2.3～2.4 等腰三角形的性质定理和判定定理 讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦浙教版八年级上册等腰三角形性质与判定核心知识点，系统梳理等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质，延伸至等边三角形特殊性质，再过渡到“等角对等边”判定及等边三角形判定，构建从性质到判定的完整学习支架。 资料亮点在于例题融入古建筑、轮船航行等现实情境，培养数学眼光，分层练习（专项到综合）提升推理能力，规范几何语言表述强化数学语言。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

浙教版数学八年级上册第2章第3＆4节 等腰三角形的性质定理和判定定理知识点讲解及练习 知识点一：等腰三角形性质定理1 1.定理内容： 等腰三角形的两个底角相等（在同一个三角形中，等边对等角）。 2.几何语言： 在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 例题：若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　）。 A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 【答案】C 【分析】80°角是顶角与底角两种情况分别讨论求解。 【详解】解：①80°角是顶角时，底角=（180°-80°）=50°， 所以，其余两个角是50°、50°； ②80°角是底角时，顶角=180°-80°×2=20°， 所以，其余两个角是80°、20°； 综上所述，其余两个角是50°、50°或80°、20°； 故选C。 知识点二：等腰三角形性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线相互重合，简称等腰三角形三线合一。（注：腰上的中线、腰上的高和底角角平分线不可以） 例题：如图所示的是我国古建筑梁架顶部的简易示意图，可看作等腰三角形ABC．已知，则下列不能说明的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质，三角形中线的定义以及全等三角形的对应边相等是解此题的关键。 根据等腰三角形的性质（三线合一）和全等三角形的性质作答。 【详解】解：A.当，时，是的中线，则，不符合题意； B.当，时，是的中线，则，不符合题意； C.当，，则不能判定，符合题意； D.当时，，不符合题意； 故选：C。 知识点二 专项练习 1.如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（　　）。 A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答。 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ，， ，， ，， ， 故选B。 2.如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为的中点，点M为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（　　）。 A．30 B．39 C．60 D．78 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键。连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论。 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A。 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BD＝3，则CD＝_____。 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的性质直接写出答案即可。 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴BD＝CD， ∵BD＝3， ∴CD＝3， 故答案为：3。 4.等腰三角形的对称轴是____________________________。 【答案】底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线 【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线。 【详解】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线， 故答案为：底边上的高（顶角平分线或底边的中线）。 5.如图，在中，，D为中点，，则的度数为_____。 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及三角形内角和定理，先根据等腰三角形性质得出是的平分线，，再根据三角形内角和求出结论即可。 【详解】解：∵，D为中点， ∴是的平分线，， ∵， ∴， ∴∠C=（180°-70°）=55°， 故答案为：。 知识点三：等边三角形的性质 性质1：等边三角形的各个内角都等于60°。 性质2.：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 （注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质） 例题：已知等边的一边长为2，则它的周长是（　　）。 A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可。 【详解】解：由等边的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为6，故选C。 知识点三 专项练习 1.如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键。 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数。 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C。 2.一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有______条。 【答案】3/三 【分析】此题考查轴对称的性质和等边三角形的性质，属常规题。根据等腰三角形三线合一的性质可知每条高所在的直线都是对称轴。 【详解】解：每条高所在的直线都是对称轴，所以共有3条对称轴，故答案为：3。 3.在等边中，是边上的中线，N为的延长线上的一点，且，则的度数是______。 【答案】120 【分析】根据等边三角形的性质求出，根据三线合一求出，根据等边对等角求出，继而得解。 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴，故答案为：120。 4.如图，已知是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠。若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于_______。 【答案】9 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可，由折叠的性质得，是解题的关键。 【详解】解：利用折叠的性质可得：，， 阴影部分图形的周长 ， 是边长为3的等边三角形， ， ， 阴影部分图形的周长等于9， 故答案为：9。 知识点四：等腰三角形的判定 1.判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形（在同一个三角形中，等角对等边）。 2.几何语言： 在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 例题：在中，，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等角对等边，即可得出结论。 【详解】解：在中，，则：；故选A。 知识点四 专项练习 1.如图，，，则下列结论错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定即可得选项A正确；先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可得选项B正确；根据邻补角的定义求出，由此即可得选项C错误；根据等腰三角形的判定即可得选项D正确。 【详解】解：如图所示， ， ，则选项B正确； ，， ， ，则选项A正确； ， ， ， ，则选项D错误； ， ，则选项C正确； 故选：D。 2.下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（     ）。 A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定。由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案。 【详解】解：A.∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B.∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C.∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D.∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选：B。 3.如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（     ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键。 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数。 【详解】解：在中，， ， 是的平分线，， 是角平分线，， ∴点到和的距离相等，即， ∴是等腰三角形； 在和中，，，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个； 故选：C。 知识点五：等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形（有两个角等于60°的三角形是等边三角形）。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（在等腰三角形的条件下，60°的角不论是顶角还是底角，都成立。） 例题：在中，则的度数为___________度。 【答案】60 【分析】根据条件可判断是等边三角形，即可求解。 【详解】解：∵ ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：。 知识点五 专项练习 1.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（　　）。 A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 【答案】A 【分析】先求得，然后可判断为等边三角形，从而可求得的长。 【详解】解：如图所示：连接。 点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向， ， 又，为等边三角形， 海里， 故选：。 2.等边三角形的判定1：___________都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的判定2：___________都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的判定3：有一个角___________的___________三角形是等边三角形。 【答案】三条边 三个角 是 等腰 【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可。 【详解】解：等边三角形的判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形； 故答案为：三条边；三个角；是；等腰。 3.已知在中，，且，则_____。 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键。 【详解】解：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：。 综合运用： 一、选择题 1.在中，，则的度数是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得是等边三角形，则。 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C。 2.如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点。已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（     ）个。 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义判断即可。 【详解】解：如图， AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C， AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C， 所以，满足条件的点C的个数是4+4=8， 故选：C。 3.若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（    ）。 A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分当顶角为时，当为底角时两种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键。 【详解】解：当顶角为时， 则它的底角度数为 =75°； 当底角为时，其底角为， ∴它的底角度数为或， 故选：。 4.一个等腰锐角三角形，三个内角的度数比可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，三角形的分类， 正确计算三个内角度数是解题的关键。 根据三角形内角和定理，结合每个角度的占比，求出各选项三角形的每个角的度数，即可判断。 【详解】解：A.三个内角度数为：，是直角三角形，不符合题意； B.三个内角度数为：，不是等腰三角形，不符合题意； C.三个内角度数为：， 每个角均小于，且有2个角度数相等，是等腰锐角三角形，符合题意； D.三个内角度数为：，是钝角三角形，不符合题意； 故选：C。 5.已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（     ）。 A．或 B． C． D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等腰三角形的定义及性质，三角形三边关系的应用，理解绝对值的非负性是解题的关键。 先根据绝对值的非负性及有理数加法求出的值，再根据三角形三边关系确定三边即可求解。 【详解】解：， ， 解得，， 如果为腰，那么三角形三边为，而，因此以4为腰不能构成三角形，不符合题意； 如果为腰，那么三角形三边为，，因此以8为腰能构成三角形，符合题意，且周长为； 故选：B。 6.“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”。莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”。如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点。下列条件不能说明平分的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质，三角形中线的性质逐项判定即可。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分，故选项A不符合题意； ∵，， ∴平分，故选项B不符合题意； ∵， ∴， 又， ∴平分，故选项D不符合题意； 而无法说明平分，故选项C符合题意； 故选：C。 7.如图，一艘船从某港口A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西的方向上，如果这艘船上午8时从港口A出发，上午10时到达小岛B，此时在小岛B处测得礁石C在北偏西的方向上，那么小岛B与礁石C的距离是（    ）。 A．40海里 B．30 海里 C．20 海里 D．10 海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定；根据外角的性质可证明，进而可得，即可得解。 【详解】解：如图， 由题意可得：海里， ，， ， ， 海里，故选：。 8.如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（    ）。 A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，根据轴对称的性质得到，再由三边关系得，根据垂线段最短即可得到结论。 【详解】解：连接、， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点B，C关于为对称， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出时取得最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为8， 故选C。 9.如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F。若，则的周长是（    ）。 A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键。由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解。 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C。 10.如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形（    ）？ A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复。 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可。 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形，故选B。 二、填空题 11.若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为 。 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解。 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解。 【详解】解：①是等腰三角形的底角， ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或。 12.如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 。 【答案】16 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可。 【详解】解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形； （2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形的周长=7+7+2=16； 综上，此三角形的周长为16； 故答案为：16。 13.如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A。测得的相关数据如下：。由上述数据可知 m。 【答案】48 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案。 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：48。 14.如图，在中，，点A，点C分别在直线a，b上，且。若，则的度数为 。 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得 ，然后利用平行线的性质可得 ，即可求解。 【详解】解：∵， ∴ ， ∵，， ∴， 故答案为：。 15.已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 。 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；根据三线合一的性质得出，然后分类讨论，即可求解。 【详解】解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴， 故答案为：或。 16.如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则 。 【答案】/20度 【分析】由及，得是等边三角形，则，得，设，则，从而求得及，再由，即可得关于的方程，解方程即可求解。 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：。 17.如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为 。 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键。 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值。 【详解】解：，， ∴， 如图，当点M在上运动时，，， 过点M作于点F， 在中，， ， ， 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）， ； 如图，当点M在上运动时，，， 过点M作于点H， 在中，， ， ， 当时，， 故答案为：。 三、解答题 18.已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数。 【答案】72° 【分析】首先根据等边对等角得到∠B＝∠C，然后利用∠B＝2∠A得到∠B＝∠C＝2∠A，从而利用三角形内角和定理求得答案。 【详解】解：∵等腰△ABC中AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∵∠B＝2∠A， ∴∠B＝∠C＝2∠A， 设∠A＝x°， 则∠B＝∠C＝2x°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2x+2x+x＝180， 解得：x＝36，∴∠B＝2x＝2×36°＝72°。 19.指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。 （1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一； （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形。 【答案】见解析 【分析】（1）根据命题的基本知识，求解即可，并判断命题真假； （2）根据命题的基本知识，求解即可，并判断命题真假。 【详解】解：（1）条件：在同一年内，5月4日是星期一；结论：5月11日也是星期一。为真命题； （2）条件：三角形的三个内角都相等；结论：这个三角形是等边三角形。为真命题。 20.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1＝∠2，求证：AB＝AC。 【答案】 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC。 【分析】先由平行线的性质得∠1=∠B，∠2=∠C，再由角平分线定义得∠1=∠2，则∠B=∠C，然后由等角对等边即可得出结论。 【详解】略 21.已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数。 （1）若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由； （2）若，，且c是奇数，求的周长。 【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）12 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论。 本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键。 【详解】（1）略 （2）解：∵的三边长分别为 ∴， 即 ∵c为奇数， ∴， ∴的周长。 22.如图，在中，。过点作直线，点关于直线的对称点为，连接，直线交直线于点。 （1）依题意补全图形； （2）若，求的度数。 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】（1）根据要求画出图形即可解决问题； （2）首先证明，∠BAD=150°，利用等腰三角形的性质即可解决问题。 【详解】解：（1）补全图形如图所示： （2）如图，连接，过点作于点， 由轴对称的性质，得， ， 在和中， ， ， ， 。 23.如图，在中，，点分别在边上，且，连接。 （1）当时，求的度数； （2）若，求的度数。 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键。（1）根据等腰三角形的性质得到，求出；（2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出。 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ，， ， ， 。 24.（1）如图，在中，，，点D在上，且，点E在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由。 【答案】（1）；（2）不改变，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质等，牢记性质是解题关键。 （1）由，可得，根据得到，根据，，结合三角形的外角性质可得，最后利用三角形的外角性质即可解决； （2）根据等边对等角、三角形外角性质及三角形内角和定理即可解决。 【详解】解：（1）在中， ，， ， 又， ， ，， ， ， ； （2）不改变，理由如下： 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版数学八年级上册第2章第3＆4节 等腰三角形的性质定理和判定定理知识点讲解及练习 知识点一：等腰三角形性质定理1 1.定理内容： 等腰三角形的两个底角相等（在同一个三角形中，等边对等角）。 2.几何语言： 在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 例题：若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　）。 A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 知识点二：等腰三角形性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线相互重合，简称等腰三角形三线合一。