专题07逆命题和逆定理、直角三角形同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦逆命题与逆定理、线段垂直平分线（性质与判定互逆）、直角三角形（定义、两锐角互余、斜边中线及30°角性质、判定）核心知识点，以“互逆”为逻辑主线串联，构建从概念到几何模型的学习支架。 资料以“互逆”为主线设计，题型覆盖逆命题书写、互逆定理判断等8类，通过性质与判定互逆关系培养推理意识，结合具体实例提升抽象能力，助力学生用数学语言表达几何关系。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

专题07逆命题和逆定理、直角三角形同步培优讲义 ✺知识框架 1.逆命题与逆定理：命题结构 → 真假命题 → 互逆命题 → 互逆定理 2.线段垂直平分线：垂直平分线性质 → 垂直平分线判定（互逆定理） 3.直角三角形：定义 → 两锐角互余 → 斜边中线性质 → 30°角边角性质 → 直角三角形判定 ✅本节以“互逆命题、互逆定理”为逻辑主线，串联线段垂直平分线、直角三角形两大几何模型，是几何证明、线段转化、角度计算的核心基础。 ✺学习目标 1.掌握命题、逆命题、逆定理的概念，能区分命题的条件与结论。 2.会写命题的逆命题，能判断真假命题，会用反例证明假命题。 3.掌握线段垂直平分线的性质与判定（互逆定理）。 4.熟练掌握直角三角形的性质与判定，掌握含30°直角三角形、斜边中线核心性质。 5.能运用本节定理完成计算与简单几何证明。 ✺题型归纳 题型1.写出命题的逆命题 题型2.判断是否为互逆命题 题型3.互逆定理 题型4.线段垂直平分线的判定 题型5.直角三角形的两个锐角互余 题型6.斜边的中线等于斜边的一半 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、命题 1.定义：判断一件事情的陈述句叫做命题。 2.结构：均可改写为“如果…那么…”形式，如果后为条件，那么后为结论。 3.分类 真命题：条件成立，结论一定成立。 假命题：条件成立，结论不一定成立，可用反例证明。 知识点二、互逆命题与互逆定理 互逆命题：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 教材常见互逆定理：两直线平行⇔同位角相等；等边对等角⇔等角对等边 知识点三、线段垂直平分线性质与判定 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 核心总结 1.性质：点在垂直平分线上 ⇒ 距离相等 2.判定：距离相等 ⇒ 点在垂直平分线上 3.二者为标准互逆定理，均可直接用于几何证明。 知识点四、直角三角形定义及基础性质 1.定义：有一个角为90°的三角形，记作Rt△。 2.内角性质：直角三角形两锐角互余。 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 知识点五、直角三角形特殊性质（教材重点） 性质1.斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，则CD=AB。 性质2.30°角性质：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB。 性质逆用：直角三角形中，若一条直角边为斜边的一半，则该直角边所对锐角为30°。 知识点六、直角三角形判定 判定1：有一个角是直角的三角形是直角三角形（定义法）。 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 【易错点提醒】 逆命题必存在，逆定理不一定存在。 “直角三角形两锐角互余”与“两角互余的三角形为直角三角形”是互逆定理。 斜边中线、30°角性质仅适用于直角三角形。 命题改写不可增减条件，保证原意不变。 ✺题型精讲 题型1.写出命题的逆命题 1．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】先写出每个选项命题的逆命题，再判断逆命题的真假，从而找出逆命题为假的选项． 【详解】解：A、逆命题：两底角相等的三角形是等腰三角形，这是真命题，不符合题意； B、逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，相似三角形对应角相等但不一定全等，这是假命题，符合题意； C、逆命题：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理，是真命题，不符合题意； D、逆命题：等边三角形的三个角都是 60°，这是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与逆命题的概念、真假命题的判断，解题关键是准确写出每个命题的逆命题，并结合相关几何定理判断真假． 2．请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【答案】 若，则 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则 3．（1）写出命题“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高”的逆命题． （2）请结合所给图形，写出已知，求证并证明该逆命题成立． 【答案】（1）如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）已知：中，是边上的中点，， 求证：是等腰三角形； 证明：是边上的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题是考查了全等三角形的判定与性质、命题与互逆命题等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意写出原命题的逆命题即可； （2）根据逆命题的题设和结论写出已知、求证，且证，得，即可得出结论． 【详解】解：（1）原命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； （2） 略 题型2.判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 3．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （3） 两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 题型3.互逆定理 1．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 【答案】D 【分析】本题考查了互逆定理，判断定理是否有逆定理，需考虑原定理的逆命题是否成立． 先判断各选项语句是否为命题，再写出其逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】解：∵ 定理有逆定理需逆命题成立． A、“两点之间，线段最短” 非条件语句，无逆定理； B、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，故“对顶角相等”没有逆定理； C、“同旁内角互补”本身不是定理，故没有逆定理； D、逆命题为：等边对等角，且是真命题，故为“等角对等边”的逆定理， 故选：D． 2．定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是_________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线，互逆定理，等腰三角形的性质等知识点． 原定理的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．这可以通过等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导得出． 【详解】解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，理由如下： 如图，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 故答案为：直角． 3．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由如下：每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； (2)说法正确，理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； (3)说法错误，理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； (4) 说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 题型4.线段垂直平分线的判定 1．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 2．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 3．如图，在中，于点D，平分交于点E，若，，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，求解，，进一步证明即可得到结论． 【详解】证明：平分，， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 题型5.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，得到与相等，进而算出的大小。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 3．如图，已知在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】首先求出，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 题型6.斜边的中线等于斜边的一半 1．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 2．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 3．如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 【答案】(1)证明：连接和，如图， ∵、分别是边，上的高， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵是线段的中点， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接和，由题意知，结合直角三角形斜边中线的性质得，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，由（1）知，，结合中点得，即，根据等腰三角形的性质得和，利用三角形内角和定理和平角的定义即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵°， ∴， 由（1）知，， ∵线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵ ． ∴的度数是． 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 2．在中，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 3．如下图，在中，，，D为AC的中点，于点F，交BC于点E，连接DE．求证： (1)． (2)． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ． (2) 证明：如图，过点C作，交AE的延长线于点M，则， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． 为AC的中点， ． 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）由等角的余角相等可以直接得到结论； （2）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． 2．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 3．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一与直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：由作图可得是线段的垂直平分线， ，， ，， ． 二、填空题 4．互为逆定理的两个定理中，一个定理的_________和_________恰好是另一个定理的_________和_________． 【答案】 条件 结论 结论 条件 【分析】本题考查了逆定理．根据逆定理的定义，互为逆定理的两个定理中，一个定理的条件和结论分别是另一个定理的结论和条件． 【详解】解：设原定理为“若，则”，其逆定理为“若，则”． 因此，原定理的条件和结论恰好是逆定理的结论和条件． 故答案为：条件、结论、结论、条件 5．请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 对顶角相等 假 【分析】写出一个真命题，交换命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”是真命题； 交换原命题的条件和结论，得到逆命题：相等的角是对顶角； 等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，因此该逆命题不成立，是假命题． 6．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为______；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为______；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是______． 【答案】 或 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质的逆定理等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可；由等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可求出等腰三角形的周长；再根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为， 当等腰三角形的底角为时，则顶角为； 当等腰三角形的顶角为时，则顶角为； ∴它的顶角度数为：或； 等腰三角形的两边长和， 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，不能构成三角形，故舍去； 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”； 故答案为：或；；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ． 7．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 【答案】 【分析】根据题意可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵，点D为边的中点， ∴． 三、解答题 8．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1) 解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； (2) 解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，在中，于，于，为的中点． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)21 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据平角的定义和三角形的内角和得到结论． 【详解】（1）解：∵于，于， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴的周长； （2）解：∵，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：和都是等腰直角三角形， ， ， ． 在与中，， ， ． (2) 证明：由（1）知， ． ， ， ， ． 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）由（1）知，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明： 是由沿方向平移得到的， ， ， 由（1）可知， ． 为等边三角形， ，， ， ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及三线合一的性质求出的度数，再根据直角三角形的性质即可求出的度数． （2）根据平移的性质和平行线的性质求出的度数，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质，利用角的和差关系求出的度数，进而推出，根据，利用线段垂直平分的判定即可推出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是的中点 ． 又， ， ． （2）略 12．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形外角性质求出； （2）根据角平分线定义，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，最后根据角度间关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07逆命题和逆定理、直角三角形同步培优讲义 ✺知识框架 1.逆命题与逆定理：命题结构 → 真假命题 → 互逆命题 → 互逆定理 2.线段垂直平分线：垂直平分线性质 → 垂直平分线判定（互逆定理） 3.直角三角形：定义 → 两锐角互余 → 斜边中线性质 → 30°角边角性质 → 直角三角形判定 ✅本节以“互逆命题、互逆定理”为逻辑主线，串联线段垂直平分线、直角三角形两大几何模型，是几何证明、线段转化、角度计算的核心基础。 ✺学习目标 1.掌握命题、逆命题、逆定理的概念，能区分命题的条件与结论。 2.会写命题的逆命题，能判断真假命题，会用反例证明假命题。 3.掌握线段垂直平分线的性质与判定（互逆定理）。 4.熟练掌握直角三角形的性质与判定，掌握含30°直角三角形、斜边中线核心性质。 5.能运用本节定理完成计算与简单几何证明。 ✺题型归纳 题型1.写出命题的逆命题 题型2.判断是否为互逆命题 题型3.互逆定理 题型4.线段垂直平分线的判定 题型5.直角三角形的两个锐角互余 题型6.斜边的中线等于斜边的一半 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、命题 1.定义：判断一件事情的陈述句叫做命题。 2.结构：均可改写为“如果…那么…”形式，如果后为条件，那么后为结论。 3.分类 真命题：条件成立，结论一定成立。 假命题：条件成立，结论不一定成立，可用反例证明。 知识点二、互逆命题与互逆定理 互逆命题：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 教材常见互逆定理：两直线平行⇔同位角相等；等边对等角⇔等角对等边 知识点三、线段垂直平分线性质与判定 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 判定定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 核心总结 1.性质：点在垂直平分线上 ⇒ 距离相等 2.判定：距离相等 ⇒ 点在垂直平分线上 3.二者为标准互逆定理，均可直接用于几何证明。 知识点四、直角三角形定义及基础性质 1.定义：有一个角为90°的三角形，记作Rt△。 2.内角性质：直角三角形两锐角互余。 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 知识点五、直角三角形特殊性质（教材重点） 性质1.斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，则CD=AB。 性质2.30°角性质：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB。 性质逆用：直角三角形中，若一条直角边为斜边的一半，则该直角边所对锐角为30°。 知识点六、直角三角形判定 判定1：有一个角是直角的三角形是直角三角形（定义法）。 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 【易错点提醒】 逆命题必存在，逆定理不一定存在。 “直角三角形两锐角互余”与“两角互余的三角形为直角三角形”是互逆定理。 斜边中线、30°角性质仅适用于直角三角形。 命题改写不可增减条件，保证原意不变。 ✺题型精讲 题型1.写出命题的逆命题 1．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 2．请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 3．（1）写出命题“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高”的逆命题． （2）请结合所给图形，写出已知，求证并证明该逆命题成立． 题型2.判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 3．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 题型3.互逆定理 1．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 2．定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是_________三角形． 3．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 题型4.线段垂直平分线的判定 1．如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 2．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 3．如图，在中，于点D，平分交于点E，若，，求证：点E在线段的垂直平分线上． 题型5.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．中，，，则______． 3．如图，已知在中，，，，求的度数． 题型6.斜边的中线等于斜边的一半 1．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 3．如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 2．在中，，则___________，是___________三角形． 3．如下图，在中，，，D为AC的中点，于点F，交BC于点E，连接DE．求证： (1)． (2)． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 2．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则(     ) A． B． C． D． 二、填空题 4．互为逆定理的两个定理中，一个定理的_________和_________恰好是另一个定理的_________和_________． 5．请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 6．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为______；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为______；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是______． 7．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 三、解答题 8．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 9．如图，在中，于，于，为的中点． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 10．如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 11．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 12．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $