+∠B+40°+∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝（）°， 故：∠B的度数为30°或60°或（）°或（）°． 18．如图，∠CAD是△ABC的外角，点F是AB的中点，过点F作线段EG，使其交∠CAD的平分线于点E，交CB的延长线于点G，且AE∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若AE＝1，AB＝4，BC＝3BG，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明：∵AE∥BC， ∴∠ABC＝∠DAE，∠C＝∠CAE． ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE． ∴∠ABC＝∠C． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． （2）解：∵F是AC的中点， ∴AF＝CF． ∵AE∥BC， ∴∠AEF＝∠BGF． 由对顶角相等可知：∠AFE＝∠BFG， 在△AFE和△BFG中， ， ∴△AFE≌△CFG（ASA）． ∴AE＝BG＝1． ∵BC＝3BG， AC＝AB＝4， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+4+3＝11． 【解答】（1）证明：∵AE∥BC， ∴∠ABC＝∠DAE，∠C＝∠CAE． ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE． ∴∠ABC＝∠C． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． （2）解：∵F是AC的中点， ∴AF＝CF． ∵AE∥BC， ∴∠AEF＝∠BGF． 由对顶角相等可知：∠AFE＝∠BFG， 在△AFE和△BFG中， ， ∴△AFE≌△CFG（ASA）． ∴AE＝BG＝1． ∵BC＝3BG， AC＝AB＝4， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+4+3＝11． 19．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）． ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°． ∴∠ACB＝∠NAC． ∴AB＝BC＝30 （海里）． ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里． （2）如图，过点C作CP⊥AB于点P． ∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°． 又∵∠NBC＝60°， ∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°． 在Rt△CBP中，∠BCP＝30°， ∴（海里）， 15÷15＝1（小时）． 故还要经过1小时长时间，小船与灯塔C的距离最短． 20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点G， ∵AB＝AD＝12，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝12，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， ∴AG⊥BD，BG＝DG， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴AE＝CE＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝5． 故答案为：5． 21．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD与支杆BC，CD＝BC，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B，D两点之间的距离为 　50　 cm． 【答案】50． 【解答】解：连接BD， 由条件可知∠BCD＝60°， 又∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝50cm， 故答案为：50． 22．如图，AB⊥BC，∠ACB＝20°，∠CBD＝40°，AC＝4，BD＝2，则∠BCD＝ 　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：在AC上取一点E，使CE＝BE，连接ED，如图， 由条件可知∠ACB＝∠EBC＝20°， ∴∠AEB＝∠ACB+∠EBC＝40°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠A＝90°＝∠EBC+∠EBA， ∴∠A＝∠EBA， ∴BE＝AE， ∴CE＝BE＝AE， ∵AC＝4＝AE+BE， ∴CE＝BE＝AE＝2， ∴CE＝BE＝AE＝BD＝2， ∵∠CBD＝40°， ∴∠EBD＝∠CBD+∠EBC＝40°+20°＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝BD＝2＝CE，∠DEB＝60°， ∴∠AED＝60°+40°＝100°，∠ECD＝∠EDC， 由条件可得∠ECD＝∠EDC＝50°， ∴∠BCD＝∠ECD﹣∠ECB＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 23．如图，工人在某施工现场作业，地面AB上有一个长为1.6米的梯子CM斜靠在墙上，梯子CM底端与地面AB的交点为C，梯子CM与墙面AM的交点为M，此时梯子的倾斜角为75°（即∠ACM＝75°），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子CN与墙面BN的交点为N，此时梯子CN的倾斜角为45°（即∠BCN＝45），若连接MN，那么MN的长是　1.6　 米． 【答案】1.6． 【解答】解：根据题意，∠ACM＝75°，∠BCN＝45°，CM＝1.6米， ∴∠MCN＝180°﹣∠ACM﹣∠BCN＝60°， ∵CM＝CN， ∴△CMN为等边三角形， ∴MN＝CM＝1.6米， 故答案为：1.6． 24．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求证：． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵DF⊥AB， ∴∠DFA＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°， ∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°， ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴∠BDF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BFBD， ∵AD垂直平分BC， ∴BC＝2BD＝2CD， ∴AC＝2BD， ∵∠ACB是△DCE的一个外角， ∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴CD＝CE， ∴AC＝2CE＝2CD， ∴AE＝3CD＝3DB， ∴BDAE， ∴BFAE． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN分别交AC，BC于点F，E，连接DF． （1）△ADF是等边三角形吗？为什么？ （2）若EF的长为2，求AB的长． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）8． 【解答】解：（1）△ADF是等边三角形． 理由是：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）（180°﹣120°）60°＝30°， ∵以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN分别交AC，BC于点F，E， ∴MN是CD的垂直平分线， ∴DF＝CF， ∴∠FDC＝∠C＝30°， ∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°． ∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴， ∴∠ADF＝∠DAF＝∠AFD＝60°， ∴△ADF是等边三角形； （2）由（1）知，MN是CD的垂直平分线， ∴∠FEC＝90°， ∵∠C＝30°，EF＝2， ∴FC＝2EF＝4， ∵DF＝FC， ∴DF＝4， ∵△ADF是等边三角形， ∴AF＝DF＝4， ∴AC＝AF+FC＝4+4＝8， ∵AB＝AC， ∴AB＝8， 即AB的长为8． 26．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，求CM的长． 【答案】． 【解答】解：∵等边三角形边长为2，BDCD， ∴BD，CD， ∵等边三角形ABC中，DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B＝60°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝30°， ∴DE⊥BE， ∴∠BED＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∴BEBD， ∴DE 如图，连接DM，则Rt△DEF中，DMEF＝FM， ∵∠FDC＝∠FCD＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝CF， ∴CM垂直平分DF， ∴∠DCN＝30°，DN＝FN， ∴Rt△CDN中，DN，CN， ∵M为EF的中点， ∴MNDE， ∴CM＝CN+MN． 27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 等腰三角形的判定定理 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的判定 题型2 等腰三角形的判定与性质 题型3 等边三角形的判定 题型4 等边三角形的判定与性质 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的判定 解｜题｜知｜识 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典例1】在正方形网格中，网格线的交点成为格点．如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形．则符合条件的点C有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝70° B．AB＝AC＝3，BC＝7 C．∠A＝20°，∠B＝70° D．AB＝1，BC＝4，周长为6 【变式3】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．AB＝3，AC＝3，BC＝4 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．AB：AC：BC＝4：5：6 题型2 等腰三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【典例1】如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有5个，则CB的长可能为（　　） A．3 B． C． D．4 【变式3】如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 题型3 等边三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例1】下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 【变式1】给出下列三角形：①有两条边相等的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③有两个外角相等的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 【变式2】下列推理错误的是（　　） A．在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 B．在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形 C．在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 D．在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形 【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． （1）求证：AE垂直平分BC； （2）若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； （3）若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 题型4 等边三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【典例1】如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG．则下列四个结论①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④当∠AEF＝15°时，∠BEC＝150°．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式2】下列说法中，正确的有（　　）个． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠C＝60°，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．4 过 关 验 收 1．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（　　） A．4米，4米 B．4米，10米 C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米 2．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 3．如图将一张纸条等分成14份．若第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在　 　 处剪断．（填所有符合条件的序号） 4．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　 ． 5．已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是　 　 ． 6．如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想△DOP是 　 　 三角形． （2）证明你的猜想，写出解答过程． 7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　 （用t的代数式表示） （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，出发 　 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 8．如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC．求证：△BDE是等腰三角形． 9．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，点P的坐标不可能为（　　） A．（4，0） B． C． D．（6，0） 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若BC＝10，AD＝6，则图中阴影部分的面积是（　　） A．60 B．30 C．20 D．15 11．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝70°，则∠C＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 12．如图，△ABC中，BC＝10，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，则△OEF的周长为 　 　 ． 13．如图，一个直角三角板的一条直角边经过∠AOB的顶点O，一把直尺经过三角板的直角顶点E并且与这条直角边垂直，直尺与∠AOB的两边分别交于C、D，当CE＝DE时，∠AOE与∠AOB的数量关系为：　 ． 14．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 16．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 17．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请判断△ACD与△CBD　 　 （填“是”或“否”）为“等角三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”． 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 18．如图，∠CAD是△ABC的外角，点F是AB的中点，过点F作线段EG，使其交∠CAD的平分线于点E，交CB的延长线于点G，且AE∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若AE＝1，AB＝4，BC＝3BG，求△ABC的周长． 19．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝7，则EF的长为　 　 ． 21．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD与支杆BC，CD＝BC，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B，D两点之间的距离为 　 　 cm． 22．如图，AB⊥BC，∠ACB＝20°，∠CBD＝40°，AC＝4，BD＝2，则∠BCD＝ 　 　 ． 23．如图，工人在某施工现场作业，地面AB上有一个长为1.6米的梯子CM斜靠在墙上，梯子CM底端与地面AB的交点为C，梯子CM与墙面AM的交点为M，此时梯子的倾斜角为75°（即∠ACM＝75°），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子CN与墙面BN的交点为N，此时梯子CN的倾斜角为45°（即∠BCN＝45），若连接MN，那么MN的长是　 　 米． 24．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求证：． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN分别交AC，BC于点F，E，连接DF． （1）△ADF是等边三角形吗？为什么？ （2）若EF的长为2，求AB的长． 26．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，求CM的长． 27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 学科网（北京）股份有限公司 $