（注：腰上的中线、腰上的高和底角角平分线不可以） 例题：如图所示的是我国古建筑梁架顶部的简易示意图，可看作等腰三角形ABC．已知，则下列不能说明的是（　　）。 A． B． C． D． 知识点二 专项练习 1.如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（　　）。 A． B．3 C． D．4 2.如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为的中点，点M为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（　　）。 A．30 B．39 C．60 D．78 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BD＝3，则CD＝_____。 4.等腰三角形的对称轴是____________________________。 5.如图，在中，，D为中点，，则的度数为_____。 知识点三：等边三角形的性质 性质1：等边三角形的各个内角都等于60°。 性质2.：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 （注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质） 例题：已知等边的一边长为2，则它的周长是（　　）。 A．2 B．5 C．6 D．8 知识点三 专项练习 1.如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（    ）。 A． B． C． D． 2.一个等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有______条。 3.在等边中，是边上的中线，N为的延长线上的一点，且，则的度数是______。 4.如图，已知是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠。若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于_______。 知识点四：等腰三角形的判定 1.判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形（在同一个三角形中，等角对等边）。 2.几何语言： 在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 例题：在中，，则（     ）。 A． B． C． D． 知识点四 专项练习 1.如图，，，则下列结论错误的是（     ）。 A． B． C． D． 2.下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（     ）。 A．，， B． C．， D． 3.如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（     ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点五：等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形（有两个角等于60°的三角形是等边三角形）。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（在等腰三角形的条件下，60°的角不论是顶角还是底角，都成立。） 例题：在中，则的度数为___________度。 知识点五 专项练习 1.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（　　）。 A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 2.等边三角形的判定1：___________都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的判定2：___________都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的判定3：有一个角___________的___________三角形是等边三角形。 3.已知在中，，且，则_____。 综合运用： 一、选择题 1.在中，，则的度数是（     ）。 A． B． C． D． 2.如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点。已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（     ）个。 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 3.若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（    ）。 A． B． C．或 D． 4.一个等腰锐角三角形，三个内角的度数比可能是（    ）。 A． B． C． D． 5.已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（     ）。 A．或 B． C． D．以上答案均不对 6.“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”。莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”。如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点。下列条件不能说明平分的是（    ）。 A． B． C． D． 7.如图，一艘船从某港口A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西的方向上，如果这艘船上午8时从港口A出发，上午10时到达小岛B，此时在小岛B处测得礁石C在北偏西的方向上，那么小岛B与礁石C的距离是（    ）。 A．40海里 B．30 海里 C．20 海里 D．10 海里 8.如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（    ）。 A．4 B．6 C．8 D．9 9.如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F。若，则的周长是（    ）。 A．15 B．18 C．20 D．22 10.如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形（    ）？ A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 二、填空题 11.若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为 。 12.如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 。 13.如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A。测得的相关数据如下：。由上述数据可知 m。 14.如图，在中，，点A，点C分别在直线a，b上，且。若，则的度数为 。 15.已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 。 16.如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则 。 17.如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为 。 三、解答题 18.已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数。 19.指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。 （1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一； （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形。 20.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1＝∠2，求证：AB＝AC。 21.已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数。 （1）若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由； （2）若，，且c是奇数，求的周长。 22.如图，在中，。过点作直线，点关于直线的对称点为，连接，直线交直线于点。 （1）依题意补全图形； （2）若，求的度数。 23.如图，在中，，点分别在边上，且，连接。 （1）当时，求的度数； （2）若，求的度数。 24.（1）如图，在中，，，点D在上，且，点E在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $